Calculo limites y funciones

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Cálculo Diferencial
Anexo 2
Actividad Semana 2 (corte 1) – Definición intuitiva de Límite 
(Del 13 al 17 de septiembre)
Las bases del cálculo resultaron escasas desde los inicios de su desarrollo en manos de 
Isaac Newton y Gottfried Leibnitz en el siglo XVII. El uso de infinitésimos generó gran 
controversia, debido a la vaguedad de los conceptos y a lo dudoso de los razonamientos. 
El planteamiento riguroso del cálculo llegó de la mano de Augustín – Louis Cauchy, 
fundamentando en términos de límites los principales conceptos relacionados con la 
derivada y la integral.
Cauchy define el límite de la siguiente forma: Cuando los valores sucesivamente 
atribuidos a una variable dada se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de tal manera 
que acaban de diferir de él tan poco como se quiera.
El Cálculo es una disciplina de la Matemática considerada como el estudio de los límites.
La noción de límite está asociada con el comportamiento de una función cerca de “c”, no 
en “c”, de manera que decir que   Lxfcx lim , significa que cuando “x” está cerca, pero 
diferente de “c”,  xf está cerca de L .
Otra manera de entender el concepto de límite es considerar que   Lxf  conforme 
cx , es decir, el límite de  xf , cuando x tiende a “c” es igual a L .
Aunque es necesario entender y aplicar leyes para los límites, por rapidez en el 
procedimiento simplificamos y damos por hecho su aplicación y sustituimos directamente 
los límites. (Ver propiedades de los límites en tu guía de actividades).
Ejemplos:
1.-   9333lim 3  xx (se sustituye x = - 3, en la expresión 3x)
2.-   1331632434lim
22
2  xx ( 2x significa sustituir el 2 por “x” en la 
expresión)
3.-     752151252lim
33
1  xxx
4.- 
   
 
9
6
54
33
9343
3
94lim 2
23
2
23
3 





 x
xx
x
5.- 33lim 5 x
Cálculo Diferencial
6.- 
   
  0
0
33
633
3
6lim
22
3 





 x
xx
x
Se puede observar en el ejemplo 6, que el valor de  xf para x = 3 no está definido, pero 
su límite existe como lo veremos de manera gráfica.
Sea la función 
 
3
62



x
xxxf
se trazará su gráfica y para ello se elabora la siguiente 
tabla: 
x -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y 1 2 3 4 - 6 7 8 9
Se puede observar que existe una discontinuidad en la función cuando “x” tiende a 3.
 
 
 
 
0
03
33
6333
2




f
f
 
Pero se puede hacer un acercamiento hacia x = 3, dándole valores muy cercanos a él, 
tanto por la izquierda como por la derecha, para determinar el valor del límite cuando “x” 
se acerca al 3.
x 2.7 2.8 2.9 2.99 3 3.01 3.1
y 4.70 4.80 4.90 4.99 - 5.01 5.1
Cálculo Diferencial
Así, 
5
3
6lim
2
3 


 x
xx
x , es decir, cuando “x” tiende a 3, 
 xf
 tiende a 5 y es su límite.
Ejercicio 1: Determinar el límite para las siguientes expresiones
1. 12lim
2
6  xx 6. 9lim
2
3  xx
2. xxx 
2
3 3lim 7.  
32
2 12lim  xx
3. 2
3lim
2
1


 x
xx
x 8. 6
3lim
2
0


 x
x
x
4. 2
53lim 2
2
1 

x
x
9. 
 
 
1
22
1 2
3lim





x
x
x
5.   24lim
2
2  xxx
10. 







 x
xxx
42lim 24
Ejercicio 2: Determinar el límite para las siguientes expresiones utilizando 
aproximaciones en una tabla
1.- 1
1lim
2
1


 x
x
x 
x 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01
f(x) -
 
2.- 63
86lim
2
2


 x
xx
x 
 
x 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1
f(x) -
Cálculo Diferencial
3.- 1
1lim
3
1


 x
x
x
x 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1
f(x) -
4.- 2
2
0
416lim
x
x
x


x -0.5 -0.1 -0.01 0 0.01 0.1 0.5 1
y -
Ejercicio 3: Determinar el límite para las siguientes expresiones trascendentes 
(observa los ejemplos resueltos).
Ejemplo 1. , resolviendo: porque 53 = 125
Ejemplo 2. , resolviendo: 
Ejemplo 3. , resolviendo: (en las funciones trigonométricas el valor de π equivale a 180°, 
si se utiliza modo “deg” en la calculadora, por lo que π/6 equivale a 30°.
1. 6. 
2. 7. 
3. 8. 
4. 9. 
5. 10. 
Videos sugeridos:https://www.youtube.com/watch?v=9StHfvm3biE
https://www.youtube.com/watch?v=yocoqbEHwBM