TEOREMA 3. Si A y B son matrices inversibles del mismo tamaño, entonces. . . * A B también es inversible * la inversa de A B es A B( ) 1 ...

TEOREMA 3.

Si A y B son matrices inversibles del mismo tamaño, entonces. . .

* A B también es inversible

* la inversa de A B es A B( ) 1 B 1 A 1=

DEMOSTRACIÓN .

Por ser la matriz A inversible, se debe cumplir por definición que . . .

A A 1 I= y A 1 A I=

sin embargo, A I A= y también A 1 I A 1 = , por ser I la matriz identidad, de modo que las expresiones anteriores quedan como :

A I( ) A 1 I= y A 1 I  A I=

Además, por ser la matriz B inversible también, se cumple que I B B 1= y B 1 B I=

asi que substituyéndo estas expresiones resulta . . .

A B B 1   A 1 I= y A 1 B 1 B   A I=

por la propiedad asociativa del producto se deduce que . . .

A B( ) B 1 A 1  I= y A 1 B 1  B A( ) I=

Se conluye asi que al multiplicar a la matriz A B( ) por la matriz B 1 A 1  por la izquieda o por la derecha, se obtiene la matriz identidad. Pero ésta es precisamente la propiedad que define a la matriz inversa, de modo que B 1 A 1 es la inversa de A B( ) .

Este resultado se puede generalizar al producto de 3 o más matrices inversibles y se expresa como sigue:

A B C ........ X Y