Chi Cuadrado y T Student

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Tabla de Probabilidades
𝑍 = ?
𝑍/2 = ?
Confianza: 95% = 0,95
 = 5% = 0,05
Á𝑟𝑒𝑎 = 1 –  = 0,95 
Á𝑟𝑒𝑎 = 1 – (/2) = 0,975 
𝑍 = ? 𝑍/2 = ?
Confianza: 92% = 0,92
 = 8% = 0,08
Á𝑟𝑒𝑎 = 1 –  = 0,92 
Á𝑟𝑒𝑎 = 1 – (/2) = 0,96 
P(z = 1,82)
= 0,9656 
Si una variable se distribuye normalmente, 
¿cuál es la probabilidad de obtener valores 
menores o iguales que z = – 0,25?
Normal Gamma T de Student Chi Cuadrado F de Fischer
𝒙𝒏
𝟐 =  (
𝒏
𝟐
,
𝟏
𝟐
)
Es un caso particular de distribución gamma
n = grados de libertad (entero  0)
La función de densidad es la misma de gamma
También se puede obtener sumando los cuadrados de normales estándar N(0, 1)
X1, X2,… Xn  N(0,1): 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + … . 𝑥𝑛
2  𝑥𝑛
2
Chi Cuadrado con n grados de libertad
Este resultado se utilizaría en los intervalos de confianza para la varianza
PROPIEDADES:
Es asimétrica positiva
E (𝒙𝒏
𝟐) = 𝒏
Var (𝒙𝒏
𝟐) = 𝟐𝒏
(𝑥𝑛
2) = 𝑒𝑠𝑡á 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙𝑒𝑠
Los valores que aparecen en la Tabla de la Normal Estándar son 
probabilidades.
Los valores que aparecen en la Tabla Chi Cuadrado son los valores de los 
percentiles de la distribución.
El valor correspondiente, de acuerdo con los grados de libertad se pueden buscar en la Tabla o por 
medio de un software estadístico (MiniTab)
También se conoce como distribución ji cuadrado o distribución de Pearson
Es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua
A medida que aumentan sus grados de libertad se va aproximando a 
la distribución normal
Reproductividad
Si 𝑥𝑛
2 𝑦 𝑥𝑚
2  𝑥𝑛+𝑚
2
Si se tienen dos chi cuadrado independientes con n y m grados de libertad, la 
suma es otra distribución chi cuadrado con parámetro n +m. (Es la misma 
propiedad de distribución gamma).
Para poder sumar dos distribución gamma, las dos gamma deben ser
independiente pero con el mismo . Así como en la chi cuadrado  = ½.
Convergencia
Si n  30, 𝑥𝑛
2 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎 𝑁(𝑛, 2𝑛) Cuando n es suficiente grande, la chi cuadrado converge a una normal que 
tiene de media igual a n y una varianza de 2n. 
Fuente: Minitab
Chi cuadrado se calcula mediante la suma del cuadrado de n variables independientes
𝑥1
2 + 𝑥2
2 + … . 𝑥𝑛
2  𝑥𝑛
2
Si cada uno de los 𝑥𝑖
2 ≥ 0 es porque al elevar al cuadrado no puede quedar negativo. Entonces la suma de todos 
ellos debe ser mayor o igual a cero
𝑥1
2 + 𝑥2
2 + … . 𝑥𝑛
2 ≥ 𝟎 X1, X2,… Xn  N(0,1):
CAMPOS DE VARIACIÓN Posibles valores que puede tomar la variable aleatoria continua 𝑥𝑛
2
Ejemplo: hallar la probabilidad que chi cuadrado con 
dos grados de libertad sea mayor o igual que 6
𝑃(𝑥𝑛
2 )(2) ≥ 𝟔)
Toma solo valores del 0 al +.+
2 4 6 80
+
2 3 5 80
𝑃(𝑥𝑛
2 )(2) ≤ 𝟑)
𝑃(0  𝑥𝑛
2 ≤ 𝟑)
1
𝑃(𝑥𝑛
2 ) 2 ≤ −𝟏) No se puede calcular
Toma solo valores del 0 al +.
FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD f(x) FUNCIÓN DE DENSIDAD EN UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL 
Es la que permite calcular la probabilidad
𝑃(𝑎  𝑥𝑛
2 ≤ 𝒃) = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑓(𝑥) =
(𝑛+12 )
𝑛 ( 𝑛2)
(1 + 
𝑥2
n)
−(
𝑛+1
2 )
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE CHI CUADRADO
Propiedades:
1). f(x) = ≥ 0
2). න
0
+
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 Daría la probabilidad que tome un valor comprendido 
entre 0 y +
Para evitar usar la integral, entonces empleamos la tabla de chi cuadrado
La primera gráfica es asimétrica, pero en la medida en que aumenta el número de grado de libertad (n) la distribución de chi
cuadrado tiende a ser una distribución normal. Si n  30, 𝑥𝑛
2  N.
𝑃(𝑥𝑛
2 ) 3 ≥ 𝟎, 𝟐𝟏𝟔)
df = Degrees of freedom (grados de libertad)
𝑃(𝑥𝑛
2 ) 3 ≥ 𝟎, 𝟐𝟏𝟔) = 𝟎, 𝟗𝟕𝟓 = 𝟗𝟕, 𝟓%
𝑃(𝑥𝑛
2 ) 15  𝟏𝟏, 𝟎𝟒)
𝑃(𝑥𝑛
2 ) 15  𝟏𝟏, 𝟎𝟒) = 1 – P(𝑃(𝑥𝑛
2 ) 15 ≥ 𝟏𝟏, 𝟎𝟒)
Esta tabla es genérica y no muestra todos los datos dados
𝑃(𝑥𝑛
2 ) 15  𝟏𝟏, 𝟎𝟒) = 1 – P(𝑃(𝑥𝑛
2 ) 15 ≥ 𝟏𝟏, 𝟎𝟒)
= 1 – 0,75 = 0,25 = 25%
(𝑥𝑛
2)
𝑃(11,59 ≤ 𝑥𝑛
2 21 ≤ 𝟐𝟎, 𝟑𝟒)
𝑃(11,59 ≤ 𝑥𝑛
2 21 ≤ 𝟐𝟎, 𝟑𝟒) = 𝑃(𝑥𝑛
2 21 ≤ 20,34) − 𝑃(𝑥𝑛
2 21 ≤ 11,59)
𝑃(11,59 ≤ 𝑥𝑛
2 21 ≤ 𝟐𝟎, 𝟑𝟒) = 𝑃(𝑥𝑛
2 21 ≤ 11,59) − 𝑃(𝑥𝑛
2 21 ≤ 20,34)
= 0,95 – 0, 5 = 0,45 = 45%
𝑃(𝑥𝑛
2 ) 4 ≥ 𝟏𝟔, 𝟒)
𝑃(𝑥𝑛
2 ) 4 ≥ 𝟏𝟔, 𝟒) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓
(𝑥𝑛
2 )
0,01 7
= Determinar: (𝑥𝑛
2 )
(𝑥𝑛
2 )
0,01 7
= 𝟏𝟖, 𝟒𝟕𝟓𝟑
 = 0,1 n= 2 
(𝑥𝑛
2 ), 𝑛 = ?
(𝑥𝑛
2 ), 𝑛 = 𝟒, 𝟔𝟎𝟓𝟐
 = 0,05 n= 4 
(𝑥𝑛
2 ), 𝑛 = ?
(𝑥𝑛
2 ), 𝑛 = 𝟗, 𝟒𝟖𝟕𝟕
Valores que hacen referencia al área 
0,95
(𝑥5
2 ) = 11,07
El chi cuadrad0 con 5 grado de libertad tiene un valor de 
11,07, dejando por debajo de si una proporción de 0,95, que
equivale al percentil 95 y un área  = 0,05
𝑃 𝑥  11,07 = 1 − 𝑃 𝑥 ≤ 11,07 = 1 − 0,95 = 0,05
Es el seudónimo que el descubridor (matemático Gosset) publicó del resultado.
Z  N(0,1) y 𝑥𝑛
2 independientes 
𝑇 =
𝑍
𝑥𝑛
2
𝑛
Es el cociente de una N(0,1) dividido entre la raíz de la chi cuadrado entre los 
grados de libertad (n).
Z no tiene parámetros, es fijo, la media es 0 y la varianza es 1.
La chi cuadrado como es la suma de los cuadrados de las normales estándar, 
toma solo valores del 0 al +.
Como la Z normal estándar toma valores de − a +, en la t student toma 
valores de − a +.
La gráfica de la función de densidad se parece a la gráfica de distribución Normal 
estándar, es simétrica con respecto al cero, pero tiene las “colas más pesadas”, tiene 
más área o más probabilidad en las colas que en la distribución normal.
Sigue una distribución t student con 
n grados de libertad
 tn
PROPIEDADES:
Es simétrica, unimodal y con colas más pesadas que la N (0, 1)
E (tn) = 0, si n  1
Var (tn) = 
𝑛
𝑛 − 2 , si n  2
La esperanza es igual a cero, para cualquier n  1
La varianza es igual a 
𝑛
𝑛 − 2 , para cualquier n  2; si n es 2, entonces no tiene varianza 
La tn está tabulada para percentiles.
No posee la propiedad de reproductividad
Convergencia
Si n  30, tn  𝑁(0, 1) Cuando n es suficiente grande la gráfica de tn se parece a la gráfica de distribución normal
n= 5; 𝑃(𝑡 ≥ 𝟒, 𝟎𝟑)
n= 5; 𝑃 𝑡 ≥ 𝟒, 𝟎𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓 = 𝟎, 𝟓%
(𝑡)
0,025 7
= Determinar: (t)
𝑡
0,025 7
= 𝟐, 𝟑𝟔
Sea X una variable que se distribuye según t, con 5 grados de libertad.
Calcular la probabilidad de obtener: P(X ≤ 2,015) = 0,95 = 95%
 = 0,05
n= 7 
t, n–1 = ?
t/2, n–1 = ?
t, n–1 = 1,94318
t/2, n–1 = 2,44691
/2 = 0,025
 = 0,01
gl= 14 
t, gl = ?
t/2, gl = ?
t, gl = 2,62449
t/2, gl = 2,97684
/2 = 0,005