c) P x( ) 2 x 3 3 x 2 4 x 3= ; h 0.3=

a) Como se mostró antes, en la divisíón sintética repetida de P x( ) por x h( ) , los residuos obtenidos son los coeficientes del polinomio disminuido, por lo tanto . . . Pedro Ferreira Herrejón 183 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH 6  = A0 31153 P x( ) x 2( ) : 1ª DIVISION 622106 619111  = A2 73 3ª DIVISION ___________________________ 146  = A1 913 2ª DIVISION __________________________________________ 182 4  = A0 941 P x( ) x 4 : 1ª DIVISION 36164 67014 32 entonces el polinomio disminuido es : F x( ) a3 x 3 A2 x 2 A1 x A0= = x 3 12 x 2 41 x 42 el lector puede comprobar que los polinomios se factorizan como. . . P x( ) x 3 7 x 6= = x 1( ) x 2( ) x 3( ) F x( ) x 3 12 x 2 41 x 42= = x 3( ) x 2( ) x 7( ) y en efecto las raices de P x( ) se obtienen de las raices de F x( ) al disminuirlas en la cantidad constante h 4= .
b) P x( ) 3 x 4 11 x 3 x 2 19 x 6= ; h 2=  = A2 1 3ª DIVISION ________________ 4  = A1 81 2ª DIVISION _________________________ 32 Pedro Ferreira Herrejón 184  = A0 0.6 0.54 __________________________________________ 2ª DIVISION 2 1.8   = A1 0.6 ___________________________ 3ª DIVISION 2   = A2 entonces el polinomio disminuido es . . . F x( ) a3 x 3 A2 x 2 A1 x A0= = 2 x 3 1.2 x 2 5.26 x 1.584 Las raices de P x( ) son . . . x 2.11084( ) 1.20202( ) 0.59118( )[ ]= 3 7 64ª DIVISION _________________ 3   = A3 entonces el polinomio disminuido es : F x( ) a4 x 4 A3 x 3 A2 x 2 A1 x A0= = 3 x 4 13 x 3 5 x 2 21 x 0 Es fácil comprobar que éstos polinomios se factorizan como . . . F x( ) x x 3( ) 3 x 7( ) x 1( )= y P x( ) x 2( ) x 1( ) 3 x 1( ) x 3( )= y en efecto, las raices disminuidas en 2 ( o equivalentemente, aumentadas en 2 ) del polinomio F x( ) son las raices del polinomio inicial P x( ) .
c) P x( ) 2 x 3 3 x 2 4 x 3= ; h 0.3= 0.3 2 3 4 3 0.6 0.72 1.416 P x( ) x 0.3 : 1ª DIVISION Pedro Ferreira Herrejón 185 �� = los números P a( ) y P a   tienen signos opuestos, significa que P x( ) tiene al menos una raiz comprendida en el intervalo a a   . Dado que P x( ) es una función continua, al pasar de valores negativos a positivos o viceversa, debe necesariamente valer cero P x( ) 0= para algún valor de x en ese intervalo. La primera de las cifras de ésta raiz es entonces el número a . Transformar el polinomio para que sus raices disminuyan en la cantidad a . La idea es hacer que el polinomio disminuido F x( ) tome un valor cada vez más cercano a cero en la raiz x 0= , raiz que corresponde a la raiz aumentada x r= de P x( ) . Repetir los pasos anteriores hasta alcanzar la precisión deseada . La serie de cifras : a , a1 , a2 , . . . , ak determinadas en la aplicación repetida de los dos primeros pasos, se suman para dar el valor aproximado de la raiz r buscada : r  a a1 a2 ............. ak Ejemplo 28. Obtener las raices del polinomio P x( ) x 3 3 x 2 5 x 2= Solución : Las posibles raices racionales de éste polinomio podrían ser : 2 , 1 , 1 y 2 . Sin embargo, por el teorema del residuo se encuentra que ninguna de ellas es una raiz de P x( ) . Del mismo teorema del residuo y por división sintética se puede evaluar P x( ) y se obtiene que : P 2( ) 8= , P 1( ) 3= , P 1( ) 5= y P 5( ) 27= Pedro Ferreira Herrejón 186 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH y necesariamente P x( ) , por ser una función continua, tiene una raiz real irracional comprendida en cada uno de los intervalos : 2 1( ) , 1 1( ) y 1 5( ) Calculemos con el método de Horner la raiz irracional de éste polinomio que queda en el intervalo 2 1( ) . Disminuyendo tal raiz en , ( es decir aumentándola en 2 ), la raiz correspondiente del polinomio disminuido correspondiente F x( ) se localice asi en el intervalo 2 2( ) 1 2( )[ ] 0 1( )= . Primera repetición : Por división sintética el polinomio disminuido resulta : F x( ) x 3 9 x 2 19 x 8= Notando ahora que F 0.5( ) 0.625= y F 0.6( ) 0.376= , se concluye que F x( ) debe tener una raiz real en el intervalo 0.5 0.6( ) . Disminuyamos en las raices de F x( ) para que la raiz del polinomio disminuido correspondiente F1 x( ) se localice asi en el intervalo equivalente 0.5 0.5( ) 0.6 0.5( )