1.1. Definición. Se dice que los vectores x e y son ortogonales, y escribimos x ⊥ y, cuando su producto escalar es cero. Se dice que un vector x es...

1.1. Definición. Se dice que los vectores x e y son ortogonales, y escribimos x ⊥ y, cuando su producto escalar es cero. Se dice que un vector x es ortogonal a un conjunto de vectores E ⊂ Rn cuando x es ortogonal a todo vector en E. Un conjunto de vectores no nulos que son mutuamente ortogonales se dice que es un conjunto ortogonal de vectores; si, además, los vectores tienen todos norma 1 se dice que es un conjunto ortonormal de vectores. Una base vectorial que también es un conjunto ortogonal (ortonormal) se llama una base ortogonal (ortonormal). Si x e y son vectores no nulos, el vector ∏ y(x) = ⟨ x ∣∣y ⟩ ⟨ y ∣∣y ⟩y se llama proyección ortogonal de x sobre y. Puedes comprobar que el vector x−∏y(x) es ortogonal a y. En particular, si y es un vector unitario (de norma 1) entonces el vector x− ⟨ x ∣∣y ⟩ y es ortogonal a y. 1.1.1.1. Ejercicios 1. Prueba la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Sugerencia. Comprueba que la ecuación ⟨ x−λy ∣∣x−λy ⟩ = 0, en la que λ es un número real arbitrario y x e y son vectores que se suponen fijos, es un trinomio de segundo grado en la variable λ. Ten en cuenta que dicho trinomio toma siempre valores mayores o iguales que cero (£por qué?) lo que proporciona información sobre su discriminante. 2. Prueba la desigualdad triangular. Sugerencia. Una estrategia para probar desigualdades entre normas euclídeas es elevar al cuadrado. La desigualdad ‖x + y‖2 6 ( ‖x‖+‖y‖ )2 es equivalente a la desigualdad triangular pero es muy fácil de probar desarrollando el término ‖x + y‖2