2.3.2.1. Ejercicios 1. Estudia si los siguientes campos son conservativos en el dominio que se indica en cada caso. Cuando el campo sea conservativ...

2.3.2.1. Ejercicios
1. Estudia si los siguientes campos son conservativos en el dominio que se indica en cada
caso. Cuando el campo sea conservativo calcula la función potencial que se anula en el
origen.
a) F(x,y) = (x− y)i+(y + y2x)j, A = R2.
b) F(x,y) = (x3 + 3y2x)i+(−y3 + 3yx2)j, A = R2.
c) F(x,y) = (2xcosy− ycosx)i+(−x2 seny− senx)j, A = R2.
d) F(x,y,z) = 2xy3z4i+ 3x2y2z4j + 4x2y3z3k, A = R3.
2. a) Justifica que el campo vectorial F(x,y) =
(1/2log(x2 + y2),−arctgy/x) es conservativo
en el abierto Ω = {(x,y) : x > 0}.
b) Sean x > 0, y∈R (puedes suponer que x > 1 e y > 0). Pongamos a = (1,0), b = (x,0),
c = (x,y). Calcula la función
f (x,y) =
w[a,b]F.dr +
w[b,c]F.dr
y comprueba que es una función potencial de F en Ω.
3. a) Justifica que el campo vectorial F(x,y) =
(−2xy/(1 + x2)2 + y2,1 + x2/(1 + x2)2 + y2) es conserva-
tivo en R2.
b) Pongamos a = (0,0), b = (x,0), c = (x,y). Calcula la función
f (x,y) =
w[a,b]F.dr +
w[b,c]F.dr
y comprueba que es una función potencial de F.
4. Calcula las siguientes integrales de línea.
a)
wrydx + xdy , r(t) = (t + 1)cos4 t i+(t/π + sen4 t)j, 0 ≤ t ≤ π.
b)
wry(z3 + 2xy)dx + x2 dy + 3xz2 dz , r(t) = [(1,1,2),(1,1,1),(0,1,1),(1,2,2),(2,1,1)].
c)
wry(2xz+ seny)i+ xcosy j + x2 k, r(t) = cost i+ sent j + t k, 0 ≤ t ≤ 2π.
d)
wry4xez i+ cosy j + 2x2 ez k, r(t) = t i+ t2j + t4k, 0 ≤ t ≤ 1.
5. Indica algunos dominios en los que el campo F : R2 \ {(0,0)}→ R2 dado por
F(x,y) =
(−y/x2 + y2,x/x2 + y2)
sea conservativo. Calcula la integral de dicho campo sobre la circunferencia de centro
(1,1) y radio 1.
6. Estudia si el campo F : R2 \{(0,0)}→R2 dado por F(x,y) =
(2xy/(x2 + y2)2,y2 − x2/(x2 + y2)2)
es con-
servativo en R2 \ {(0,0)} (ten en cuenta que R2 \ {(0,0)} no es un dominio simplemente
conexo).