El teorema de Green permite facilitar el cálculo de algunas integrales de línea (o de integra- les dobles) transformándolas en integrales dobles (o...

El teorema de Green permite facilitar el cálculo de algunas integrales de línea (o de integra- les dobles) transformándolas en integrales dobles (o en integrales de línea). Una aplicación del teorema de Green es para calcular áreas. Como el área de la región D viene dada por D 1d(x,y) podemos transformar esta integral doble en una integral de línea sobre la frontera ∂D sin más que elegir funciones P, Q tales que ∂Q ∂x (x,y)− ∂P ∂y (x,y) = 1. Hay muchas posibilidades pero las más sencillas son P(x,y) = 0, Q(x,y) = x; P(x,y) = −y, Q(x,y) = 0; P(x,y) = −y/2, Q(x,y) = x/2; por lo que obtenemos las siguientes expresiones para el área: Área(D) = D 1d(x,y) = w ∂D x dy = − w ∂D y dx = 1 2 w ∂D x dy − y dx El teorema de Green también es válido para regiones acotadas por caminos de Jordan en las que se han hecho agujeros, es decir regiones acotadas cuya frontera está formada por va- Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja Teorema de Green 29 rios caminos de Jordan que no tienen puntos comunes siempre que cada camino frontera esté orientado de modo que la región quede siempre a la izquierda cuando se recorre dicho camino. Esto significa que el camino frontera más exterior de todos (aquel en cuyo interior se encuentra contenida la región) debe tener orientación positiva y los restantes caminos frontera (los que forman los agujeros – la región se encuentra en el exterior de los mismos) deben tener orienta- ción negativa (recorrido en el sentido de las agujas del reloj). En otras palabras, representando por Γ la unión de todas las curvas frontera, debe ocurrir que el determinante de la matriz cu- ya primera fila es el vector tangente unitario a Γ en un punto t y cuya segunda fila es el vector normal interior a Γ en un punto t es siempre positivo (de hecho, igual a 1). 2.11 Teorema (Teorema de Green para dominios con agujeros). . Sea F(x,y) = P(x,y)i+Q(x,y)j un campo de clase C1 definido en un abierto A ⊂ R2. Sean γ, γ1, γ2, . . . ,γk, curvas de Jordan en A disjuntas dos a dos tales que: • γ1, γ2, . . . ,γk se encuentran en el interior de γ. • γi se encuentra en el exterior de γ j para i , j. • Todas las curvas γ, γ1, γ2, . . . ,γk, están orientadas positivamente (sentido antihorario). Sea D la región obtenida por la intersección del interior de γ con el exterior de cada una de las curvas γ1, γ2, . . . ,γk. En estas hipótesis se verifica que w γ F.dγ − k∑ j=1 w γ j F.dγj = D ( ∂Q ∂x (x,y)− ∂P ∂y (x,y) ) d(x,y) (2.7) En particular, si el campo F(x,y) = P(x,y)i+Q(x,y)j es localmente conservativo en un abierto que contiene a D, se verifica que w γ F.dγ = k∑ j=1 w γ j F.dγj (2.8) Observa que en el enunciado del teorema hemos supuesto que todas las curvas tienen orientación antihoraria y por eso, en la igualdad (2.7), las integrales sobre las curvas interio- res se restan en lugar de sumarse. La igualdad (2.8) es muy útil porque permite reducir el cálculo de una integral de línea de un campo conservativo sobre una curva γ que puede ser complicada, al cálculo de una o varias integrales sobre curvas sencillas (por ejemplo, circunferencias). La siguiente gráfica muestra un ejemplo de un dominio como el que se considera en el enunciado del teorema. x y Γ1 Γ2 D Γ Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja Teorema de Green 30 Naturalmente, la razón de considerar dominios con agujeros es porque se supone que en esos agujeros el campo tiene algún tipo de singularidad. Con frecuencia un agujero está produ- cido por un punto en el que el campo se hace infinito. 2.4.1.2. Ejercicios 1. Comprueba la validez del teorema de Green en cada uno de los siguientes casos. a) F(x,y) = xy2i− yx2j , γ(t) = (cost,sen t), 0 6 t 6 2π. b) F(x,y) = xyi+ y3x2j , γ = [(0,0),(1,0),(1,2),(0,0)]. c) F(x,y) = (x2 + y2)i+ 2xy j, γ es el camino obtenido por la yuxtaposición del segmento de parábola y = x2 de (0,0) a (2,4) y de la poligonal [(2,4),(0,4),(0,0)]. 2. Utiliza el teorema de Green para calcular el área de las regiones del plano limitadas por las siguientes curvas. a) La elipse, γ(t) = (acost,bsen t), 0 6 t 6 2π, donde a > 0, b > 0. b) La astroide, γ(t) = (acos3 t,asen3 t), 0 6 t 6 2π, donde a > 0. c) Un arco de cicloide, γ(t) = a(t − sent)i+ a(1− cost)j , 0 6 t 6 2π, donde a > 0. d) Una poligonal cerrada orientada positivamente γ = [(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3), . . . ,(xn,yn),(x1,y1)]. 3. Utiliza el teorema de Green para calcular las siguientes integrales de línea. a) w γ ey dx + 2xey dy donde γ = [(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0)]. b) w γ x2y2 dx + 4xy3 dy donde γ = [(0,0),(1,3),(0,3),(0,0)]. c) w γ (y + ex3 )dx +(2x + cos(y2))dy donde γ es la curva frontera de la región limitada por las parábolas y = x2, x = y2. d) w γ (x3 − y3)dx +(x3 + y3)dy donde γ es la curva frontera de la región limitada por las circunferencias x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 9. e) w γ (cosx− 1 6 x2y3)dx +( 1 6 x3y2 +2ey)dy donde γ es la elipse positivamente orientada x2 4 + y2 9 = 1. f ) w Γ ( ex2 −y3)dx + ( ey2 +x3)dy . Donde Γ es la frontera positivamente orientada de la región del plano Ω limitada por las circunferencias γ1 = C((0,1),1) y γ2 = C((0,2),2). 4. El centroide de una región plana D ⊂ R2 se define como el punto (c1,c2) cuyas coordena- das vienen dadas por c1 = 1 Área(D) D xd(x,y) , c2 = 1 Área(D) D yd(x,y) Supuesto que D es la región limitada por un camino cerrado simple, γ, justifica que c1 = 1 2Área(D) w γ x2 dy , c2 = − 1 2Área(D) w γ y2 dx Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja Teorema de Green 31 a) Calcula el centroide del triángulo de vértices (0,0), (1,0) y (0,1). b) Calcula el centroide de un semicírculo de radio R. 5. Haz uso del teorema de Green para dominios con agujeros, o bien del teorema (2.9), para probar que la integral de línea del campo F : R2 \\( {(0,0)}→ R2 dado por F(x,y) = ( −y x2 + y2 , x x2 + y2 ) sobre cualquier curva cerrada simple que rodee el origen es igual a 2π. Prueba de la misma forma que la integral de línea del campo F(x,y) = ( 2xy (x2 + y2)2 , y2 − x2 (x2 + y2)2 ) sobre cualquier curva cerrada simple que rodee el origen es igual a 0. Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja ente orientado y D la región del plano limitada por γ. El teorema de Green afirma que w γ F = w w D ( ∂Q ∂x (x,y)− ∂P ∂y (x,y) ) d(x,y)