por lo tanto : A adj A( ) A In= Si la matriz A es inversible, entonces A 0 y por ser A un número real, se puede escribir que . . . 1 A adj A( )( ) In= Pedro Ferreira Herrejón 374 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH pero al multiplicar éste resultado por ambos lados por la matriz inversa de la matriz A queda . . . A 1 A 1 A adj A( )   A 1 In= Por definición A 1 A In= y también A 1 In A 1 = , asi que resulta . . . In 1 A adj A( )   A 1 = Se tiene asi una fórmula analítica para calcular la inversa de una matriz cuadrada : A 1 1 A adj A( )= Ejemplo 12 . Calcular la matriz inversa de la matriz B 2 5 0 1 4 5 3 7 1         = . Solución : Los cofactores de B son . . . : B11 1( ) 2 4 5 7 1     = = 31 ; B12 1( ) 3 5 0 7 1     = = 5 ; B13 1( ) 4 5 0 4 5     = = 25 B21 1( ) 3 1 5 3 1     = = 16 ; B22 1( ) 4 2 0 3 1     = = 2 ; B23 1( ) 5 2 0 1 5     = = 10 B31 1( ) 4 1 4 3 7     = = 19 ; B32 1( ) 5 2 5 3 7     = = 1 ; B33 1( ) 6 2 5 1 4     = = 13 De manera que la matriz de cofactores es : 31 16 19 5 2 1 25 10 13         la adjunta de B es la tanspuesta de ésta matriz : adj B( ) 31 5 25 16 2 10 19 1 13         = Pedro Ferreira Herrejón 375 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH además , el determinante B desarrollado por ejemplo por los cofatores de la 3a columna vale . . . B b13 B13 b23 B23 b33 B33= = 3( ) 25( ) 7( ) 10( ) 1( ) 13( ) = 18 por lo tanto, la matriz inversa de B es : B 1 1 B adj B( )= = 1 18 31 5 25 16 2 10 19 1 13         = 31 18 5 18 25 18 8 9 1 9 5 9 19 18 1 18 13 18               Comprobación : B 1 B 1 18 31 5 25 16 2 10 19 1 13         = 2 5 0 1 4 5 3 7 1         = 1 18 18 0 0 0 18 0 0 0 18         = 1 0 0 0 1 0 0 0 1         TEOREMA 5 . ( Regla de Cramer ) Si A X B= es la forma matricial de un sistema de n ecuaciones lineales en exactamente n incógnitas de la forma : a11 a21 . . an1 a12 a22 . . an2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a1n a2n . . ann               x1 x2 . . xn                b1 b2 . . bn               = tal que A 0 , entonces el sistema tiene una solución única dada por : x1 B1 A = , x2 B2 A = , . . . , xn Bn A = donde Bk es la matriz que se obtiene al reemplazar la k-ésima columna de la matriz A por la matriz B de términos constantes Pedro Ferreira Herrejón 376 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH DEMOSTRACIÓN : Si A 1 0 , entonces la matriz A es inversible y la solución del sistema lineal A X B= , como ya se ha visto antes, es : X A 1 B= y dado que la inversa de A se obtiene dividiendo su adjunta entre su determinante se tiene : X 1 A adj A( )  B= = 1 A A11 A12 . . A1n A21 A22 . . A2n A31 A32 . . A3n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . An1 An2 . . Ann                b1 b2 .