Ejemplo 24. Demostrar que si un sistema de ecuaciones no homogéneo tiene más de una solución, entonces tiene una infinidad de soluciones. DEMOSTRACIÓN: Si X1 y X2 son soluciones diferentes del sistema no homogéneo A X B= entonces se cumplen las siguientes igualdades matriciales... A X1 B= y A X2 B= Definamos ahora la matriz X0 X1 X2 = que es distinta de cero puesto que las dos soluciones X1 y X2 son diferentes. Sea k cualquier número real, entonces: A X1 k X0  A X1 A k X0 = = B k A X0  = B k A X1 X2  pero A X1 B= y A X2 B=, así que queda A X1 k X0  = B k B B( ) = B de manera que X1 k X0  es también una solución del sistema: A X B= Dado que k es cualquier constante, existen tantas soluciones como valores posibles tenga k y por lo tanto el teorema queda demostrado. Se deduce de este resultado que si un sistema de ecuaciones lineales es soluble, entonces tiene: exactamente una solución única. una infinidad de soluciones. Notemos la facilidad con la que se han demostrado estos importantes resultados para los sistemas de ecuaciones lineales usando el enfoque matricial.