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curso intermediario de prob

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CURSO INTERMEDIO DE
PROBABILIDAD
Luis Rincón
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias UNAM
Circuito Exterior de CU
04510 México CDMX
La versión pdf de este texto se encuentra en
www.matematicas.unam.mx/lars
La versión impresa puede adquirirse y
enviarse a domicilio en México o el extranjero
a través de la tienda virtual Plaza Prometeo.
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Contenido
1. Espacios de probabilidad 1
1.1. Espacios de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. σ-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Medidas de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Independencia de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5. Lema de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2. Variables aleatorias 57
2.1. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2. Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3. Tipos de variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4. Integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.5. Caracteŕısticas numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.6. Distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.7. Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3. Vectores aleatorios 141
3.1. Vectores aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.2. Distribución conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.3. Densidad conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.4. Distribución marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5. Distribución condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
iii
3.6. Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.7. Esperanza de una función de un vector aleatorio . . . . . . . 168
3.8. Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.9. Coeficiente de correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.10. Esperanza y varianza de un vector aleatorio . . . . . . . . . . 179
3.11. Distribuciones multivariadas discretas . . . . . . . . . . . . . 181
3.12. Distribuciones multivariadas continuas . . . . . . . . . . . . . 183
3.13. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4. Esperanza condicional 213
4.1. Esperanza condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.2. Esperanza condicional: caso discreto . . . . . . . . . . . . . . 216
4.3. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.4. Varianza condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5. Transformaciones 229
5.1. Transformación de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . 229
5.2. Transformación de un vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . 235
5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6. Dist. muestrales y estad́ısticas de orden 261
6.1. Distribuciones muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.2. Estad́ısticas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
7. Convergencia 287
7.1. Tipos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.2. Relaciones entre los tipos de convergencia . . . . . . . . . . . 297
7.3. Dos resultados importantes de convergencia . . . . . . . . . . 303
7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
8. Funciones generadoras 311
8.1. Función generadora de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . 311
8.2. Función generadora de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . 316
iv
8.3. Función caracteŕıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9. Dos teoremas ĺımite 347
9.1. Algunas desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.2. Ley de los grandes números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
9.3. Teorema central del ĺımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
9.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
A. Distribuciones de probabilidad 365
B. Conceptos y resultados varios 373
v
vi
Prólogo
El presente texto está dirigido a estudiantes de mitad de carrera de las
licenciaturas de matemáticas, actuaŕıa, y áreas afines. Contiene el material
básico para un segundo curso de probabilidad, y tiene como origen las notas
de clase del curso semestral de Probabilidad II, que he impartido durante
los últimos años en la Facultad de Ciencias de la UNAM.
El énfasis de este segundo curso se centra en la formalización de algunos
conceptos estudiados en un primer curso de probabilidad, y en el estudio
de vectores aleatorios y sus varios conceptos relacionados. El lector puede
comprobar que se hace poco énfasis en las aplicaciones, y que la exposición
cubre principalmente el desarrollo matemático. El objetivo es que después
de este curso, el estudiante pueda continuar con facilidad con un curso de
estad́ıstica matemática, de procesos estocásticos, o tal vez un curso avan-
zado de probabilidad o de teoŕıa de la medida, teniendo como elementos
básicos los conceptos teóricos aqúı desarrollados. En particular se incluye
un caṕıtulo sobre esperanza condicional, cuyo uso y aplicación es cada vez
más frecuente. También se incluye un caṕıtulo sobre distribuciones mues-
trales y estad́ısticas de orden, con aplicaciones inmediatas en temas de la
estad́ıstica matemática.
Al final de cada caṕıtulo el lector encontrará una lista de ejercicios separa-
dos por temas. La mayoŕıa de estos ejercicios son de tipo mecánico, algunos
de ellos son muy sencillos de modo que el término ejercicios me parece
justo y adecuado. Pocos de estos ejercicios son originales, la mayor parte de
vii
ellos son modificaciones de ejemplos o resultados clásicos que se encuentran
en la larga literatura existente. La intención de contar con este material es
la de crear confianza y soltura por parte del alumno en el manejo de los
conceptos y notación involucrados. El número de ejercicios excede lo que
normalmente puede realizarse en un semestre, y el objetivo que siempre
tuve en mente estos años fue el tener un número suficiente de ellos para
presentar algunos en clase, dejar otros para trabajo en casa, y asignar algu-
nos otros para preguntas de examen, usando material ligeramente distinto
cada semestre para evitar repeticiones. Durante la exposición de los temas
el lector encontrará también algunos otros ejercicios propuestos y algunos
ejemplos resueltos.
La presentación del material mantiene la estructura de las notas de clase,
y creo que será particularmente útil al estudiante con poco tiempo para
leer párrafos completos, y quien sólo busca una definición, un resultado, un
ejemplo, un ejercicio, o tal vez orientación breve acerca de un concepto. En
este sentido, el libro contiene tablas a manera de resumen, y los enunciados
están enmarcados para su fácil localización. También he intentado que la
notación fuera lo más simple y mı́nima posible. Personalmente me gustan
los libros con imágenes y diagramas, y he buscado plasmar ese gusto en este
texto. Este material fue escrito en LATEX, y las gráficas fueron elaboradas
usando el paquete pstricks, lo cual ha sido realmente un placer. Al final
del texto aparece una lista de referencias que me permito sugerir al lector
consultar para profundizar y a veces precisar en determinados temas. Algu-
nos de estos textos no han sido mencionados expĺıcitamente pero aparecen
en la lista por que en algún momento he obtenido inspiración de ellos.
Agradezco sinceramente a todas
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