ivre-Laplace es un caso par- ticular del Teorema de Lindeberg, acerca de cuya importancia se invita al lector a reflexionar porque lo que en él se afirma es, ni más ni menos, que sea cual sea la distribución común a lasXi, su media muestralXn, adecuadamente tipificada, converge a una N(0, 1) cuando n → ∞. El teorema de Lindeberg, que puede considerarse el teorema cen- tral del límite básico, admite una generalización en la dirección de relajar la condición de equidistribución exigida a las variables. Las llamadas condiciones de Lindeberg y Lyapunov muestran sendos re- sultados que permiten eliminar aquella condición. Ejemplo 5.5. Consideremos una sucesión de variables aleatorias X1, X2, . . . ,, independientes e idénticamente distribuidas, Poisson de parámetro λ = 1. La variable Sn = ∑n i=1 Xi es también Poisson con parámetro λn = n. Si Z ∼ N(0, 1), para n suficientemente grande el TCL nos permite escribir, P (Sn = n) = P (n− 1 < Sn ≤ n) = P ( − 1√ n < Sn − n√ n ≤ 0 ) ≈ P ( − 1√ n < Z ≤ 0 ) = 1√ 2π ∫ 0 −1/ √ n e−x2/2dx ≈ 1√ 2πn, en donde la última expresión surge de aproximar la integral entre [−1/ √ n, 0] de f(x) = e−x2/2 mediante el área del rectángulo que tiene por base el intervalo de integración y por altura el f(0) = 1. Por otra parte, P (Sn = n) = e−nn n n! . Igualando ambos resultado y despejando n! se obtiene la llamada fór- mula de Stirling: n! ≈ nn+1/2e−n √ 2π. 5.5. TEOREMA CENTRAL DE LÍMITE 207 5.5.1 Una curiosa aplicación del TCL De Moivre y Laplace dieron en primer lugar una versión local del TCL al demostrar que si X ∼ B(n, p), P (X = m) √ np(1− p) ≈ 1√ 2π e− 1 2x 2 , (5.15) para n suficientemente grande y x = m−np√ np(1−p) . Esta aproximación nos va a servir para estudiar la credibilidad de algunas aproximaciones al número π obtenidas a partir del problema de la aguja de Buffon. Recordemos que en el problema planteado por Buffon se pretende calcular la probabilidad de que una aguja de longitud l, lanzada al azar sobre una trama de paralelas separadas entre si una distancia a, con a > l, corte a alguna de las paralelas. Puestos de acuerdo sobre el significado de lanzada al azar, la respuesta es P (corte) = 2l aπ , resultado que permite obtener una aproximación de π si, conocidos a y l, sustituimos en π = 2l aP (corte) la probabilidad de corte por su estimador natural la frecuencia relativa de corte, p, a lo largo de n lanzamientos. Podremos escribir, si en lugar de trabajar con π lo ha- cemos con su inverso, 1 π = am 2ln , donde m es el número de cortes en los n lanzamientos. El año 1901 Lazzarini realizó 3408 lanzamientos obteniendo para π el valor 3.1415929 con ¡¡6 cifras decimales exactas!!. La aproximación es tan buena que merece como mínimo alguna pequeña reflexión. Para empezar supongamos que el número de cortes aumenta en una unidad, las aproximaciones de los inversos de π correspondientes a los m y m+ 1 cortes diferirían en a(m+ 1) 2ln − am 2ln = a 2ln ≥ 1 2n , que si n ≈ 5000, da lugar a 1 2n ≈ 10−4. Es decir, un corte más produce una diferencia mayor que la precisión de 10−6 alcanzada. No queda más alternativa que reconocer que Lazzarini tuvo la suerte de obtener exactamente el número de cortes, m, que conducía a tan excelente aproximación. La pregunta inmediata es, >cuál es la probabilidad de que ello ocurriera?, y para responderla podemos recurrir a (5.15) de la siguiente forma, P (X = m) ≈ 1√ 2πnp(1− p) e− (m−np)2 2np(1−p) ≤ 1√ 2πnp(1− p) . Por ejemplo, si a = 2l entonces p = 1/π y para P (X = m) obtendría- mos la siguiente cota P (X = m) ≤ √ π 2n(π − 1) . Para el caso de Lazzarini n=3408 y P (X = m) ≤ 0.0146, ∀m. Parece ser que Lazzarini era un hombre de suerte, quizás demasiada. 208CAPÍTULO 5. SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS 5.6 Ejercicios Algunos básicos * Ej. 327 — La sucesión de variables aleatorias {Xn}∞n=1 converge en probabilidad a una constante b si ∀ε > 0, limn→∞ P (| Xn − b |< ε) = 1 1.Sea {Zn}∞n=1 una sucesión de variables aleatorias, tales que Zn solo puede tomar los valores 0 y n2 con probabilidades 1 − 1 n y 1 n , respectivamente. Comprueba que la sucesión de variables aleatorias {Zn}∞n=1 converge en probabilidad a 0, pero la sucesión de sus valores esperados diverge. 2.Construye una sucesión de variables aleatorias cuyas medias con- vergjan a 0, pero que no converja en probabilidad. * Ej. 328 — La sucesión de variables aleatorias {Xn}∞n=1 converge en media cuadrática a una constante b si limn→∞ E((Xn − b)2) = 0 1.Comprueba que la sucesión de variables aleatorias {Xn}∞n=1 con- verge en media cuadrática a b si y solo si sus medias convergen a b y sus varianzas convergen a 0. 2.Comprueba que si {Xn}∞n=1 converge en media cuadrática a b, entonces también converge en probabilidad a b. * Ej. 329 — Sea {Xn}∞n=1 una sucesión de variables aleatorias in- dependientes, todas ellas con la misma distribución cuya media µ y varianza σ2 existen. Comprueba que la sucesión {Xn}∞n=1 donde Xn = 1 n ∑n k=1 Xk converge en media cuadrática a µ. * Ej. 330 — Sea {Zn}∞n=1 una sucesión de variables aleatorias, tales que Zn solo puede tomar los valores 1 n y n con probabilidades 1− 1 n2 y 1 n2 , respectivamente. 1.¿Existe alguna constante b a la que esa sucesión converja en probabilidad? 2.¿Existe alguna constante b a la que esa sucesión converja en media cuadrática? * Ej. 331 — Los clientes de cierto banco efectúan depósitos con me- dia 157.92 euros y desviación típica 30.20 euros. Aparte de esto no se sabe nada más acerca de la distribución de estos depósitos. Como parte de un estudio, se eligieron al azar e independientemente 75 de- pósitos. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de estos 75 depósitos sea 170.00 euros o mayor? * Ej. 332 — Los vehículos que cruzan un puente tienen pesos cuya media es de 4675 quilos y cuya desviación estándar es de 345 quilos. Si hay 40 vehículos sobre el puente en un instante dado, hallar el número K tal que la probabilidad (aproximada) de que su peso total no supere a K sea de 0.99. * Ej. 333 — La gente que frecuenta cierto pub tiene una probabili- dad de 0.001 de salir y cantar con el grupo que está actuando. En una noche determinada hay 150 personas en el pub. ¿Cuál es la probabili- dad de que al menos una persona salga y cante con el grupo ? Suponer que cada persona en el pub toma la decisión independientemente del resto. Hallar el verdadero valor y el aproximado por la distribución apropiada con una precisión de 5 dígitos. * Ej. 334 — El suceso A tiene una probabilidad de 0.4. Esto sig- nifica que esperamos que la frecuencia relativa de A esté cercana a 0.4 en una larga serie de repeticiones del experimento que se está mo- delizando. ¿Cuál es la probabilidad de que en 1000 experimentos, la frecuencia relativa esté entre 0.38 y 0.42 (inclusive)? Usar una apro- ximación adecuada. * Ej. 335 — Un borracho camina de forma aleatoria de la siguiente forma: Cada minuto da un paso hacia adelante o hacia atrás con igual probabilidad y con independencia de los pasos anteriores. Cada paso es de