( ) debe valer 23 , asi que resolviendo la ecuación : 44 3 k 23= resulta k 7= . Comprobación : P x( ) x 3 2 x 2 k x 1= P 3( ) 3( ) 3 2 3( ) 2 7 3( ) 1= = 27 18 21 1 = 23 Con éste ejercicio se ilustra que usando el teorema del residuo, es posible ajustar uno o varios coeficientes de un polinomio para que éste tome un valor predeterminado de antemano . Ejemplo 15. ¿ Para qué valor de la constante k en el polinomio P x( ) 2 x 3 3 k x 2 4 x 2= se obtendrá el mismo valor cuando tal polinomio se evalúe, en x 1= ó en x 3= ? . Solución : De acuerdo con el teorema del residuo : P 1( ) es el residuo de la división P x( ) x 1( ) P 3( ) es el residuo de la división P x( ) x 3 como se desea que ambos residuos sean iguales, se podrá determinar el valor de k . . . P x( ) x 1( ) :  1 2 3 k 4 2 2 2 3 k 2 3 k 2 2 3 k( ) 2 3 k( ) Pedro Ferreira Herrejón 144 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH 0107296 402811624 :  P x( ) x 4( ) 4018123564 Solución : De acuerdo con el teorema del factor, x 4( ) será un factor del polinomio dado si P 4( ) 0= , y en efecto : Ejemplo 16. Trazar la gráfica del polinomio P x( ) 6 x 4 5 x 3 123 x 2 18 x 40= sabiendo que x 4( ) y x 5( ) son factores de tal polinomio. De la división de polinomios P x( ) x a Q x( ) R x( ) x a = se tiene que : P x( ) Q x( ) x a( ) R x( )= Dado que el divisor x a( ) es de grado uno , si el polinomio P x( ) es de grado n , entonces el polinomio cociente Q x( ) es de grado n 1 y el residuo R x( ) es de grado cero, Por otra parte, del teorema del residuo se sabe que R P a( )= y queda: P x( ) Q x( ) x a( ) P a( )= Entonces, si P a( ) 0= , queda P x( ) Q x( ) x a( )= de modo que x a( ) es un factor de P x( ) . Y si x a( ) es un factor de P x( ) entonces P x( ) x a dará como residuo cero y por el teorema del residuo se sigue que P a( ) 0= Queda asi demostrado el teorema en sus dos sentidos. DEMOSTRACIÓN : TEOREMA DEL FACTOR Un polinomio P x( ) tiene por factor a x a( ) si y sólo si P a( ) 0= El teorema del factor . 3.7 Pedro Ferreira Herrejón 145 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH dado que el residuo es cero, se deduce que Q 5( ) 0= y es posible escribir la factorización de los polinomios Q x( ) y P x( ) como : Q x( ) 6 x 2 x 2  x 5( )= P x( ) Q x( ) x 4( )= = 6 x 2 x 2  x 5( ) x 4( ) el factor de 2º grado de P x( ) puede factorizarse a su vez en forma directa ó determinando las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente : 6 x 2 x 2 0= , quedando en todo caso: 6 x 2 x 2 6 x 2 3      x 1 2         = = 3 x 2 3      2 x 1 2          = 3 x 2( ) 2 x 1( ) para finalmente escribir el polinomio P x( ) completamente factorizado como : P x( ) 3 x 2( ) 2 x 1( ) x 5( ) x 4( )= Las raíces de éste polinomio se obtienen resolviendo la ecuación : P x( ) 0= ,es decir . . . 3 x 2( ) 2 x 1( ) x 5( ) x 4( ) 0= Sin embargo, si el producto de dos ó más factores es cero, al menos uno de ellos es cero, por lo que se concluye que : 0216 10530 :  Q x( ) x 5( ) 1072965 Los núneros de la tercera línea en ésta división sintética son los coeficientes del polinomio cociente y el último es el residuo, el cual es cero, asi que del teorema del residuo se sigue que en efecto P 4( ) 0= . Entonces, es posible escribir al polinomio P x( ) en forma factorizada como: P x( ) 6 x 3 29 x 2 7 x 10( )  x 4( )= Si el factor lineal x 5( ) es un factor de Q x( ) , en consecuencia también lo será de P x( ) : Pedro Ferreira Herrejón 146 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH(  ) (  ) ( + ) ( + ) x 4( ) (  ) (  ) (  ) (  ) ( + ) P(x) = (x + 5)(2x +1)(3x 2)(x  4) ( + ) (  ) ( + ) (  ) ( + ) ( Tómese un valor numerico arbitrario para x en cada uno de los intervalos y substitúyase en cada factor para determinar si tal factor es positivo ó negativo en ese intervalo ) 6 4 2 0 2 4 6 Entonces el polinomio P x( ) es positivo (es decir, su gráfica queda por encima del eje X ) en los intervalos :  5  , 1 2 2 3     , 4   y es negativo (es decir, su gráfica queda por debajo del eje X ) en los intervalos : 5 1 2     , 2 3 4