¿Cómo calculaban los antiguos las probabilidades con la normal? ¿Qué problema nos planteamos? Suponemos que una cierta cantidad sigue una distribuc...

¿Cómo calculaban los antiguos las probabilidades con la normal? ¿Qué problema nos planteamos? Suponemos que una cierta cantidad sigue una distribución normal con unos parámetros (media y varianza) dados. Nos planteamos cómo calcular la probabilidad de que la variable esté en un cierto intervalo. Por ejemplo, sabemos que el valor aleatorio que observamos sigue una distribución normal con media 56 y desviación típica 9. ¿Qué probabilidad tenemos de que la variable aleatoria tome un valor entre 60 y 63? Nos planteamos el valor de la siguiente probabilidad: P (60 ≤ X ≤ 63). Para calcular este área se aplicaban las siguientes igualdades donde Z = (X − 56)/3, P (60 ≤ X ≤ 63) = P (60− 56/3 ≤ X − 56/3 ≤ 63− 56/3) = P (60− 56/3 ≤ Z ≤ 63− 56/3) = P (Z ≤ 63− 56/3) − P (Z ≤ 60− 56/3). Pero la variable Z es una normal estándar por lo que P (Z ≤ 63− 56/3) − P (Z ≤ 60− 56/3) = Φ (63− 56/3) − Φ (60− 56/3). De un modo genérico lo que acabamos de indicar es que si X ∼ N(56, 9) entonces P (60 ≤ X ≤ 63) = Φ (63− 56/3) − Φ (60− 56/3), siendo Φ la función de distribución de una normal estándar. Si suponemos que X ∼ N(µ, σ2) y tomamos dos números a y b tales que a ≤ b entonces P (a ≤ X ≤ b) = Φ (b− µ/σ) − Φ (a− µ/σ). Por tanto, si X es una variable aleatoria con distribución normal con media µ y desviación típica σ entonces la probabilidad de que la variable esté entre µ− σ y µ+ σ es P (µ− σ ≤ X ≤ µ+ σ) = 0.6826895. De un modo análogo si consideramos el intervalo [µ − 2σ, µ + 2σ] entonces P (µ− 2σ ≤ X ≤ µ+ 2σ) = P (−2 ≤ Z ≤ 2) y finalmente si consideramos el intervalo [µ− 3σ, µ+ 3σ] se tiene P (µ− 3σ ≤ X ≤ µ+ 3σ) = P (−3 ≤ Z ≤ 3) que es igual a 0.9973. En la tabla 2.2 tenemos las probabilidades que hemos calculado. De un modo sencillo podemos decir: la variable dista de la media en una desviación estándar con una probabilidad de 0.68, en dos desviaciones con una probabilidad de 0.95 y en tres desviaciones estándar con una probabilidad de 0.99.