Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2◦ PARTE Marı́a Susana Montelar Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierı́a y Agrimensura - UNR EXTENSIÓN DEL SÍMBOLO INTEGRAL a < b ∫ a b f(x) dx = − ∫ b a g(x) dx a = b ∫ a a f(x) dx = 0 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA INTEGRAL DE UNA CONSTANTE. Dado k ∈ R, cualesquiera sean a, b ∈ R,∫ b a k dx = k(b− a). ADITIVIDAD. Si f y g funciones integrables en [a, b], entonces f + g es integrable en [a, b] y∫ b a (f(x) + g(x)) dx = ∫ b a f(x) dx+ ∫ b a g(x) dx. HOMOGENEIDAD Si f es una función integrable en [a, b], entonces kf es integrable en [a, b] y∫ b a kf(x) dx = k ∫ b a f(x) dx PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA LINEALIDAD Si f y g son funciones integrables en [a, b] y k1, k2 ∈ R , entonces k1f + k2g es integrable en [a, b] y∫ b a (k1f(x) + k2g(x)) dx = k1 ∫ b a f(x) dx+ k2 ∫ b a g(x) dx. ADITIVIDAD RESPECTO DEL INTERVALO DE INTEGRACIÓN Si f es integrable en [a, b] y [c, d] ⊂ [a, b] entonces f es integrable en [c, d]. Si f es integrable en [a, c] y en [c, b] entonces f es integrable en [a, b]. y en ambos casos, ∫ b a f(x) dx = ∫ c a f(x) dx+ ∫ b c f(x) dx Interpretación geométrica: f continua y no negativa en [a, b]. area(R ∪ S) = area(R) + area(S) ∫ b a f(x) dx = ∫ c a f(x) dx+ ∫ b c f(x) dx c ba OBSERVACIONES 4 Si f y g son funciones integrables en [a, b], entonces∫ b a (f(x)− g(x)) dx = ∫ b a f(x) dx− ∫ b a g(x) dx X Todas las propiedades de la integral definida que hemos visto, son válidas si a > b. 4 La propiedad de Aditividad respecto al intervalo de integración es válida independientemente del orden entre a, b y c Interpretación geométrica para el caso f continua y no negativa en I , a, b, c ∈ I , c < b < a area(R ∪ S) = area(R) + area(S)∫ a c f(x) dx = ∫ b c f(x) dx+ ∫ a b f(x) dx ∫ a b f(x) dx = − ∫ b c f(x) dx+ ∫ a c f(x) dx − ∫ b a f(x) dx = − ∫ b c f(x) dx− ∫ b a f(x) dx ∫ b a f(x) dx = ∫ c a f(x) dx+ ∫ b c f(x) dx abc EJERCICIOS Aplicar las propiedades de la integral definida, para calcular las siguientes integrales. ∫ 2 5 7 dx = 7(2− 5) = −21 ∫ 0 2 (7− 2x) dx ∫ 2 −2 |x− 1| dx ∫ −2 1 (x2 − 2x) dx PROPIEDADES DE COMPARACIÓN Sean f y g funciones integrables en [a, b] 1 Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], entonces ∫ b a f(x) dx ≥ 0 2 (Monotonı́a) Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces ∫ b a f(x) dx ≤ ∫ b a f(x) dx 3 Si m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ [a, b], entonces m(b− a) ≤ ∫ b a f(x) dx ≤M(b− a) 4 |f(x)| es integrable en [a, b] y ∣∣∣∣∫ b a f(x) dx ∣∣∣∣ ≤ ∫ b a |f(x)| dx TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO INTEGRAL Sea f continua en un intervalo I y a, b ∈ I . Entonces existe al menos un c entre a y b, de manera que:∫ b a f(x) dx = f(c)(b− a) Interpretación Geométrica: f ≥ 0 en I , a < b a R c b S recinto de ordenadas de f R rectángulo de base (b− a) y altura f(c), donde c ∈ [a, b] es tal que area(S) = area(R) es decir: ∫ b a f(x) dx = f(c)(b− a) TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO INTEGRAL Demostración: 1o caso a < b.- Como f es continua en el intervalo cerrado [a, b], alcanza su máximo y su mı́nimo en [a, b], es decir, existen α y β en [a, b] tales que, para todo a ∈ [a, b] f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) aplicando Prop. de Orden 3 se divide por (b− a) f continua en [a, b], por TVI existe c ∈ [a, b] tal que multiplicando por (b− a) f(α)(b−a) ≤ ∫ b a f(x) dx ≤ f(β)(b−a) f(α) ≤ 1 b− a ∫ b a f(x) dx ≤ f(β) f(c) = 1 b− a ∫ b a f(x) dx∫ b a f(x) dx = f(c)(b− a) 2o caso a > b.- ∫ b a f(x) dx = − ∫ a b f(x) dx =︸︷︷︸ (∗) −f(c)(a− b) = f(c)(b− a) (∗)Aplicando el 1o caso al intervalo [b, a] 3o caso a = b.- ∫ b a f(x) dx︸ ︷︷ ︸ =0 = f(c)(b− a)︸ ︷︷ ︸ =0 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL CALCULO DIFERENCIAL Pb. de la recta tangente CALCULO INTEGRAL Pb. del área ISAAC BARROW (1630 - 1677) DESARROLLO DEL CALCULO INTEGRAL ISAAC NEWTON (1642-1724) GOTTFRIED LEIBNIZ (1646-1716) DEFINICIÓN: FUNCIÓN INTEGRAL Sea f integrable en [a, b] y c ∈ [a, b] , se llama función integral a: g : [a, b] −→ R tal que g(x) = ∫ x c f(t) dt Observaciones: la función g está bien definida Interpretación Gráfica - f continua y no negativa en [a, b] Si c < x < b, g(x) = ∫ x c f(t) dt = area(S) Si a < x < c, g(x) = ∫ x c f(t) dt = −area(R) bxcxa Ejemplo : Sea f : [0, 2]→ R tal que f(x) = 2 si 0 ≤ x ≤ 1 1 si 1 < x ≤ 2 Se definen las funciones g(x) = ∫ x 0 f(t) dt y h(x) = ∫ x 0 g(t) dt Probar que están bien definidad, encontrar la ley, y trazar la gráficas de cada una de ellas. Analizar continuidad y derivabilidad. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL PRIMERA PARTE - VERSIÓN FUERTE Sea f es integrable en [a, b] y g(x) = ∫ x a f(t) dt. Entonces a) g es continua en [a, b]. b) Si f es continua en [a, b] entonces g es derivable en (a, b) y además para todo x ∈ (a, b) g′(x) = f(x) PRIMERA PARTE - VERSIÓN DÉBIL Si f es continua en [a, b] y g(x) = ∫ x a f(t) dt, entonces g es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y además para todo x ∈ (a, b) g′(x) = f(x) SEGUNDA PARTE - REGLA DE BARROW Si f es continua en [a, b] y P una primitiva de f en [a, b], entonces∫ b a f(x) dx = P (b)− P (a). TFCI - PRIMERA PARTE Si f es continua en [a, b] y g(x) = ∫ x a f(t) dt, entonces g es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y además para todo x ∈ (a, b) g′(x) = f(x) Demostración: ¶ Primero vamos a demostrar que g es una función derivable en (a, b) Sea x ∈ (a, b) y h 6= 0 tal que x+ h ∈ (a, b). g(x+ h)− g(x) h = 1 h (g(x+ h)− g(x)) = 1 h (∫ x+h a f(x)dx− ∫ x a f(x) ) = =︸︷︷︸ (1) 1 h (∫ x+h a f(x)dx+ ∫ a x f(x) ) =︸︷︷︸ (2) 1 h ∫ x+h x f(x)dx = =︸︷︷︸ (3) 1 h f(c)(x+ h− x) = f(c). (1)y (2) Propiedades de la integral definida. (3) Como f es continua en (a, b) y x, x + h ∈ (a, b), por el teor. del valor medio del CI, existe c está entre x y x + h Demostración (continuación): Luego: g(x+ h)− g(x) h = f(c) Observemos que |x− c| < |h|, luego c −→ x cuando h −→ 0 y como f es continua en x ∈ (a, b), ĺım c→x f(c) = f(x). Por lo tanto ĺım h→0 g(x+ h)− g(x) h = ĺım h→0 f(c) = f(x) Luego, g es derivable en (a, b) y g′(x) = f(x) para todo x ∈ (a, b) · Como g es derivable en (a, b) resulta que g es continua en (a, b), vamos a probar que g es continua por derecha en x = a y por izquierda en x = b. Recordemos que ĺımx→a g(x) = g(a)⇔ ĺımh→0(g(a+ h)− g(a)) = 0 Sea h > 0, g(a+ h)− g(a) = ∫ a+h a f(x)dx = f(c) · h con c ∈ [a, a+ h], por lo tanto ĺım h→0 (g(a+ h)− g(a)) = ĺım h→0 f(c) · h = f(x) · 0 = 0 es decir, g es continua por derecha en x = a. Demostración (continuación): Sea h < 0, g(b+ h)− g(b) = · · · Ejercicio: completar la demostración del teorema, probando que g es continua por izquierda en x = b. ...................................... Por lo tanto resulta que g es continua en [a, b]. OBSERVACIONES f es una antiderivada (o primitiva )de g en (a, b). Por lo tanto las funciones continuas en en un intervalo I admiten primitiva en dicho indervalo. d dx (∫ x a f(t) dt ) = f(x) para todo x ∈ (a, b) TFCI - SEGUNDA PARTE - REGLA DE BARROW Si f es continua en [a, b] y P una primitiva de f en [a, b], entonces∫ b a f(x) dx = P (b)− P (a). Demostración: Por el TFCI-1o, sabemos que la función g(x) = ∫ x a f(t) dt es una primitiva de f en (a, b), y como P es también una primitiva de f en [a, b], aplicando el teorema ......., resulta que existe C ∈ R tal que P (x) = g(x) + C, ∀x ∈ (a, b) Si bien esta igualdad es válida en (a, b), las funciones P y g son continuas en [a, b], por lo tanto P (a) = ĺım x→a+ P (x) = ĺım x→a+ (g(x) + C) = g(a) + C (1) P (b) = ĺım x→b− P (x) = ĺım x→b− (g(x) + C) = g(b) + C (2) Teniendo en cuenta (1) y reemplazando g por su ley, resulta P (a) = ∫ a a f(t) dt + C = C =⇒ C = P (a) Por lo tanto teniendo en cuenta (2) P (b) = ∫ b a f(t) dt + P (a) =⇒ ∫ b a f(t) dt = P (b)− P (a) como querı́amos demostrar. OBSERVACIONES Notación: Si f es continua en [a, b] y P es una primitiva de f en [a, b]∫ b a f(x) dx = P(x) ∣∣∣b a = P (b)− P (a) Obviamente esto vale independientemente del orden entre a y b, es decir, si f es continua en un intervalo I , P es una primitiva de f en I y a, b ∈ I , entonces∫ b a f(x) dx = P (x) ∣∣∣b a = P (b)− P (a) Ejemplos REGLA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS Sea g una función cuya derivada, g′, es continua en el intervalo I , y f una función continua en el intervalo J = g(I). Entonces, cualesquiera sean a, b ∈ J ,∫ b a f(g(x))g′(x) dx = ∫ g(b) g(a) f(t) dt Demostración Sea P una primitiva de f en J y g(a), g(b) ∈ J , entonces∫ g(b) g(a) f(t) dt = P (x) ∣∣∣g(b) g(a) = P (g(b))− P (g(a)). (3) Por otro lado, P ◦ g es una primitiva de f ◦ g en I , por lo tanto∫ b a f(g(x))g′(x) dx = P (g(x)) ∣∣∣b a = P (g(b))− P (g(a)). (4) De (3) y (4), resulta ∫ b a f(g(x))g ′(x) dx = ∫ g(b) g(a) f(t) dt como querı́amos demostrar. Ejemplo REGLA DE INTEGRACIÓN POR PARTES PARA INTEGRALES DEFINIDAS Sean f y g funciones cuyas derivadas son continuas en un intervalo I . Entonces, cualesquiera sean a, b ∈ I , ∫ b a f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)) ∣∣∣b a − ∫ b a f ′(x)g(x) dx Demostración fg es una primitiva de fg′ + f ′g en I , y fg′ + f ′g es continua en I , por lo tanto∫ b a ( f(x)g′(x) + f ′(x)g(x) ) dx = f(x)g(x)) ∣∣∣b a Teniendo en cuenta que∫ b a ( f(x)g′(x) + f ′(x)g(x) ) dx = ∫ b a f(x)g′(x) dx+ ∫ b a f ′(x)g(x) dx Resulta ∫ b a f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)) ∣∣∣b a − ∫ b a f ′(x)g(x) dx como querı́amos demostrar. Ejemplos
Compartir