Pedro Ferreira Herrejón 181 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH 3.13 Métodos numéricos para determinar las raices de un polinomio. Los métodos numéricos se aplican más que nada para calcular las raices irracionales de los polinomios con el grado de aproximación que se desee. Aunque también pueden usarse para obtener las raices reales en forma aproximada. a) Método de Horner. Se basa en la transformación del polinomio P x( ) del cual se buscan las raices, a un nuevo polinomio que tenga las mismas raices que P x( ) pero disminuidas en una cantidad constante h. Sea el polinomio P x( ) de grado n : P x( ) = an x^n + an-1 x^(n-1) + ... + a2 x^2 + a1 x + a0, que evaluado en x = h+z es : P(h+z) = an z^n + an-1 h z^(n-1) + ... + a2 h z^2 + a1 h z + a0 = an z^n + An-1 z^(n-1) + An-2 z^(n-2) + ... + A2 z^2 + A1 z + A0, evidentemente éste es un polinomio en la variable z : F(z) = P(z+h) en el cual el coeficiente líder es el mismo que en P x( ) y los demás coeficientes : An-1, An-2, ..., A1, A0 dependen de h. Si x = r es una raiz del polinomio P x( ) entonces P(r) = 0; r = h+z, es decir z = r-h y como F(z) = P(z+h), se sigue que : F(z) = F(r-h) = P(r-h) = P(r) = 0. Por lo tanto, si x = r es una raiz de P x( ) entonces z = r-h es una raiz de F(z). Esto significa que F(z) será un polinomio con las mismas raices que P x( ) pero disminuidas en la cantidad constante h. ¿Y cómo calcular los coeficientes de F(z) ? Pues bién, dado que F(z) se obtuvo de P x( ) subtituyendo x por z+h, podemos obtener P x( ) a partir de F(z) subtituyendo z por x-h: F(z) = P(z+h) = F(x-h) P(x-h) = P(x) = an x-h^n + an-1 x-h^(n-1) + ... + a2 x-h^2 + a1 x-h + a0, entonces, claramente la división sintética : F(x-h) / (x-h) es decir : P(x) / (x-h) = an x-h^n-1 + An-1 x-h^(n-1) + ... + A2 x-h^2 + A1 x-h + A0 / (x-h) = an x-h^n-1 + An-1 x-h^(n-1) + ... + A2 x-h^2 + A1 x-h + A0, dará como residuo el coeficiente A0. Análogamente, el coeficiente A1 será el último número en la tercera línea de la división sintética del cociente: Q1(x) A0 / (x-h) = Q2(x) A1 / (x-h) and so on, pudiéndose obtener de esta manera todos los coeficientes de F(z). El procedimiento anterior se llama decrecimiento de las raices de un polinomio y el polinomio transformado se llama polinomio disminuido. Ejemplo 27. Obtener el polinomio disminuido F(x) a partir del polinomio P(x) dado, siendo el número h la disminución de sus raices. a) P(x) = x^3 - 7x + 6; h = 4 b) P(x) = 3x^4 - 11x^3 + x^2 - 19x - 6; h = 2 c) P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x - 3; h = 0.3 Solución : a) Como se mostró antes, en la divisíón sintética repetida de P(x) por x-h, los residuos obtenidos son los coeficientes del polinomio disminuido, por lo tanto... 6 - = A0 311 - 53 P(x) x^2 - : 1ª DIVISION 6 - 2 2 10 - 6 - 6 19 - 1 - 11 - = A2 7 - 3 3ª DIVISION 146 - = A1 9 - 1 - 3 2ª DIVISION 182 4 - = A0 941 P(x) x^4 - : 1ª DIVISION 36164 67 - 014 32 - entonces el polinomio disminuido es : F(x) = a3 x^3 + A2 x^2 + A1 x + A0 = x^3 + 12x^2 + 41x + 42, el lector puede comprobar que los polinomios se factorizan como... P(x) = x^3 - 7x + 6 = x - 1(x - 2)(x + 3) F(x) = x^3 + 12x^2 + 41x + 42 = x + 3(x + 2)(x + 7) y en efecto las raices de P(x)