Cuadernillo de apoyo

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Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
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UNIDAD 1 
 TEORÍA DE CONJUNTO 
1.1 Introducción 
La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y 
relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en 
sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la 
formulación de cualquier teoría matemática. 
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y 
estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; gracias a 
las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos de aquella. 
El término conjunto es bastante primitivo y fundamental en toda la estructura matemática. 
Generalmente, esta palabra se acepta en matemáticas como un término indefinido, tal como en 
geometría que toma, entre otros, los términos punto, línea, plano, que sin definición pero si de 
manera intuitiva. 
1.2 Definición de conjunto 
Se llama conjunto a toda agrupación, colección o reunión de individuos (cosas, animales, 
personas o números) bien definidos que cumplen una propiedad determinada. A los objetos del 
conjunto se denominan “elementos”. 
Ejemplo1: 
a) Conjunto formado por los colores de la bandera paraguaya 
b) Conjunto formado por las vocales de la palabra murciélago. 
c) Conjunto formado por los números naturales múltiplos de 7 
 
1.3 Notación de conjuntos 
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A , B , C ,….etc. 
Los elementos con letras minúsculas: a,e,i,n,m,……. 
Los conjuntos se escriben entre llaves o por medio del diagrama de Venn 
 
1.4 Representación de los conjuntos 
Los conjuntos se representan en forma de llaves o por medio del diagrama de Venn. 
Diagramas de Venn: consisten en figuras geométricas planas y cerrada s; dentro de cada 
figura se ponen los elementos que le corresponden 
Ejemplo: A 
 
A = { a , e} a 
e 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica
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1.5 Determinación de conjunto 
Un conjunto se determina de dos formas: por extensión y por comprensión 
1.5.1 Por extensión 
Un conjunto se escribe por extensión cuando se enumeran o se nombran los 
elementos del conjunto 
Ejemplo : {3,6,9,12,15} 
1.5.2 Por comprensión 
Un conjunto se escribe por comprensión cuando se enuncia la propiedad o cualidad 
que distingue a los elementos. Para el efecto: { x / x cumple la propiedad} 
 
Ejemplo: { x / x es una vocal de la palabra murciélago} 
 
1.6 Relaciones de conjuntos 
Las relaciones que se pueden dar entre conjuntos son: pertenencia, inclusión e igualdad. 
1.6.1 Relación de pertenencia: 
El signo que representa la relación de pertenencia es ∈. En efecto, sea A un conjunto 
cualquiera y x un elemento, para indicar que x es elemento de A o simplemente que, x está en A 
se simboliza: 
 x∈ 𝐴. Si x no es elemento de A , se simboliza: x∉ A. 
La relación de pertenencia se da entre elementos y conjuntos, pero no entre conjuntos. 
Exceptuando el caso del conjunto potencia. 
Ejemplo: Sea A el conjunto los colores de la bandera del Paraguay 
A = {rojo, blanco, azul} 
Rojo ∈ A blanco ∈ A azul ∈ A amarillo∉ A 
 
1.6.2 Relación de inclusión de conjuntos 
Dados dos conjuntos A y B , esta relación se utiliza para indicar que el conjunto A es 
subconjunto del conjunto B, lo cual se escribe: 𝐴 ⊆ 𝐵. Se lee A es subconjunto de B, A está 
incluido en B , A está contenido en B, B incluye a A 
Si A no es subconjunto de B , se simboliza: 𝐴 ⊆ 𝐵. 
Se dice que A es subconjunto de B si todos los elementos de A también están en B 
Subconjunto propio: Si A es un subconjunto de B y existen elementos de B que no están en A, 
entonces A es un subconjunto propio de B. Se simboliza 𝐴 ⊂ B 
 
1.6.2.1 Propiedades de la Inclusión 
* A ⊆ A . Todo conjunto es subconjunto de sí mismo 
* A ⊆ B ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ⇒ 𝐴 ⊆ 𝐶 
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Ejemplo : Dados los conjuntos A={3,5,6,9,4}, B={3,4,7,9,6,5} y C={3,9,5,7,4,6,8,} ponga entre el 
paréntesis V o F si los siguientes enunciados son verdadero o falso, respectivamente y justifique 
el por qué de los falsos. 
a) ( ) B⊂ A 
b) ( ) B⊆ A 
c) ( ) C⊆ A 
d) ( )A⊂ C 
e) ( ) B⊂ C 
f) ( ) C⊆B 
Solución 
 
Según el ejemplo se puede observar que A es subconjunto propio de B y a la vez éste 
de C 
 
1.7 Relación de igualdad entre conjuntos 
La igualdad de dos conjuntos A y B denotada A=B , se da cuando todos los elementos de A 
están en B y viceversa. 
La igualdad de conjuntos intuitivamente dice: “dos conjuntos son iguales si y solo tienen los 
mismos elementos (no importa el orden)”. 
Si algún elemento x de A no está en B o algún elemento x de B no está en A se dice que A es 
diferente de B y se simboliza: A ≠ 𝐵 
Ejemplo : Dados los conjuntos 
A={x/x es un número primo positivo menor que 8}, B={ x/x es un factor de 210}; ¿A=B? 
Compruébelo. 
Solución 
Escribimos los conjuntos A y B por extensión y luego comparamos 
A={2,3,5,7} ; B={2,3,5,7} 
Por tanto, los conjuntos son iguales 
1.8 Clases de conjuntos 
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1.8.1 Conjunto finito 
Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento se puede contar; es decir, es aquel conjunto en 
que sus elementos se pueden nombrar o enumerar. 
 
Ejemplo : A={x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este conjunto está 
formado por 8 elementos. En efecto, A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4} 
1.8.2Conjunto vacío 
Existe un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o “conjunto nulo” y algunos definen 
como un conjunto sin elementos. Este último concepto se presta para confusiones cuando se 
dice “conjunto sin elementos”. El conjunto vac+io se denota por la letra 𝜙 o simplemente { } 
Observación: 
 No es correcto decir, “un conjunto vacío”; debe decirse siempre “el conjunto vacío” 
porque este conjunto es único. 
 No confundir 𝜙 con { 𝜙} ; pues este último es un conjunto vacío. 
1.8.3 Propiedades del conjunto vacío 
 
1.8.4 Conjunto Unitario 
El conjunto unitario es aquel solamente tiene un elemento. 
 
Ejemplo : Los conjuntos siguientes , son unitarios: 
 A={x/x es un pontífice entre los años 1985 y 2005} ; B={xN / x2– 4=0} 
1.8.5Conjunto binario 
El conjunto binario es aquel que está formado por dos elementos. 
Ejemplo: Es un conjunto binario A = { x 𝜖 Z / x2 – 4 = 0} 
 
Solución 
Escribimos por extensión , el conjunto A 
A = { - 2 , 2} 
Por tanto el conjunto A tiene 2 elementos, es un conjunto binario 
 
1.8.6 Conjunto Universal 
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Sean A y U conjuntos cualesquiera. Se dice que U es un conjunto universal o referencial 
respecto al conjunto A, si A⊆ U. 
El conjunto universal es el que contiene todos los elementos en estudio 
Ejemplo : dados los conjuntos U={1,3,5,7,9,11}, A={3,9,11}, B={2,5,7,9}, C={1,6} y D={1,7,11,5}, 
determine si U es conjunto universal respecto a los demás conjuntos. 
Solución 
𝐴 ⊆ 𝑈 ; 𝐵 ⊈ 𝑈 ; 𝐶 ⊈ 𝑈 ; 𝐷 ⊆ 𝑈 
En efecto, U es un conjunto universal respecto a los conjuntos A y D, pero no con respecto a los 
conjuntos B y C. Porque los elementos de B y C no pertenecen al conjunto universal- 
1.8.7 Conjunto infinito 
Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento no se puede contar; es decir, es aquel conjunto 
en que sus elementos no se pueden nombrar o enumerar. Sonejemplos de conjuntos infinitos, 
los conjuntos numéricos: los Naturales (N) , los enteros (Z) , los reales (R), los racionales (Q) , los 
complejos ( C) 
 
Ejemplo: El conjunto A = {x 𝜖R / x > 100} es infinito parque ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 100 , ∞) 
 
1.8.8.Conjuntos disjuntos ( Incompatibles) 
 Son aquellos conjuntos que no tienen elementos comunes 
 
Ejemplo: El conjunto de los números naturlaes pares y el conjunto de los números naturales 
impares. 
 
1.9 Conjunto potencia 
El nombre de conjunto potencia proviene del hecho de que si un conjunto A tiene n elementos, 
la cantidad de subconjuntos que se pueden formar con los elementos de A es 2 n. Este conjunto 
también se conoce como conjunto de partes de un conjunto. 
Sean A y X conjuntos cualesquiera; el conjunto formado por todos los subconjuntos de A de 
denomina conjunto potencia y se denota por P(A). Simbólicamente: 𝑃(𝐴) = {𝑥/𝑥 ⊆ 𝐴} 
Ejemplo: Sean A y B conjuntos definidos como A = {2} ; B = {1,2,3} ; C = { }. 
 Halle P(A) ; P(B) y P(C) 
 
Solución 
P(A) = {∅, {2}} 
P(B) = {∅ , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} 
P( C ) = {∅} 
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2. Número de elementos de un conjunto 
 ( Cardinalidad) 
Sea A un conjunto finito; el número de elementos de un conjunto denotado n(A) corresponde a 
un número natural que indica la cantidad de elementos del conjunto dado. 
El cálculo del número de elementos de un conjunto consiste en contar los elementos del 
conjunto; por lo tanto, se considerarán conjuntos finitos. 
 Se denominará n(A) al número cardinal de elementos de A o clase de A. Así que los conjuntos 
que tengan igual número de elementos se podrá llamar conjuntos coordinables o equipotentes. 
Ejemplo: Sean A = {𝑎, 𝑒, 𝑖} ; 𝐵 = ∅. Determine la cardinalidad de cada conjunto 
 
Solución 
n(A) = 3 n(B) = 0 
 
Ejemplo: Dados los conjuntos A ={𝑎, 𝑚, 𝑜} 𝑦 𝐵 = {1,2,3} . Son equipotentes? 
 
Solución 
n(A) = 3 n(B) = 3 
Los conjuntos A y B tienen el mismo número de elementos, por tanto son equipotentes 
o coordinables. 
 
 
 
ACTIVIDAD N° 1 
1. Expresa por extensión los siguientes conjuntos: 
a) M = { x / x es número natural impar menor que 10} 
 
b) M = { x / x es país de América del Norte} 
 
 
c) A = { x / x = ( n – 1 )2 , n 𝜖 Z , - 1 ≤ n < 4 } 
 
 
 
 
d) B = { x / x = 
5−𝑛
𝑛−3 
, n 𝜖 Z , 0 ≤ n ≤ 5 } 
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e) C = { x / x = n2 – 3 , n 𝜖 Z , - 3 ≤ n ≤ 3 } 
 
 
 
 
 
f) F = { x / x 𝜖 Z , - 4 ≤ x < 8 , es par} 
 
 
 
 
g) J = { x / x = n2 + n , x𝜖 Z , - 1 ≤ n ≤ 4 } 
 
 
 
 
h) Q = { x / x es una letra de la palabra “calcular”} 
 
 
 
i) A = { x / x2 – 25 = 0, 𝑥𝜖 𝑍 } 
 
 
 
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j) B = { x / x 𝜖 Z , x es positivo y negativo} 
 
k) A = { x / x2 = 4, 𝑥𝜖 𝑍 } 
 
l) B = { x/x – 2 = 5 , 𝑥𝜖 𝑍 } 
 
 
m) C = { x / x es positivo , x es negativo} 
 
n) D =) { x/x es una letra de la palabra “correcto”} 
 
 
 
 
2. Expresa por comprensión los siguientes conjuntos 
a) A = { a , e , i , o , u} 
 
b) M = { 4 , 6 , 8 , 10 , ……} 
 
c) N = { 1 , 4 , 9 , 16 , 25, 36 ,49 , 64 , 81 , 100 } 
 
 
d) M = {enero, febrero, marzo, ….., diciembre} 
 
 
e) A = { 7 , 11 , 13, 17, 19} 
 
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f) El conjunto A que consiste de las letras a , b , c , d y e. 
 
g) El B = { 2 , 4 , 6, 8, ,……..} 
 
 
h) El conjunto C de todos los países de las Naciones Unidas. 
 
i) El conjunto D = { 3 } 
 
 
j) Sea E los presidentes Nicanor Duarte Frutos, Fernando Lugo, Federico Franco, 
Horacio Cartes, Mario Abdo Benitez 
 
 
 
 
3. Escribe simbólicamente las afirmaciones siguientes: 
a) v pertenece al conjunto M : ………… 
b) El conjunto T contiene como subconjunto al conjunto H :………… 
c) Entre los elementos del conjunto G no está el número 2: ………. 
d) El conjunto Z no es un subconjunto del conjunto A ……… 
e) El conjunto X no contiene al conjunto K : ………… 
f) El conjunto H es un subconjunto propio del conjunto. ……… 
g) x no pertenece a A …………….. 
h) R es un superconjunto de S …………. 
i) d es elemento de F …………. 
j) F no es subconjunto de G ………… 
k) H no incluye a D …………. 
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4. Completa las proposiciones siguientes con los símbolos ∈ o ∉ 
a) 2 ___ {1,3,5,7} 
b) 5 ___ {2,4,5,6} 
c) 3 ___{x ∈ℕ / 2 < x < 6 } {3, 4 , 5 } 
d) 2 ___ {4,5,6,7} 
e) 8 ___ { x∈ℕ / 8 < x < 10 } 
f) 0 ____ Ø 
g) América ____ { x / x es el nombre de un país }, 
h) 12 / 8 ______ N 
 
 
5. Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales 
A = { r , s , t} B = { s , t , r , s} C = { t , s , t , s} 
D = { s , r , s , t} 
 
 
6. Cuáles de estos conjuntos son iguales? 
a) A = { x / x es una letra en la palabra “ tocata”} 
b) B = Las letras de la palabra tacto 
c) C = { x / x es una letra de la palabra “ cota”} 
d) D = { a , c , o , t} 
 
7. Entre los conjuntos que siguen , cuáles son diferentes? 
a) { 0} 
b) ∅ 
c) { ∅ } 
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8. SeaT={ x∈ Z /4x=12 }. .Es T=3 ? .Por qué? ¿ Qué clase de conjunto es? 
 
9. Si A = { x/2x = 6} y b = 3 , ¿es b = A? 
 
10. Sea M = { r , s , t}. Determina si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. 
En caso que sea Falsa, explicar porque 
a) r 𝜖 M ………… --------------------------------------------------------------
--- 
b) r ⊂ M ………… --------------------------------------------------------------
--- 
c) { r } 𝜖 M ……….. --------------------------------------------------------------
--- 
d) { r } ⊂ M ……….. --------------------------------------------------------------
---- 
 
11. De entre los siguientes conjuntos, señala los que sean conjuntos vacíos: 
A={x∈ℝ/ x2+x+1=0 } …….. 
B={x∈ℝ/ x<4∨x>6} …….. 
C={ x∈ℝ/ x2+x−1=0 } ……… 
D={x∈ℝ/ x+5=5} ……… 
F={ x∈ℝ/ 4 < x < 6} ……… 
 
13. Identifica los siguientes conjuntos en vacíos, unitarios, finitos o infinitos? 
a) A = { x / x es dia de la semana} ………………. 
b) B = { vocales de la palabra “ vals”} ………………. 
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} ……………….. 
d) D = { x / x es un habitante de la luna} …………….. 
e)E = { x∈ℕ/ x < 15} ................... 
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f)F = { x∈ℕ/ 5 < x < 5 } .................. 
g)G = { x∈ℕ/ x > 15} .................. 
h)H = { x∈ℕ/ 3x = 6} .................... 
i)I = { x / x es presidente del Mar Mediterráneo} ……………….. 
j) J = { x / x es el numero de pelos de todos los eslovacos que viven actualmente} 
 ………………. 
14. Sea M= {r , s ,t } . Dígase cuales de las afirmaciones siguientes son correctas. Si alguna es 
incorrecta, decir el porque: 
a) a∈M ……………………………………………………………………… 
b) r⊂M …………………………………………………………………….. 
c) {r }∈M …………………………………………………………………….. 
d) {r }⊂M ………………………………………………………………………. 
 
15. Si E={1,0}, razona cuales de las afirmaciones siguientes son correctas y cuales no: 
a) {0}∈E ……………………………………………….. 
b) {0}⊂E ……………………………………………….. 
c) 0∈E ………………………………………………. 
d) 0⊂E ………………………………………………. 
 
16. Consideremos el conjunto A={r , s ,m, e }. Razona la veracidad de las siguientes 
afirmaciones: 
a) c∈A …………… 
b) {r , c ,m}⊂A …………… 
c) {m}⊂A …………… 
d) {e ,m, r }⊂A ………….. 
e){s , e }∈A …………. 
f){s , e }⊂A ………… 
17. Dado el conjunto A = {𝟑 , 𝟒 {𝟔}, 𝟖} colocar Verdadero o Falso según corresponda , en 
casoque sea Falso explicar: 
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a) {3} ∈ A ………………. e) {𝜙} ⊆ A …………….. 
b) 8 ∈ A …………………… f) {3,8} ∈ A ……..………. 
c) ∅ ⊂ 𝐴 ……………………. g) {{6}} ⊂ A ………………… 
d) {𝜙} ⊂ A …………………….. h) {6} ∈ A …………………. 
i) 𝜙 = {0} ………………….. j) 𝜙 = {𝜙} ……………….. 
k) {𝜙} = {0} ………………. l) 𝜙 𝜖{{𝜙}} ……………….. 
 
18. Justifica razonadamente que el conjunto A={2,3, 4,5} no es un subconjunto del C={x∈ N / x 
es par}. 
19. a).Es el conjunto A={1,3,5 ,7 } un subconjunto del conjunto 
B={x∈ 𝑍/ x=2n , n>1}? 
Y del C={ x∈ 𝑁/ x=2n+1, n > 3}? .Por qué? 
 
 
 
 
b) D={2,4 ,6 ,7 ,8} es subconjunto de A o de B. ¿ Por qué? 
 
 
 
20.Halla el conjunto potencia de cada conjunto: 
a) M= {r , s ,t } 
 
 
b) B={a , b} 
 
 
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c) C= {𝑐 , 𝑑, 𝑒 , 𝑓} 
 
 
 
 
21. Resolver: 
a ) Si los conjuntos A = {2 𝑎−1 , 3𝑏+1} 𝑦 𝐵 = {16 , 27} son iguales, hallar la suma de los 
elementos de C = {𝑥2 ∕ 𝑥𝜀 𝑁 ; 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎} 
 
 
 
 
 
 
b ) Si los conjuntos A = {𝑥 + 7 , 2 𝑥 + 5} 𝑦 𝐵 = {𝑦 − 3 ; 5 𝑦 − 15} son unitarios, hallar E = x + 
y 
 
 
 
 
22. Si el conjunto A tiene 5 elementos, el conjunto B tiene 3 elementos, y además se sabe que 
(A ∩ B) tiene 2 elementos entonces, .cual es la cardinalidad de (A∪B)? 
 
 
23.Dado que el conjunto A esta definido como: A = { (a, b) / a ∈ ΙN, b ∈ ΙN y a + b = 12} .Cuál es 
la cardinalidad del conjunto A ? 
 
 
 
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24. Si A = {𝑥 ∈ 𝑁 1⁄ < 𝑥 < 5}. Hallar P ( A ) 
 
 
 
 
 
25. Si A = {𝑥 ∈ 𝑁 0⁄ ≤ 𝑥 ≤ 4}. Determinar P ( A ) 
 
 
 
 
 
 
 
26. Establecer el valor de verdad de los siguientes conjuntos: 
a) 𝐴 = {𝑥 𝜀 𝑄 ∕ 10𝑥2 − 𝑚13 𝑥 − 3 = 0} es un conjunto unitario ………….. 
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁 6⁄ < 𝑥 < 7} es un conjunto vacío ……………… 
c) 𝐶 = {𝑥 ∕ 𝑥 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3} es un conjunto infinito. ……………… 
d) 𝐸 = {1 , 2, 3} 𝑦 𝐵 = {1 , 1 , 3 , 2 , 3} son disjuntos ………………. 
e) 𝐶 = {
−1
2
 , 3} 𝑦 𝐷 = {𝑥𝜖 𝑅 2⁄ 𝑥2 − 5 𝑥 − 3 = 0} son iguales ………………. 
f) 𝐴 = {𝑎 , 𝑏 , 𝑐} 𝑦 𝐵 = {1 , 2 , 3 } son conjuntos iguales ………………. 
g) 𝑃 ( ∅ ) = {∅} ……………….. 
 
 
UNIDAD 2 
 
Operaciones entre conjuntos 
Las operaciones que pueden realizar con conjuntos son: la intersección, la unión, la diferencia, 
la diferencia simétrica y el complemento. 
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1.9.1 Intersección de conjuntos 
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos 
comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos y se denota : 𝐴 ∩ 𝐵 
Simbólicamente: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
 
Ejemplo: Determine 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 dado que A = {1,4,7,9} ; B = {1,2,9,5} ; C = {2,4,6,9} y U = 
{1,2,9,5,4,6,8,7} 
 
Solución 
La solución por simple inspección se determina buscando los elementos comunes que tienen 
los conjuntos A , B y C ; en efecto : 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {9} 
Para determinar la solución gráfica: 
1°) Buscamos los elementos comunes a A , B y C , en este caso 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {9} 
2°) Buscamos los elementos comunes entre pares, es decir: 
𝐴 ∩ 𝐵 = {1,9} ; 𝐴 ∩ 𝐶 = {4,6,9} ; 𝐵 ∩ 𝐶 = {2,9} 
Observamos que el 9 se repite en las intersecciones, entonces el dato ponemos en la 
intersección de los tres y completamos las intersecciones de pares de conjuntos con los datos 
faltantes de esas intersecciones 
3°) Completamos los conjuntos dados con los datos faltantes. 
4°) Subrayamos el área correspondiente, donde están los elementos obtenidos por simple 
inspección y ese es el resultado 
 
 
1.9.2 Unión de conjuntos 
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes y no 
comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos) y se denota: A∪ 𝐵 . 
Simbólicamente: A∪ 𝐵 = {{𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}} 
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Ejemplo : Determine 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 dado que A = {1,4,7,9} ; B = {1,2,9,5} ; C = {2,4,6,9} y U = 
{1,2,9,5,4,6,8,7} 
 
Solución 
Por simple inspección, la solución se obtiene poniendo primero los elementos comunes y 
luego se ponen los elementos no comunes, sin repetir elementos. En efecto, 
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {9,1,4,6,7,2,3} 
Para la solución gráfica, se procede tal como se halló la intersección del ejemplo anterior 
 
 
1.9.3 Diferencia de conjuntos 
La diferencia entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos no 
comunes del conjunto B respecto al conjunto A; es decir, los elementos que están en A, pero no 
están en B y se denota A-B. Simbólicamente: A – B = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} 
 
 
 
Ejemplo : determine gráficamente y por simple inspección los conjuntos C-B dado que 
B={1,2,9,5}, C={2,4,6,9} y U={1,2,9,5,4,6,8,7}. 
Solución 
Por simple inspección C-B={4,6} y gráficamente 
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1.9.4 Diferencia Simétrica de Conjuntos 
La diferencia simétrica entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los 
elementos no comunes de ambos conjuntos; es decir, los elementos que no están repetidos 
entre los conjuntos y se denota A △ 𝐵 
Simbólicamente: 𝐴 △ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ ( 𝐴 − 𝐵 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝐵 − 𝐴)} 
 
 
Ejemplo: Determine gráficamente y por simple inspección B △ 𝐶 , dados los conjuntos 
𝐵 = {1,2,9,5} ; 𝐶 = {2,4,6,9} 𝑦 𝑈 = {1,2,9,5,4,6,8,7} 
 
Solución 
Por simple inspección B – C = {1,5} y C – B = {4,6} 
Por Tanto B△ C = {1,4,5,6} 
 
 
 
1.9.5 Complemento de Conjuntos 
Sea U un conjunto universal respecto a un conjunto A ( 𝐴 ⊆ 𝑈 ). El complemento de A es el 
conjunto formado por los elementos de U que no están en A y se denota: A ´ , �̅� o Ac. 
Simbólicamente: 𝐴´ = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴, 𝐴 ⊆ 𝑈} 
 
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Ejemplo: Determine gráficamente y por simple inspección los conjuntos ( B∩ C)´ dado que : 
𝐵 = {1,2,9,5} ; 𝐶 = {2,4,6,9} 𝑦 𝑈 = {1,2,9,5,4,6,8,7} 
 
Solución 
Para obtener la solución por simple inspección determinamos primero la intersección entre B y 
C 
𝐵 ∩ 𝐶 = {2,9} 
 
Hallamos el complemento 𝐵 ∩ 𝐶 respecto a U 
(𝐵 ∩ 𝐶)´ = {1,4,5,6,7,8} 
 
 
 
 
 
2.Número de elementos de la Unión de dos conjuntos 
Sean A y B conjuntos cualesquiera, el número de elementos de 𝐴 ∪ 𝐵 denotado n(𝐴 ∪
𝐵) es n(A) + N(B) , si los conjuntos son disjuntos o también n(A) + n( B) – n(𝐴 ∩ 𝐵) , 
si los conjuntos no son disjuntos. 
En general al realizar la unión de conjuntos se juntan los elementos de los conjuntos en 
uno solo y aparecen elementos repetidos que corresponde a la intersección. Éstos no 
deben contarse, por lo tanto se resta. 
En general: n(A) + n( B) – n(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
Ejemplo: Dados los conjuntos A={2,3,5,7} y B={2,4,6,8} y C={1,9}, halle n(𝐴 ∪ 𝐵) , n(𝐴 ∪ 𝐶) 
 
Solución 
Hallamos la unión y la intersección entre los conjuntos A y B 
𝐴 ∪ 𝐵={2,3,5,7,4,6,8} 𝐴 ∩ 𝐵={2} 
Los conjuntos A y B no son disjuntos, entonces 
 n(𝐴 ∪ 𝐵) = 7 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
20 
 
Hallamos ahora n(𝐴 ∪ 𝐶) 
𝐴 ∪ 𝐶 ={2,3,5,7,1,9} 𝐴 ∩C ={ } 
A y C son disjuntos, por tanto n(𝐴 ∪ 𝐶) = 6 
 
2.1 Número de elementos de la unión de tres conjuntos 
Sean A, B y C conjuntos cualesquiera, el número de elementos de A ∪B∪ C denotadopor n (A ∪B∪ C ) es: 
n (A ∪B∪ C ) = n ( A ) + n (B ) + n ( C ) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n (A ∩B∩ 
C ) 
 
ACTIVIDAD N° 2 
1. Consideremos U={a , b , c , d , e} como conjunto universal y los subconjuntos 
A={a , b , d } , B={b , d , e} y C={a ,b , e }. Halla por extensión y luego represéntalos en 
el diagrama de Venn: 
 
a) A∪B = 
 
 
b) A∪C = 
 
 
c) A∩B = 
 
 
d) A' = 
 
 
e) C−A = 
 
 
f) B−C = 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
21 
 
 
g) A∩C' = 
 
 
h) A∪A' = 
 
 
 
i) A'∪C ' = 
 
 
j) B'−A'= 
 
 
 
 
 
 
2. Idem al anterior, para U={a , b , c , d , e , f , g } y A={a , b , c , d , e }, B={a , c , e , g } , 
C={b , e , f , g}. 
a) A∪B = 
 
 
b) A∪C = 
 
 
c) A∩B = 
 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
22 
 
 
d) A' = 
 
 
e) C−A = 
 
 
f) B−C = 
 
 
g) A∩C' = 
 
 
h) A∪A' = 
 
 
 
i) A'∪C ' = 
 
 
j) B'−A'= 
 
 
 
 
3. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12} el conjunto universal. Consideremos los subconjuntos, 
 A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11}, D = {2, 4, 8} y C = {2, 3, 6, 12}. Determina los 
conjuntos: 
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23 
 
 
a) A ∪ B= 
 
 
b) A ∩ C = 
 
 
c) (A ∪ B) ∩ C' = 
 
 
d) A – B = 
 
e) C – D = 
 
 
f) B △ D = 
 
 
4. Considerando U = {x ∈ 𝑍/2 ≤ 𝑥 < 9} ; A = { x ∈ 𝑍 1 ≤ 𝑥 < 5} ; 
B = { x ∈ 𝑍/−10 ≤ 𝑥 ≤ 10, 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟}. Determinar los conjuntos siguientes: 
 
a) A – B = 
 
b) A´- B´ = 
 
 
c) A ∆ B 
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24 
 
 
 
d) P ( A ) ∩ P ( B ) = 
 
 
 
5. Considerando A = { x ∈ 𝑁/−3 < 𝑥 ≤ 8} ; B = { x ∈ 𝑁, −2 < 𝑥 < 8} ; 
B = { x/ x ∈ 𝑁 , −2 < 𝑥 < 4} , U = A∪ B , determine : ( A ∆ B ) ´ 
 
 
 
 
 
 
 
6. Sean los conjuntos A = { 𝑥 ∈ 𝑍/( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 1) = 0} 
B = { x ∈ 𝑍/(𝑥2 − 1)(𝑥2 − 4) = 0} y U = A ∪ B. Determine E = ( A – B)´ 
 
 
 
 
4. Problemas de Aplicación de las Operaciones entre Conjuntos 
a) Una encuesta realizada a excursionistas de la ciudad de Medellín entre los últimos 4 años 
acerca de los que habían visitado a Argentina, Bolivia y Canadá arrojó la siguiente información: 
48% había ido a Argentina , 46% había ido a Bolivia , 30% había ido a Canadá , 26% había ido a 
Argentina y Bolivia , 15% había ido a Bolivia y Canadá ,13% había ido a Argentina y Canadá , 10% 
había ido a los tres países 
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25 
 
Se quiere saber: 
a) El porcentaje que no ha ido a ninguno de los tres países 
b) El porcentaje que ha ido a los sumo a dos países 
c) El porcentaje que ha ido al menos a dos de estos países 
d) El porcentaje que ha ido exactamente a un país 
e) El porcentaje que ha ido a Argentina y no a Canadá 
f) El porcentaje que ha ido a Bolivia o a Canadá, pero no a Argentina 
Solución 
Tomamos como recurso el diagrama de Venn para graficar el problema, luego las operaciones 
de conjuntos lograremos la solución. 
En efecto, veamos la gráfica del problema: 
Designemos A: Argentina, B: Bolivia y C: Canadá y U: 100% de los encuestados 
Para graficar tenemos en cuenta, que se inicia primeramente con las instrucciones que indican 
intersección (de pares de conjuntos y de los tres); que se completan los conjuntos dados y que 
el total, por ningún motivo, debe ser mayor que 100. 
 
Solución de a: según la gráfica, el porcentaje que no ha ido a ninguno de los tres países es 20%. 
Observe que está ubicado por fuera de los tres conjuntos. 
 
Solución de b: La palabra “a lo sumo” significa “máximo”; en nuestro problema, donde se pide 
hallar los que máximo han ido a dos países, es similar a que estén pidiendo los que han ido a 1 ó 
a 2 países: 3%+15%+5%+16%+19%+12%=70% 
 
Solución de c: La palabra “al menos” significa “mínimo”; en nuestro problema, donde se pide 
hallar los que mínimo han ido a dos país, es similar a que estén solicitando los que han ido a 2 ó 
3 países: 
10%+16%+3%+5%=34% 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
26 
 
 
Solución de d: Los que han ido exactamente a uno de estos países son aquellos que viajado 
únicamente a Argentina o únicamente a Bolivia o únicamente a Canadá. En efecto son: 
15%+19%+12%=46% 
 
Solución de e: el porcentaje que ha ido a Argentina y no a Canadá corresponde a la sección que 
está en A, pero no está en C. Por consiguiente, es: 
19%+16%=35% 
 
Solución de f: La solución se puede ver en el diagrama de la figura se tiene: 
15%+5%+12%=32% 
 
 
 
ACTIVIDAD N° 3 
1. El equipo de futbol-sala de la 3a clase del instituto Megalio está formado por Pedro, Diego, 
Hugo, Carlos, Roberto, Rolando y Edgar. El equipo de Olimpiadas de Matemáticas de dicha 
clase está formado por Andrea, Diego, Cristina, José, Rolando y Edgar. 
a) Quienes están en ambos equipos? . 
b) Quienes están en al menos uno de los dos equipos? . 
c) Quienes están en el equipo de futbol-sala pero no en el de las 
olimpiadas? . 
d)Quienes están únicamente en el equipo de las olimpiadas?. 
e)Quienes están solo en uno de esos dos equipos? 
 
 
 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
27 
 
 
 
 
 
2.Laura tiene discos de diferentes géneros musicales: pop, rock, punk, gothic, clásica y jazz. Su 
amiga Diana tiene discos de salsa, gothic, hip-hop, pop, metal e industrial. Luis, un amigo 
común, quería escuchar la música que le gusta a cada una de ellas, así que le prestaron un 
disco de cada uno de los géneros. 
a) De que géneros le han prestado los discos? 
b) Si Luis se decide a oír primero los discos que le gustan a ambas, .que discos ha de oír?. 
 
 
 
 
 
 
 
3. En una encuesta realizada a 100 viviendas de un barrio , se obtuvo que: 60 casas tenían TV 
plasma, 30 casas tenían equipo de sonido, 20 casas tenían DVD, 21 casas tenían TV plasma y 
equipo de sonido , 15 casas tenían TV plasma y DVD , 4 casas tenían equipo de sonido y DVD. 
Cuántas casas como máximo no tenían estos aparatos? 
 
 
 
 
 
 
 
4.Un grupo de alumnos de la carrera de Ingeniería en Informática ha planeado realizar una 
investigación sobre las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las películas A , B y 
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28 
 
C. Después de encuestar a 50 personas se obtuvo la siguiente información: 20 han visto la 
película A , 17 han visto la película B , 23 han visto la película C , 6 han visto las películas A y B, 
8 han visto las películas B y C , 10 han visto las películas A y C y 2 han visto las tres películas. 
Cuántas personas han visto solo una película? 
Cuántas personas han visto al menos una película? 
 
 
 
 
 
 
 
5.Se pregunto a 50 padres de alumnos sobre los deportes que practicaban, 
obteniéndose los siguientes resultados: 20 practican solo futbol, 12 practican futbol y natación 
; 10 no practican ninguno de estos deportes. Con estos datos averigua : 
a) el número de padres que practican natación, el numero de ellos que solo practican 
natación 
b) el número de los que practican alguno de dichos deportes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.Se pregunto a 11 profesores del instituto acerca de sus preferencia por dos marcas de café 
instantáneo A y B y se obtuvieron los siguientes resultados: 7 prefirieron solo una de dichas 
marcas; el número de personas que prefirieron ambas marcas fue igual al número de personas 
que no prefirió ninguno de las dos; 3 personasmanifestaron que no prefieren la A pero si la B. 
Se desea saber: a) .Cuantas personas prefirieron la marca A? 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
29 
 
b) .Cuantas personas prefirieron solo la B? 
 c) .Cuantas personas manifestaron que les eran indistintas ambas marcas? 
 
 
 
 
 
 
 
7.Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de 
refrescos, Vinea y Kofola y se obtuvieron los siguientes resultados: todos admitieron que les 
gusta alguno de los dos refrescos, 3 estudiantes manifestaron que les gusta Vinea pero no 
Kofola, 6 dijeron que no les gusta Kofola. Se desea saber:< 
 a)cuantos de los encuestados les prefirieron Kofola? 
b) cuantos de los encuestados prefirieron Vinea? 
 c) Cuantos de los encuestados prefirieron Vinea o Kofola? 
 
 
 
 
 
 
 
8.Se hizo una encuesta entre 1000 personas de Bratislava para determinar el medio de 
comunicación empleado para conocer las noticias del dia ; 400 respondieron que se enteran 
de forma regular de los sucesos del dia a traves de la televisión, 300 lo hacen a través de la 
radio. De las cantidades anteriormente mencionadas, 275 corresponde al numero de personas 
que utilizan ambos medios para estar al día en los acontecimientos del mundo. 
 a) .Cuantas de las personas encuestadas se enteran de las noticias solo a través de la 
televisión? 
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30 
 
 b) .Cuantas de las personas entrevistadas lo hacen únicamente a través de la radio? c) 
.Cuantas de las personas investigadas no hacen uso de ninguno de los dos medios? 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los cuales 65 
aprobaron el examen de Matemáticas, 25 el de Matemáticas y Física y 15 aprobaron solo el de 
Física. Cuántos no aprobaron ninguno de los exámenes mencionados? 
 
 
 
 
 
 
 
10.De un total de 60 alumnos del primer curso del I. B. Todo estudiado: 15 estudian solamente 
ruso, 11 estudian ruso e inglés, 12 estudian solo alemán; 8 estudian ruso y alemán; 10 estudian 
solo inglés; 5 estudian inglés y alemán; y 3 los tres idiomas. 
Determina: a) .Cuantos no estudian ningún idioma? b) Cuantos estudian alemán? c) Cuantos 
estudian solo alemán e inglés? d) Cuantos estudian ruso? 
 
 
 
 
 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
31 
 
 
 
 
 
11.Se pregunto a unas cuantas madres de alumnos de nuestro instituto sobre si leen o no 
alguna de las revistas “La Marqueza”, “Solo Para Mujeres” y “Buena Comida” y se obtuvieron 
los siguientes resultados: 48 leen “La Marqueza“, 40 leen “Solo Para Mujeres”, 34 leen “Buena 
Comida”, 25 leen “La Marqueza” y “Solo Para Mujeres”, 14 leen “Solo Para Mujeres” y “Buena 
Comida”, 23 leen “La Marqueza” y “Buena Comida” y 3 madres leen las tres revistas. Se pide 
ilustrar el problema con un diagrama de Venn, el numero de madres entrevistadas, y .cuantas 
de ellas leen solo una de las tres revistas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y 
C, se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el 
producto B, 50 consumen únicamente el producto A, 30 solo el producto B, el número de 
personas que consumen solo B y C es la mitad del número de personas que consumen solo A y 
C, el número de personas que consumen solo A y B es el tripe del número de las que 
consumen los tres productos y hay tantas personas que no consumen los productos 
mencionados como las que consumen solo C. Determina: 
 a)el número de personas que consumen solo dos de los productos, 
b) el número de personas que no consumen ninguno de los tres productos, 
c) el número de personas que consumen al menos uno de los tres productos. 
 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13.Un club consta de 78 personas, de las cuales 50 juegan al futbol, 32 al baloncesto y 23 al 
volleyball. Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. 
a)Cuántas personas practican solo un deporte? .cuántas practican solo dos deportes? 
b)Cuántas practican al menos dos deportes? .Cuántas practican a lo sumo dos 
deportes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.En un Congreso Internacional de Medicina, se debatió el problema de la eutanasia y se 
planteó una moción. Los resultados fueron los siguientes: 115 europeos votaron a favor de la 
moción, 75 cardiólogos votaron en contra, 60 europeos votaron en contra, 80 cardiólogos 
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33 
 
votaron a favor. Si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos 
de otras especialidades y no hubo abstenciones. .Cuántos médicos participaron en el 
congreso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15.Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas, para determinar que medio utilizan 
para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias en forma 
regular por TV, 300 personas escuchan las noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias 
por ambos medios. 
a.-. Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la TV? 
b.-. Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por Radio? 
c.-.Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias? 
 
 
 
 
 
16.Se realizó una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de productos A 
y B. Obteniéndose lo siguientes resultados: 
El número de personas que prefirieron uno solo de los productos fueron 7. 
El número de personas que prefirieron ambos productos fue igual al número de 
personas que no prefirió ninguno de los dos productos. 
El número de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el producto B fueron 3. 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
34 
 
Se desea saber: 
a) .Cuántas personas prefieren el producto A? 
b) .Cuántas personas prefieren el producto B solamente? 
c) .Cuantas personas prefieren ambos productos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17.Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de 
refrescos Pepsi y Coca Cola. Obteniéndose lo siguientes resultados: 
El número de estudiantes que prefirieron Pepsi pero no Coca Cola fue de 3. 
El número de estudiantes que no prefirieron Pepsi fueron 6. 
Se desea saber: 
a) .Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi? 
b) . Cuántos de los encuestados prefirieron Coca Cola? 
c) . Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola? 
 
 
 
 
 
 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
35 
 
 
 
 
 
18.Determina el número de alumnos de una clase, si se sabe que cada uno participa en al 
menos una de las tres seminarios de ampliación de las asignaturas Matemáticas, Física o 
Química. 48 participan en el de Matemáticas, 45 en el de Física, 49 en el de Química, 28 en el 
de Matemáticas y Física, 26 en el de Matemáticas y Química, 28 en el de Física y Química y 18 
en los tres seminarios. 
a) Cuantos alumnos participan en los seminarios de Física y Matemáticas, pero no en el 
de Química? . 
b) Cuantos participan solo en el de Química? 
 
 
 
 
 
 
 
19. En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las 
siguientes respuestas, 30 personas tomaban te con leche, 40 personas tomaban cafe 
con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban te o leche y 150 
tomaban cafe o leche. a) .Cuantaspersonas tomaban te puro? b) .Cuantas personas 
tomaban leche pura? c) .Cuantas personas tomaban cafe puro? d) .Cuantas 
personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno? 
 
 
 
 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
36 
 
 
 
 
 
 
 
20. Un hotel recibe 60 visitantes, de los cuales 37 permanecen como minimo 1 semana, 
43 gastan como minimo 30.000 € diarios, 32 estan completamente satisfechos del 
servicio; 30 permanecieron como minimo una semana y gastaron como minimo 
30.000 € diarios, 26 permanecieron como minimo una semana y quedaron 
completamente satisfechos, 27 gastaron como minimo 30.000 € diarios y quedaron 
completamente satisfechos y 24 permanecieron como minimo una semana, gastaron 
como minimo 30,000 € diarios y quedaron completamente satisfechos. a) .Cuantos 
visitantes permanecieron como minimo una semana, gastaron como minimo 30.000 € 
diarios pero no quedaron completamente satisfechos? b) .Cuantos visitantes 
quedaron completamente satisfechos , pero permanecieron menos de una semana y 
gastaron menos de 30.000 € diarios? c) .Cuantos visitantes permanecieron menos de 
una semana y gastaron menos de 30.000 € diarios y no quedaron completamente 
satisfechos.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
37 
 
 
 
21. Se encuesta a 100 personas obteniéndose la siguiente información: Todo encuestado 
que es propietario de automóvil también lo es de una casa. 54 encuestados son 
hombres. 30 de los encuestados que son hombres no son propietarios de un 
automóvil. 30 de los encuestados que son mujeres son propietarios de una casa. 5 
de los encuestados que son mujeres son solamente propietarios de una casa. 15 
encuestados que son propietarios de una casa no lo son de un automóvil. a) Hacer un 
diagrama adecuado a la situación e indicar la cardinalidad correspondiente a cada 
region. b) .Cuantos encuestados que son hombres son solamente propietarios de 
casa? c) .Cuantas mujeres no son propietarios de casa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 3 
LOGICA MATEMATICA 
 
1.1 INTRODUCCIÓN 
La palabra “lógica” etimológicamente, proviene del griego logos, que tiene varios 
significados: pensamiento, inteligencia, razón, facultas de apresar el que de las cosas, 
estudio, etc. 
Para Aristóteles, la lógica era “Organon”, la introducción a cualquier ciencia. Para Santo 
Tomás, la lógica, es la ciencia por excelencia, pues es obra de la razón y tiene como objeto 
de estudio la razón. 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
38 
 
La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la 
demostración e inferencia válida. 
Matemática es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento 
lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números, figuras 
geométricas, símbolos). 
La lógica matemática es una parte de la lógica y de las matemáticas que estudia la 
matemática de la lógica. Tiene gran aplicación en el estudio de otras áreas de las 
matemáticas (como la geometría) y la lógica filosófica y, estrechas conexiones con la ciencia 
de la computación. La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la 
«matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y 
estudiadas, matemáticamente. 
Razonamiento es la forma ágil y asertiva del pensamiento inductivo. Es la facultad que 
permite resolver problemas, extraer conclusiones y aprender de manera consciente de los 
hechos, estableciendo conexiones causales y lógicas necesarias entre ellos. 
El razonamiento lógico o causal es un proceso de lógica mediante la cual, partiendo de uno 
o más juicios, se deriva la validez, la posibilidad o la falsedad de otro juicio distinto. 
 
Con el estudio de la Lógica se persigue llegar a ser preciso y cuidadoso. La Lógica tiene 
lenguaje exacto. Es necesario redactar un conjunto de reglas que sean perfectamente 
claras y definidas.. La Lógica nos ayuda a aprender una forma de razonar que es exacta y a 
la vez útil. 
 
1.2 Formas o estructuras del Pensamiento 
Las formas o estructuras del pensamiento son: 
a) El concepto: que es una simple representación, la idea que no afirma ni niega nada, 
por lo que el concepto no es verdadero ni falso. Su expresión menciona animales, 
personas, cosas. 
b) El juicio: es la relación enunciativa ( que afirma o niega) de conceptos. Por el hecho de 
afirmar o de negar, el juicio puede ser verdadero o falso. Su expresión es la 
proposición. 
Ejemplos: 
El Paraguay es un país mediterráneo ( V ) 
El primer presidente constitucional del Paraguay fue el Mcal. Francisco Solano López ( 
F) 
 
c) El razonamiento: es la operación lógica por la cual se relacionan entre sí dos o más 
juicios ( premisas) de modo que éstas sirven como punto de partida de donde se 
infiere otro juicio que es la conclusión lógica. Generalmente, la conclusión va 
precedida por una de las siguientes expresiones: por lo tanto, por consiguiente, luego, 
en consecuencia, por ende, etc. 
Ejemplos: El Paraguay no tiene costas sobre el mar. Por tanto es un país mediterráneo 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
39 
 
 
1.3 PROPOSICIONES: 
Para comunicarnos, ya sea de forma escrita o verbal, usamos enunciados. Los enunciados son 
las unidades mínimas del lenguaje que pueden transmitir un mensaje. Un enunciado( o 
proposición no lógica) es una expresión del lenguaje que puede ser falso o verdadero o no serlo. 
Dichos enunciados pueden ser interrogativos o prescriptivos, ya que a éstos no puede asignarse 
un valor de verdad. 
Ejemplo : son enunciados por ejemplo, coma carne de res, tome vino tinto seco. 
Los siguientes son ejemplos de los diferentes tipos de enunciados: 
Enunciado Tipo Explicación 
¡Ven a verme! Imperativo 
Le damos una orden o instrucción a otra persona para que 
ejecute una acción. 
¡Viva la libertad! Exclamativo 
Expresamos una emoción, en este caso en particular 
expresamos un deseo: queremos que la libertad viva. 
¿Está lloviendo? Interrogativo 
Solicitamos información sobre un evento o situación. En 
este caso queremos saber si llueve o no. 
El trabajo es muy 
complicado. 
Aseverativo 
Transmitimos información que puede ser falsa o verdadera. 
En este caso puede ser cierto que el trabajo sea complicado, 
o puede ser falso, y el trabajo en realidad es sencillo. 
 
 
En la lógica proposicional nos interesan los enunciados aseverativos y se les 
llama proposiciones. Una proposición es un enunciado declarativo al que puede asignarse 
valores de verdad. La proposición lógica es la expresión lingüística del razonamiento, que se 
caracteriza por ser verdadera o falsa empíricamente, sin ambigüedades. 
Ejemplo : son ejemplos de proposiciones, el ser humano es inteligente, 2+3 es 5; la vaca es 
negra; 2+4x= -2; si 2+3 es 5 entonces 2+4x= -2. 
Las expresiones aseverativas o proposiciones que cumplen con estas características:[2] 
 Solo pueden tener uno de los siguientes valores de verdad: 
 Verdadero: Usualmente representado con la letra . 
https://www.ecured.cu/Ling%C3%BC%C3%ADstica
https://es.wikiversity.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional/Proposiciones#cite_note-klement-2
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40 
 
 Falso: Usualmente representado con la letra . 
 No pueden ser falsas y verdaderas al mismo tiempo. 
 Su valor de verdad de pende únicamente de las proposiciones mismas y no de factores 
externos. 
Los siguientes son algunos ejemplos de proposiciones con sus correspondientes valores de 
verdad: 
Proposición Valor de 
verdad 
El año empieza con el mes de enero VCuando está soleado se siente calor V 
En invierno no es agradable sentir frío V 
1 + 1 = 2 V 
Marte está lleno de marcianitos F 
5 * 9 = 59 F 
 
Las primeras cuatro proposiciones son verdaderas y se dice que su valor es V, mientras que las 
últimas dos son falsas y su valor es F . Dentro de las proposiciones verdaderas, la última 
(1+1=2) no representa ninguna palabra o frase, sin embargo es una expresión matemática 
verdadera. Y lo mismo pasa con la proposición (5*9=59), cuyo valor lógico es falso. No es 
necesario que una proposición sea una expresión verbal, simplemente necesitamos poder 
determinar el valor de verdadero o falso. 
 
 
Conclusión: 
Son proposiciones lógicas las oraciones aseverativas, las leyes científicas, las fórmulas 
matemáticas, las fórmulas y/o esquemas lógicos, los enunciados cerrados o claramente 
definidos. No son proposiciones lógicas las opiniones y suposiciones; los proverbios, 
modismos y refranes; los enunciados abiertos no definidos; las oraciones interrogativas, 
exclamativas, imperativas, desiderativas y dubitativas; las interjecciones en general. 
 
 Se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones lógicas : atómicas y moleculares. 
Proposición atómica: son las proposiciones lógicas de forma simple, es una proposición 
completa sin términos de enlace. 
Ejemplos: 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
41 
 
 Hoy hace calor. 
 Estoy en el primer semestre de la Universidad. 
 
Proposición molecular: si se juntan una o varias proposiciones atómicas con un término de 
enlace. 
Ejemplos: 
 Luis está en el primer semestre y Carlos en el segundo. 
 Si hoy es miércoles, entonces iré al cine. 
En los dos ejemplos anteriores, las proposiciones simples se unieron por términos de enlace. 
En el primer ejemplo el término de enlace fue la conjunción y, mientras que en el segundo la 
condicional sí, ..... entonces. 
 
1.3TERMINOS DE ENLACE: 
Los términos de enlace de proposición o simplemente concetores son las palabras “y”, “o” , 
“no”, “si... entonces”, “si y sólo si”, que sirven para enlazar proposiciones atómicas y 
convertirlas en proposiciones moleculares. ... entonces”, “si y sólo si” se usan para enlazar dos 
proposiciones. 
Se simbolizan:  Se denomina conjunción ( y ) 
  Se denomina disjunción ( o ) 
  Se denomina negación (no) 
  Se denomina condicional ( sí, entonces) 
  Se denomina bicondicional ( sí y solo sí ) 
 
Ejemplos: 
Hoy es jueves y mañana viernes. 
José está en el primer semestre o en el segundo semestre. 
Si y solo sí apruebo la tesis, entonces iré de vacaciones. 
Si hoy llueve entonces el calor húmedo estará muy alto. 
No iré el sábado a bailar. 
1.4 SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
42 
 
Generalmente se cree que las proposiciones atómicas son proposiciones cortas, pero 
también algunas de las proposiciones atómicas del lenguaje corriente son largas. En 
Lógica se afronta este problema utilizando símbolos en lugar de las proposiciones 
completas. 
Los símbolos que utilizaremos para representar proposiciones, son letras mayúsculas. 
Ejemplos: 
 Simbolizar las proposiciones moleculares siguientes : 
* Los patitos no se transforman en cisnes 
 
 P= los patitos se transforman en cisnes   P 
 
OBSERVACIÓN: 
Al simbolizar una proposición que tiene el término de enlace “no”, la palabra no se 
pone delante del símbolo que sustituye a la proposición atómica. El término de enlace, 
no es una parte de la proposición atómica y por tanto la palabra “no” debe separarse 
de la proposición atómica. 
 
* La nieve es profunda y el tiempo es frío. 
 
 P= la nieve es profunda Q= el tiempo es frío  P  Q 
 
* Si llueve el sábado entonces el juego de voley vall se suspenderá. 
 
P= llueve el sábado Q= el juego de voley vall P Q 
 
* Pedro está en casa o fue al cine 
 
 P= Pedro está en casa Q= fue al cine  P  Q 
 
* Pasaré el examen si y solo si estudio todos los días. 
P= pasaré el examen Q= estudio todos los días  P Q 
Representación de las simbolizaciones de la lógica proposicional 
 
Expresiones en el 
 lenguaje natural 
Simbolización 
No P 
Es falso que 
No es cierto que 
− 𝑃 
P y Q 
P sin embargo Q 
P no obstante Q 
P a pesar de Q 
 
𝑃 ∧ 𝑄 
O P o Q o ambas cosas 
Al menos P o Q 
 
𝑃 ∨ 𝑄 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
43 
 
Como mínimo P o Q 
O P o Qara P 
Exclusivo 
𝑃 𝑤 𝑄 
Si P entonces Q 
P solo si Q 
Q si P 
Q es necesario para P 
P es suficiente para Q 
No P a menos que Q 
No P o Q 
 
 
𝑃 → 𝑄 
P si y solo si Q 
P es necesario y suficiente para Q 
Q es necesario y suficiente p 
 
𝑃 ↔ 𝑄 
 
 
 
Actividades N° 3 
1. De los enunciados siguientes, señalo cuales son proposiciones lógicas y cuales no 
lógicas: 
1) Los flamencos son aves. ( ) 
2) ¡Oh, América inmortal! ( ) 
3) Todos los postres de chocolate están riquísimos. ( ) 
4) La casa de la pradera. ( ) 
5) ¡Esta es una desgracia! ( ) 
6) ¿Son cuadriláteros, todos los paralelogramos? ( ) 
7) Algunos crímenes son ejecutados involuntariamente. ( ) 
8) Ninguna estrella es un satélite. ( ) 
9) Los Aztecas edificaron su capital, Tenochitlán. ( ) 
10) Estudiamos Informática. ( ) 
11) El cielo es rojo. ( ) 
12) Miguel Cervantes es el autor de “El Quijote”. ( ) 
13) El Taguá es un animal en peligro de extinción ( ) 
14) La circunferencia trigonométrica es la que tiene radio igual a la unidad. (
 ) 
15) Déjenme sola. ( ) 
16) La lógica enseña a pensar. ( ) 
17) Todas las ballenas son mamíferos. ( ) 
18) ¡Sopla, sopla el viento de invierno!. ( ) 
19) Estudia con ahínco. ( ) 
20) Un triángulo equilátero no es un polígono. ( ) 
 
2. Escribe al lado de cada proposición lógica, si es afirmativa o negativa 
1) Todo río corre hacia abajo. ………..……….. 
2) La petulancia de ese individuo me fastidia. ………..……….. 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
44 
 
3) Carlos A. López fue el primer presidente constitucional que tuvo el Paraguay.
 ………..……….. 
4) Napoleón Bonaparte fue un emperador francés ………..………. 
5) 2 es un número irracional. ………..……….. 
6) El 9 es un número primo. ………..……….. 
7) Alguno periodistas no son veraces. ………..……….. 
8) Napoleón era un inglés. ………..……….. 
9) Algunos animales son carnívoros. ………..……….. 
10) No todo lo que brilla es oro. ………..……….. 
11) Ni uno solo de los alumnos es mentiroso. ………..……….. 
12) No todos los estudiantes son responsables. . ………..……….. 
13) Todos los cuadrúpedos son mamíferos. ………..……….. 
 
 
 
3. De los siguientes enunciados señalo la opción correcta: 
1. Una proposición es: 
a) ( ) un enunciado que solo expresa un juicio falso. 
b) ( ) un enunciado que expresa ruego, orden, mandato. 
c) ( ) un enunciado que solo expresa un juicio verdadero. 
d) ( )Un enunciado que expresa un juicio que puede ser falso o verdadero. 
e) ( )Ninguno es correcto. 
4. Señalo la opción que no corresponde a una proposición 
( ) Hay nubarrones de tormenta en el sur de la región. 
( ) La región oriental está más poblada que la Occidental. 
( )Ojalá el presidente electo cumpla con todas sus promesas. 
( )El Paraguay tiene una superficie de 406.752 km2. 
( )Sal de mi presencia, ahora. 
( )Ninguna no corresponde. 
 
5. Señalo la opción que corresponde a una proposición lógica 
( ) La larga sequía perjudica a la ganadería y a la agricultura. 
( ) Que tengas un buen desempeño en tu nuevo trabajo.( ) Sé atento y correcto con los demás. 
( ) El guaraní y el español son idiomas oficiales del Paraguay. 
( ) Francia no se localiza en el continente americano. 
( ) Acaso viven en un estado paupérrimo. 
( ) Ninguna corresponde. 
 
6. Subrayo los términos de enlace (conectivos) que conozco, en las proposiciones 
siguientes: 
1. Si mañana amanece despejado, entonces iremos de pesca. 
 
2. Los números 5 y 11 son primos. 
 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
45 
 
 
3. La hidrografía estudia los cerros, cordilleras, montañas. 
 
4. El 3 es un número primo o número impar. 
 
 
5. Compraré ese libro , si y solo si, cuesta menos de G 100 000 
 
 
 
 
7. Señala cada proposición atómica con A y cada proposición molecular con M. 
1) Algunos alumnos son deportistas. ( ) 
2) Aquella fue una aventura inolvidable. ( ) 
3) Desapareció mi perro o lo escondieron ustedes. ( ) 
4) Si la superficie del Paraguay es de 406. 752 km2 y la de Cuba 114.524 km2.
 ( ) 
5) Cristhian Barnard fue el primero que realizó un transplante de corazón 
humano. 
( ) 
6) La unidad de medida de velocidad es de metro/segundo. ( ) 
7) Un triángulo es escaleno, si y solo si sus tres lados son desiguales. (
 ) 
8) Roberto Koch descubrió el bacilo de la tuberculosis en 1882 y Fleming la 
penicilina en 1 928. ( ) 
9) Voy a ir de campamento este fin de semana. ( ) 
10) Si x es un múltiplo de 4, no es menor que 3. ( ) 
11) La democracia bien aplicada tiene sus ventajas. ( ) 
12) Si está lloviendo , entonces no iremos al cine. ( ) 
13) Voy, si y solo si hace calor. ( ) 
14) Estela está en el primer semestre de la Universidad y Carlos en el 4º semestre. 
 ( ) 
15) El continente americano fue descubierto en el año 1 492. ( ) 
16) El diámetro de la circunferencia es el doble del radio, si y solo si el radio es 
igual a la mitad del diámetro. ( ) 
17) Algunas mujeres no son tiernas. ( ) 
18) La música es muy suave o la puerta está cerrada. ( ) 
19) El sol calentaba y el agua estaba muy agradable. ( ) 
20) El triángulo es equilátero si y solo si los tres ángulos interiores son iguales.(
 ) 
 
 
8. Utilizo los conectivos ( no repetir los conectivos), para formar otras proposiciones 
lógicas a partir de las dadas. 
1. Los delincuentes comenten las malas acciones. 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
46 
 
Acabarán siendo apresados. 
 
2. Hoy el cielo está despejado. 
Hace mucho calor. 
 
3. Terminé mi trabajo a las 15:00 horas. 
 
4. Esteban estudiará en la UNIDA. 
Carlos irá a otra Universidad 
 
5. La expresión “ojos del cielo” es una metáfora. 
Relaciona los ojos celestes con el color del cielo. 
 
 
9. Simbolizar las proposiciones moleculares siguientes, utilizando el símbolo lógico 
correspondiente para los términos de enlace. Indicar la proposición atómica 
sustituyendo por letras mayúsculas. 
 
a) Teresa es la primera y Tomás es el cuarto. 
 
 
b) Las arañas no son insectos. 
 
c) Si Luis es el ganador, entonces él obtendrá la medalla. 
 
 
d) Patricia vive en nuestra calle y Manuel en la manzana contigua. 
 
 
e) Esta es el aula de Informática o es el aula de Auditoría. 
 
f) En el hemisferio sur, julio no es mes de verano. 
 
 
g) La estrella de mar es un equinodermo y los erizos de mar son también equinodermos. 
 
h) Si hace suficiente frío entonces el lago se helará. 
 
 
i) O no es jueves o no sucedió en lunes. 
 
 
j) O una anémona es un animal o es una planta. 
 
 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
47 
 
k) Luisa no es una persona alta. 
 
 
l) Jaime no es puntual y Tomás llega tarde. 
 
 
m) Si no sucedió en lunes entonces no es jueves. 
 
 
n) Si su producción crece entonces Juan podrá estabilizar el precio. 
 
 
o) Hemos de llegar allí, u otro recibirá el empleo. 
 
 
p) París está en Francia y Zurich en Suiza. 
 
 
q) Las rosas son rojas y las violetas son azules. 
 
 
r) Si está nublado, entonces se vendrá un temporal. 
 
 
s) Si y solo si García entrega la mercadería en el tiempo indicado, entonces el contrato se 
considera legal. 
 
 
t) Si el freno falla o el camino está helado, entonces el coche no parará. 
 
 
u) No ocurre que si x es un número impar entonces x es divisible por 2 
 
 
v) Si x más cuatro es siete e y mas x es ocho entonces y es cinco 
 
 
w) Si x no es igual a cinco , entonces o es mayor que cinco o es menor que cinco. 
 
 
x) Si los deseos fueran caballos, entonces los mendigos cabalgarían. 
 
 
y) La función de las vitaminas es facilitar la acción de las enzimas. 
 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
48 
 
z) Se come para vivir y no se vive para comer. 
 
 
aa) Los ecosistemas naturales mantienen constantemente la cantidad de materia. 
 
bb) El período jurásico es la época del apogeo de los dinosaurios. 
 
10. Construye 5 proposiciones atómicas y escribe, luego 5 proposiciones moleculares a 
partir de las atómicas. 
 
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………… 
 
11. Forma 5 proposiciones moleculares utilizando una o dos proposiciones escritas, con 
un término de enlace. Utiliza cada uno de los conectivos una sola vez, de modo que 
cada una de las proposiciones tenga distintos términos de enlace. 
 
Proposiciones atómicas 
a) Pablo podría ganar fácilmente. 
b) El viento sopla fuerte. 
c) La fuerza mejor conocida es la gravitatoria. 
d) El ser humano adquiere su energía, cuando corre. 
e) Me gustan mucho las estadísticas. 
f) Estaré recabando datos importantísimos. 
g) Los anfibios se desplazan por el agua. 
h) El amigo de Raúl es un gran atleta. 
i) Analizaremos que planes hay para mañana 
j) Estamos exhaustos por la veloz carrera emprendida 
k) La lluvia puede ser la causa de que se suspenda el partido. 
Proposiciones moleculares 
a) …………………………………………………………………. 
b) …………………………………………………………………. 
c) …………………………………………………………………. 
d) …………………………………………………………………. 
e) …………………………………………………………………. 
 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
49 
 
12. Simbolizar las proposiciones moleculares siguientes, utilizando el símbolo lógico 
correspondiente para los términos de enlace. Indicar la proposición atómica 
sustituyendo por letras mayúsculas. 
a) Teresa es la primera y Tomás es el cuarto. 
 
b) Las arañas no son insectos. 
 
 
c) Si Luis es el ganador, entonces él obtendrá la medalla. 
 
d) Patricia vive en nuestra calle y Manuel en la manzana contigua. 
 
 
e) Esta es el aula de Informática o es el aula de Auditoría. 
 
f) En el hemisferio sur, julio no es mes de verano. 
 
 
g) La estrella de mar es un equinodermo y los erizos de mar son también equinodermos. 
 
h) Si hace suficiente frío entonces el lago se helará. 
 
 
i) O no es jueves o no sucedió en lunes. 
 
j) O una anémona es un animal o es una planta. 
 
 
k) Luisa no es una persona alta. 
 
l) Jaime no es puntual y Tomás llega tarde. 
 
 
m) Si no sucedió en lunes entonces no es jueves. 
 
n) Si su producción crece entonces Juan podrá estabilizar el precio. 
 
 
o) Hemos de llegar allí, u otro recibirá el empleo. 
 
p) París está en Francia y Zurich en Suiza. 
 
q) Las rosas son rojas y las violetas son azules. 
 
r) Si está nublado, entonces se vendrá un temporal. 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de MatemáticaI 
 
50 
 
 
s) Si y solo si García entrega la mercadería en el tiempo indicado, entonces el contrato se 
considera legal. 
 
t) Si el freno falla o el camino está helado, entonces el coche no parará. 
 
u) No ocurre que si x es un número impar entonces x es divisible por 2 
 
v) Si x más cuatro es siete e y mas x es ocho entonces y es cinco 
 
w) Si x no es igual a cinco , entonces o es mayor que cinco o es menor que cinco. 
 
13. Subrayo los conectivos utilizados en cada una de las proposiciones moleculares y 
escribo sus nombres 
1) Si Carlos tiene aptitud para las matemáticas, entonces participará en las 
Olimpiadas. …………………….. 
2) x = 3 o y + z = 2 …………………….. 
3) y = 2 y z = 8 …………………….. 
4) Si y = 3, entonces y + 2 = 5 …………………….. 
5) No ocurre que la lógica sea difícil. …………………….. 
6) x + 4 = 9 , si y solo si x = 5 …………………….. 
7) No me agradan los alumnos irresponsables. …………………….. 
8) No ocurre que x + y > 2 …………………….. 
9) Si hace frío entonces el lago se congelará. …………………….. 
10) Si me gusta la matemática, entonces me gusta la física. …………. 
11) Juan vive en nuestra calle. …………………….. 
12) El primer grupo social es la familia y ésta es el núcleo fundacional de toda 
sociedad. …………………….. 
13) El carbón es un fósil p este combustible tiene alto poder calorífico. 
14) Si x2 = 81, entonces x = 9. …………………….. 
15) Todo atómo está formado por el núcleo y la corteza, si y solo si en el núcleo 
reside la carga positiva. …………………….. 
16) El hierro es un metal sólido o es un metal orgánico. …………………….. 
 
14. Escribo en lenguaje corriente proposiciones de las formas indicadas. Suprimo 
paréntesis al escribirlas. 
a) O ( ……………………………………………………) 
b) A la vez (……………………) y ( ………………….) 
c) O (………………………) o ( ……………………….) 
d) (………………………….) y (…………………………) 
e) No ocurre que (……………………..) 
f) Si ( ………………………….) entonces ( ………………..) 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
51 
 
g) (……………………………….) si y solo si (………………..) 
 
15. Dadas las proposiciones, escribo la negación de cada uno de ellas, utilizando los 
términos más convenientes. Luego las simbolizo 
a) El hidrógeno es un gas pesado. 
…………………………………………………………………….. 
b) La cebra es un animal omnívoro. 
…………………………………………………………………….. 
c) El oro es un metal blanco. 
…………………………………………………………………….. 
 
d) Benjamín Franklin inventó la máquina a vapor. 
…………………………………………………………………….. 
e) En un choque elástico, los cuerpos quedan adheridos. 
…………………………………………………………………….. 
 
f) La energía potencial poseen los cuerpos en movimiento. 
…………………………………………………………………….. 
 
g) Los metales son buenos aisladores de la electricidad. 
…………………………………………………………………….. 
 
h) Los factores bióticos de un ecosistema son los seres inertes que viven en él. 
……………………………………………………………… 
i) El elemento infaltable es una combustión es el dióxido de carbono 
…………………………………………………………………………. 
j) La sede de la ONU está en Washington 
…………………………………………………………………………. 
 
k) La luna tiene luz propia 
…………………………………………………………………………. 
 
16. Pareo con su respectiva proposición negativa 
a) El Brasil es uno de los países …..La llama es un animal 
Más comerciales de Sudamérica de Bolivia 
b) La llama es un animal típico de …..En los polos el día no 
Bolivia dura 6 meses. 
c) El clima depende de la temperatura …..El clima no depende 
De la presión atmosférica, de los de la temperatrura, de 
Vientos, de la humedad, del mar, de la presión atmosférica, de 
vegetación, de la proximidad de los vientos, de la humedad 
al Ecuador del mar, de la vegetación, de 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
52 
 
 la proximidad al Ecuador 
d) En los polos, el día dura 6 meses …..La cascada más alta 
 del mundo no es el 
 Niágara 
e) La casacada más del mundo es …..El Brasil no es uno 
El Niágara de los países más 
 Comerciales de Sudamérica 
 
17. Simboliza cada proposición atómica que forman la molecular, diagramando el 
término de enlace , la conjunción por su símbolo: 
a) La Tierra es el tercer planeta y la Luna es su satélite. ……. 
b) El Paraguay es un país tropical y tiene clima cálido. ………. 
c) Las rosas son amarillas y los claveles son blancos. 
d) La caída libre es un movimiento acelerado y el tiro vertical es un movimiento 
retardado. ………………. 
e) Muchos progresan solo con el trabajo, pero es importante también estudiar.
 ……………. 
f) Te hablo , pero miras a otra persona. ……… 
g) Muchos filósofos han sido científicos se empeñan en hacer nuevos 
descubrimientos. ……………. 
h) Algunos compuestos del carbono son sustancias sumamente duras y los 
diamantes son compuestos del carbono. ……… 
i) El número 5 es primo y 2 es un número irracional. ……… 
j) La palanca es una máquina simple y los polipastos son combinaciones de 
poleas. ………. 
k) La masa es la cantidad de materia que posee un cuerpo y el peso es el 
resultado de la acción gravitatoria de la Tierra ……… 
l) Estudié bastante, sin embargo reprobé el examen. ……… 
m) Siguen fabricando armas nucleares aunque sepa sus poderes destructivos.
 …….. 
n) Un pincel sobre el escritorio tiene energía potencial y su energía cinética es 
igual a cero. 
o) Los termómetros son instrumentos que sirven para medir la temperatura y los 
pluviómetros miden la cantidad de lluvia caída. 
……. 
18. Completa los espacios vacíos, haciendo uso en cada caso, de expresiones distintas, Y 
, pero, sin embargo, aunque 
a) José quiere conservar el primer puesto en la clase…… Lucía es un estudiante 
excelente. 
b) Los postres de chocolate son pasteles …. Nos hacen engordar. 
c) Antiguamente se usaba hidrógeno para el llenado de los globos aerostáticos 
….. se sustituyó por gas helio. 
d) El carbón tiene un alto poder calorífico…… es el más sucio debido a su elevado 
contenido de azufre. 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
53 
 
e) El camalote vive en el agua …. Las plantas que viven en el agua son acuáticas. 
f) Todos los cuerpos se contraen por la acción del frío …..todos los cuerpos se 
contraen por la acción del calor. 
 
19. Escribo si tiene sentido inclusivo o exclusivo cada una de las siguientes 
disyunciones: 
a) El joven vive en un ambiente hostil o le importa poco el estudio. 
( ) 
b) El acepta la clonación humana o tiene formado fuertes principios religiosos. 
( ) 
c) Los jóvenes estudian más o los profesores están más capacitados. 
 ( ) 
d) Su piel presenta una quemadura solar o una química. ( ) 
e) Le gusta la matemática o la física. ( ) 
f) Los próceres de mayo consiguieron revelarse con valentía o los españoles tardaron 
en reaccionar. ( ) 
g) Esta oración es enunciativa, afirmativa o es interrogativa. ( ) 
h) Aprendo mejor solo/a con mis compañeros. ( ) 
i) Debemos tener un botiquín de primeros auxilios o nos veremos en apuros. 
( ) 
j) La proposición dada es atómica o molecular. ( ) 
k) Thales de Mileto fue el primer geómetra helénico o el más antiguo.( ) 
l) Las sustancias son compuestos orgánicos o compuestos inorgánicos.( ) 
m) Una especie es un conjunto de seres vivos que poseen rasgos muy semejantes o 
capaces de producir descendencia fecunda. ( ) 
n) Los vertebrados con sangre roja son los ovíparos o los vivíparos. 
( ) 
o) Estudio las partes de una planta o las partes de una hoja. ( ) 
 
20. Escribo la proposición atómica que falta para formar una disjunción , de modo que 
la proposición escrita tenga relación con la dada. 
a) Los gases se dilatan o ………………………………………………… 
b) El ecosistema está formado por factores bióticos o ………………………… 
c) El aire es una mezcla de varios gases o ……………………………………… 
d) El agua o …………………….es agente geológico causantede la erosión. 
e) El marrano es un animal omnívoro o ………………… 
f) Los abetos se encuentran preferentemente en terrenos ricos o …………… 
 
21. Diagramo el término de enlace, señalando el antecedente y el consecuente de cada 
proposición condicional 
a) Si sigue la tala de árboles, entonces se acaba la vida silvestre. 
 
b) Toda vez que un cuerpo caiga libremente, entonces posee energía cinética. 
 
c) Siempre que seas honesto reprobarás a los corruptos. 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
54 
 
 
d) Si el agua produce energía, entonces esa energía se llama hidraúlica. 
 
 
e) Toda vez que midamos la distancia entre un punto cualquiera de la tierra y la línea 
del Ecuador, entonces medimos la latitud geográfica. 
 
f) Si la energía ni se crea ni se destruye, entonces solamente se transforma. 
 
 
g) Mejorará el nivel de vida de la población, en el caso que los gobernantes sean 
honestos. 
 
h) Si es un ácido, entonces contiene el elemento hidrógeno. 
 
 
i) Si x = 2, entonces x + 1 = 3 
 
j) Si la leche materna es el mejor alimento para el recién nacido entonces no 
necesita otro alimento durante los primeros seis meses de vida. 
 
 
k) Si el gas se comprime, entonces el gas se licua. 
 
l) Si el oxígeno es el elemento más abundante en el cuerpo de los seres vivos 
entonces las áreas verdes son una valiosa fuente para nuestra respiración. 
 
m) Si el oso hormiguero es un mamífero, entonces es un vertebrado. 
 
 
22. En los espacios en blanco, completa el consecuente de cada condicional, de modo 
que tenga derivación el consecuente. 
a) Si dos rectas son perpendiculares entre sí, entonces…………………………………………… 
b) Si la función seno y coseno tiene relaciones inversas, entonces………………………….. 
c) Si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces…………………………………………….. 
d) Si el petróleo es un recurso no renovable, entonces…………………………………………… 
e) Si el sol es el centro del sistema solar, entonces………………………………………………… 
f) Si Manuel Ortiz Guerrero fue un poeta guaireño, entonces…………………………………… 
g) Si el participio de imprimir es impreso, entonces……………………………………………….. 
h) En el caso que tenga tres lados iguales, entonces…………………………………………………. 
i) Si el sujeto es la persona, animal o cosa de quien se habla en la oración, 
entonces………………………………………………………….. 
j) Siempre que x > - 3 , entonces…………………………………… 
 
 Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I 
 
55 
 
23. Escribo el antecedente, a cada una de las proposiciones condicionales, de modo que 
tenga relación con el consecuente. 
a) Si………………………………, entonces es la fórmula del agua. 
b) Si……………………, entonces producirá la mortandad de muchos peces. 
c) Toda vez que…………………………….., aumenta el ingreso al fisco. 
d) Si…………………, mejorará la cosecha del algodón. 
e) En el caso que…………………………………….., entonces es un cuadrilátero 
f) Si………………., entonces me quedará gélido. 
 
24. Completo con proposiciones atómicas los siguientes conectivos de modo que resulte 
una proposición condicional. 
a) Si…………………………………………………., entonces …………………………………………………. 
b) Entonces……………………………………………..si,……………………………………………………….. 
c) Toda vez que………………………………………………, entonces……………………………………. 
d) Siempre que………………………………………..,entonces……………………………………………. 
e) Si………………………………………………………..,entonces…………………………………………….. 
f) En el caso que…………………………………….., entonces…………………………………………… 
 
25. Dada la primera proposición condicional o implicación, escribo la segunda 
proposición y luego la convierto en bicondicional. 
a) Si un determinado gobierno es democrático, entonces existe un estado de 
derecho. 
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
…………….. 
b) Si los jueces imparten justicia, entonces cumple la ley. 
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
…………….. 
 
c) Si no respetas los derechos humanos, entonces no te respetas a ti mismo. 
………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………… 
 
d) Si los gobernantes son deshonestos, entonces son apátridas. 
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………. 
 
e) Si ejercemos nuestro derecho al sufragio, entonces tenemos la obligación de 
exigir. 
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………… 
f) Es una persona de palabra, si cumple su promesa. 
………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………… 
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26. Completo la proposición que falte de modo que resulte una proposición 
bicondicional y tenga relación con la otra. 
a) La suma de los ángulos agudos de un triángulo es igual a 180º si y solo 
si…………………………………………………………………………………… 
b) Las dimensiones son largo y ancho si y solo si………………………………… 
c) Tres puntos forman un plano si y solo si ……………………………………… 
d) Los resultados son creíbles si y solo si………………………………………… 
e) Los ángulos consecutivos suman 180º si y solo si…………………………… 
 
 
27. Aparear cada una de las palabras de la izquierda con los ejemplos o definiciones en 
la lista de la derecha 
 
a.Disjunción ( ) P → Q 
 
b.Negación ( ) – ( P . Q ) 
 
c.Proposición Condicional ( ) P v Q 
 
d.Proposición molecular ( ) Q en la proposición 
 P → Q 
 
e.Antecedente ( ) _ P 
 
f.Consecuente ( ) P en la proposición 
 P → Q 
g.Conjunción ( ) P . Q 
 
h.Proposición atómica ( ) – P v - Q 
 
 ( ) Cualquier proposición 
 Con un término de enlace 
 
 ( ) Cualquier proposición 
 Sin términos de enlace 
 
 
28. Dadas las proposiciones atómicas, escribo en lenguaje corriente las proposiciones 
moleculares simbolizadas 
A: El sol es el centro del sistema solar. 
B: La Tierra tiene dos movimientos. 
C: Los rayos solares excesivos causan daño . 
D: Son nueve los planetas del sistema solar. 
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a) A . B ………………………………………………………………………………………………………….. 
b) – C: ………………………………………………………………………………………………………….. 
c) A v C ………………………………………………………………………………………………………….. 
d) – D: ………………………………………………………………………………………………………….. 
e) A . – D ………………………………………………………………………………………………………….. 
f) – C v – D ………………………………………………………………………………………………………….. 
g) – A………………………………………………………………………………………………………….. 
h) – A v C ………………………………………………………………………………………………………….. 
i) – A . - B………………………………………………………………………………………………………….. 
j) – ( A . B) ………………………………………………………………………………………………………….. 
k) - ( A v C) ………………………………………………………………………………………………………….. 
 
 
 
29. Simbolizar las proposiciones moleculares siguientes, utilizando el símbolo lógico 
correspondiente para los términos de enlace. Indicar la proposición atómica 
sustituyendo por letras mayúsculas. 
 
1. Teresa es la primera y Tomás es el cuarto. 
2. Las arañas no son insectos. 
3. Si Luis es el ganador, entonces él obtendrá la medalla. 
4. Patricia vive en nuestra calle y Manuel en la manzana contigua. 
5. Esta es el aula de Informática o es el aula de Auditoría. 
6. En el hemisferio sur, julio no es mes de verano. 
7. La estrella de mar es un equinodermo y los erizos de mar son también equinodermos. 
8. Si hace suficiente frío entonces el lago se helará. 
9. O no es jueves o no sucedió en lunes. 
10. O una anémona es un animal o es una planta. 
11. Luisa no es una persona alta. 
12. Jaime no es puntual y Tomás llega tarde. 
13. Si no sucedió en lunes entonces no es jueves. 
14. Si su producción crece entonces Juan podrá estabilizar el precio. 
15. Hemos de llegar allí, u otro recibirá el empleo.