Pedro Ferreira Herrejón 97 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH Este resultado, escrito en notación abreviada es . . . z w = = z w     | z | | w | |     | w | |   Así que dividir dos números complejos en la forma polar, es tan sencillo como : " dividir sus magnitudes y restar sus argumentos " z w   X Y O  Interpretando geométricamente la división, podemos apreciar que cuando un número complejo z se divide por otro número w , el número z gira en sentido negativo un ángulo  ( el argumento de w ) su magnitud cambia por el factor 1 w ( el inverso de la  magnitud de w ) . De éste modo, si se desa girar sobre el plano complejo a un número z un ángulo  en el sentido negativo (el sentido del giro de las manecillas de un reloj ) , conservando inalterada su magnitud, sólo hay que dividirlo por un número complejo cuyo argumento sea precisamente igual a ese ángulo  y cuyo módulo sea 1 . z w Pedro Ferreira Herrejón 97 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH Así por ejemplo, si se desea que el número z x j y= = z  sin cambiar su módulo . . . a) gire en 30° entonces se debe dividir por 1 30° = 1 cos 30°( ) j sen 30°( )( ) = 3 2 j 1 2  b) gire en 45° , se debe dividir por 1 45° = 1 cos 30°( ) j sen 30°( )( ) = j c) gire en 60° , se debe dividir por 1 60° = 1 cos 60°( ) j sen 60°( )( ) = j d) gire en 90° , se debe dividir entre 1 90° = 1 cos 90°( ) j sen 90°( )( ) = 0 j 1 = j e) gire en 180° , se debe dividir entre 1 180° = 1 cos 180°( ) j sen 180°( )( ) = 1 j 0 = 1 etc. , etc. Ejemplo 9. Realizar en forma polar las operaciones indicadas en los siguientes ejercicios: a) 3 j  1 j( ) 1 3 j  b) 3 j 1 3 j ( 3  26º ) ( 2  38º ) c) ( 3  22º ) ( 2  8º ) d)  ( 6  4º ) ( 24  268º ) e)  ( 3  34º ) ( 2  9º ) Solución : a) Primero debemos transformar a la forma polar cada uno de los números complejos : Pedro Ferreira Herrejón 98 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH Ahora realicemos el producto de éstos números complejos en forma polar, simplemente multiplicando sus módulos y sumamos sus argumentos . . . 3 j  1 j( ) 1 3 j  = ( 2  30° ) ( 2  135° ) (2  240° ) = 2( ) 2( ) 2( )  ( 30° 135° 240° ) = 4 2  405° El ángulo 405° es mayor que 360° ( una vuelta completa ) : 405° 360° 45°= de modo que el argumento principal del resultado es 45° y se puede escribir : 3 j  1 j( ) 1 3 j  = 4 2  45° = 4 2 cos 45° j sen 45°( )(( ) = 4 2 1 2 j 1 2  = 4 1 j( ) que es la forma algebráica o rectangular equivalente de la forma polar inicial. El lector debe comprobar éste resultado, multiplicando directamente los números iniciales en la forma rectangular . b) Transformemos los números complejos involucrados en el problema a la forma polar : z3 = 1( ) 2 3( ) 2  = 2 2  240º 3 = arctan 3 1   = 240°z3 1 j 3=  135º 2 2 = arctan 1 1     = 135°z2 = 1( ) 2 1( ) 2 = 2 z2 1 j= z1 = 3( ) 2 1( ) 2 = 2 2  30º 1 = arctan 1 3   = 30°z1 3 j= forma polarargumentomódulonúmero Pedro Ferreira Herrejón 99 ente, es directo . . . c) ( 3  22° ) ( 2  8° ) = 3( ) 2( )  22° 8°( ) = 6  30° = 6 cos 30°( ) j sen 30°( )( ) = 6 3 2 j 1 2    = 3 3 j  ( La forma rectangular del resultado ) 2  300° = 2 2  210° 300°( ) = 1  90 ° _____________ 3 j 1 3 j = 2  210° Ahora realicemos el cociente de éstos números complejos en forma polar, simplemente dividiendo sus módulos y restando sus argumentos . . . z2 = 1( ) 2 3( ) 2  = 2 2  300° 2 = arctan 3 1  