Teoremas de convergencia

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Caṕıtulo 24
Teoremas de Convergencia
El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas con-
diciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan per-
mutar los śımbolos “
∫
” y “ lim ”, es decir para que
(24.1) lim
∫
fk =
∫
lim fk.
En este caṕıtulo consideraremos otras condiciones bajo las que sea cierta la
fórmula 24.1. A lo largo de él hemos de tener presente que siempre que unas
determinadas hipótesis conduzcan a la validez de la igualdad anterior, esas
hipótesis restringidas a un conjunto medible B garantizan también, si no se
dice nada en contra, la validez de la misma sobre B, es decir
(24.2) lim
∫
B
fk =
∫
B
lim fk,
De igual modo, estas hipótesis sólo deberán ser verificadas normalmente en
casi todo punto.
Convergencia monótona
El teorema de la convergencia monótona para funciones no negativas propor-
ciona, invirtiendo las hipótesis, un teorema de convergencia para funciones
no positivas. Por lo que, hasta aqúı, tendŕıamos un teorema de convergen-
cia para sucesiones no decrecientes de funciones no negativas (0 ≤ fk ↗), y
otro para sucesiones no crecientes de funciones no positivas (0 ≥ fk ↘). En
general las hipótesis de estos dos teoremas no podrán ser intercambiadas.
Aśı, para una sucesión no creciente de funciones no negativas (0 ≤ fk ↘)
no es seguro que la fórmula 24.1 sea válida:
239
240 Teoremas de Convergencia 24.1
Ejemplo 24.1 Sea {fk} la sucesión de funciones
fk(x) = 1/k.
Esta sucesión es claramente no decreciente, todas las funciones son no posi-
tivas y converge puntualmente a 0. Es inmediato comprobar que
∫
fk = +∞, ∀k,
y por tanto
+∞ = lim
∫
fk 6=
∫
lim fk =
∫
0 = 0.
No obstante, manteniendo la monotońıa de la sucesión pero sin hacer
referencia alguna al signo de las funciones, aún es posible obtener un buen
teorema de convergencia:
Teorema 24.2 (De la convergencia monótona generalizado) Sea
{fk} una sucesión monótona (da igual que sea creciente o decreciente) de
funciones medibles. Si alguna de las funciones de esta sucesión es integrable,
entonces las dos expresiones, lim
∫
fk y
∫
lim fk, existen y
lim
∫
fk =
∫
lim fk.
Demostración. Supongamos, para concretar, que la sucesión es no decrecien-
te y que la función fk es integrable. Consideremos entonces la sucesión no
decreciente de funciones medibles y no negativas, definida c.s., {fs−fk}s≥k.
Si llamamos f = lim fs, es claro que
0 ≤ fs − fk ↗ f − fk(c.s.)
luego, por el teorema de la convergencia monótona para funciones no nega-
tivas,
lim
s→∞
∫
(fs − fk) =
∫
(f − fk)
y, por tanto, si fuese cierto que
(24.3)
∫
(fs − fk) =
∫
fs −
∫
fk;
∫
(f − fk) =
∫
f −
∫
fk,
24.3 Teoremas de Convergencia 241
se tendŕıa
lim
∫
fs −
∫
fk =
∫
f −
∫
fk ⇒ lim
∫
fs =
∫
f.
Veamos pues que 24.3 se verifica:
Escribamos fs = (fs − fk) + fk. Entonces, puesto que fk es integrable
y (fs − fk) ≥ 0, se satisfacen las condiciones de la proposición 23.13 para
deducir que
∫
fs =
∫
(fs − fk) +
∫
fk ⇒
∫
(fs − fk) =
∫
fs −
∫
fk.
De igual modo se demuestra que
∫
(f − fk) =
∫
f − ∫ fk.
El resultado siguiente nos servirá de lema para la demostración de otro teo-
rema de convergencia muy utilizado, el teorema de la convergencia dominada
de Lebesgue.
Teorema 24.3 (Lema de Fatou) (a) Si {fk} es una sucesión de funciones
medibles no negativas, entonces
∫
limfk ≤ lim
∫
fk.
(b) Si {fk} una sucesión de funciones medibles no positivas negativas, en-
tonces ∫
limfk ≥ lim
∫
fk.
Demostración. (a) Sea gk =
∧
j≥k fj . Obviamente, {gk} es una sucesión no
decreciente de funciones medibles y no negativas y
lim gk = limfk,
luego ∫
limfk =
∫
lim gk = lim
∫
gk ≤ lim
∫
fk,
donde la desigualdad, lim
∫
gk ≤ lim
∫
fk, se obtiene aśı: De la definición
de gk se deduce que gk ≤ fj , para cada j ≥ k, por tanto
∫
gk ≤
∫
fj , ∀j ≥ k ⇒
∫
gk ≤ inf
j≥k
∫
fj ⇒ lim
∫
gk ≤ lim
∫
fk.
(b) Resulta de (a) aplicado a la sucesión {−fk}.
242 Teoremas de Convergencia 24.4
Convergencia dominada
Teorema 24.4 Sea {fk} una sucesión de funciones medibles que converge
puntualmente a la función f y supongamos que existe una función integrable
F tal que |fk| ≤ F , entonces
(a) f es integrable.
(b)
∫
f = lim
∫
fk.
Demostración. De la condición |fk| ≤ F y la convergencia puntual de la
sucesión fk hacia la función f , se deduce trivialmente que |f | ≤ F , lo que
implica (por F integrable) que cada función fk y f son funciones integrables.
Veamos que
∫
f = lim
∫
fk. Tenemos por hipótesis que −F ≤ fk ≤ F ,
para todo k. Aplicando entonces el lema de Fatou (a) a la sucesión de
funciones no negativas {fk + F}, resulta
∫
(f + F ) =
∫
lim(fk + F ) ≤ lim
∫
(fk + F ),
de donde se deduce, haciendo uso de la linealidad del operador integral, que
∫
f ≤ lim
∫
fk.
Análogamente, aplicando de nuevo el teorema de Fatou, ahora a la su-
cesión de funciones no positivas {fk − F}, obtendŕıamos
∫
f ≥ lim
∫
fk.
y uniendo ambas desigualdades, teniendo en cuenta que el ĺımite inferior de
una sucesión de numeros reales es menor o igual que el ĺımite superior, se
tiene ya ∫
f ≤ lim
∫
fk ≤ lim
∫
fk ≤
∫
f,
lo que implica que todas las desigualdades anteriores son, en realidad, igual-
dades y por tanto, que existe lim
∫
fk (por coincidir el ĺımite superior y el
inferior) y es igual a
∫
f .
El corolario siguiente proporciona una versión “fuerte”del teorema de la
convergencia dominada.
24.6 Teoremas de Convergencia 243
Corolario 24.5 Sean {fk} y f como en el teorema anterior. Entonces
lim
∫
|fk − f | = 0.
Demostración. Vamos a aplicar lo obtenido antes a la sucesión {|fk − f |}.
Por hipótesis la sucesión de funciones {|fk − f |} converge a 0 en cada uno
de los puntos x en que estén definidas las funciones |fk − f |, luego en c.t.p.,
pues fk y f son funciones integrables. |fk − f | ≤ 2F , siendo la función 2F
integrable, luego
lim
∫
|fk − f | = 0.
En el teorema anterior hemos hecho referencia a una versión fuerte del mis-
mo, pareciendo indicar con ello que
lim
k→∞
∫
|fk − f | = 0 ⇒ lim
k→∞
∫
fk =
∫
f ?
Esto es verdad, pero siempre que existan las integrales
∫
fk, concretamente:
Proposición 24.6 Sean {fk} y f funciones medibles y supongamos que
para cada k,
∫
fk 6= ∞−∞, entonces
lim
k→∞
∫
|fk − f | = 0 ⇒
∫
f 6= ∞−∞, y lim
k→∞
∫
fk =
∫
f.
Demostración. Para ε > 0 sea ν ∈ N tal que ∫ |fk− f | < ε si k ≥ ν. Supon-
gamos en primer lugar que todas las funciones fk, k ≥ ν son integrables.
Entonces, se tiene que
∫
(fk − f) =
∫
fk −
∫
f , por lo que podemos escribir
∣∣
∫
fk −
∫
f
∣∣ = ∣∣
∫
(fk − f)
∣∣ ≤
∫
|fk − f | < ε,
luego, limk→∞
∫
fk =
∫
f .
Supongamos que existe p ≥ ν tal que ∫ fp = ∞ y escribamos f =
(f − fp) + fp. De las hipótesis y del teorema de aditividad de la integral
(Proposición 23.13) se deduce que
∫
f existe y
(24.4)
∫
f =
∫
(f − fp) +
∫
fp = ∞.
244 Teoremas de Convergencia 24.6
Por otra parte, escribiendo
fk = (fk − f) + f
vemos que
∫
fk = ∞, para todo k ≥ ν. Luego, también en este caso,
limk→∞
∫
fk =
∫
f .
Ejemplos triviales que muestran que la condición limk→∞
∫ |fk − f | = 0 no
implica la existencia de las integrales
∫
fk, pueden construirse sin más que
tomar fk = f para todo k, y f una función medible, cuya integral no existe
(por ejemplo f(x) = −1, si x ≤ 0; f(x) = 1, si x > 0).
Por otra parte, el nuevo ejemplo prueba que la condición limk→∞
∫
fk =∫
f no implica que limk→∞
∫ |fk − f | = 0.
Ejemplo. Sea fk = −1/kX[−k,0] + 1/kX[0,k]; f = 0.
Como
∫
fk = 0, se tiene que
lim
k→∞
∫
fk =
∫
f = 0.
En cambio,
lim
k→∞
∫
|fk − f | = 2 6= 0.
Vamos a ver a continuación dos casos particulares del teorema de la
convergencia dominada:
Corolario 24.7 Sea B un conjunto medible y de medida finita, y sea {fk}
una sucesión de funciones medibles sobre B, que converge puntualmente
sobre B a una función f . Supongamos que se satisface una de las dos
condiciones siguientes:
(i) Existe una constante M tal que |fk(x)| ≤ M , para cada x ∈ B.
(ii) La sucesión{fk} converge uniformemente en B a la función f .
Entonces,
lim
k→∞
∫
B
|fk − f | = 0.
Demostración. La condición i) significa que
|fkXB| ≤ MXB.
24.9 Teoremas de Convergencia 245
Puesto que la función F = MXB es integrable (
∫
MXB = M ·m(B) < ∞)
y {fkXB} → f , aplicando el teorema de la convergencia dominada, se tiene
que
0 = lim
k→∞
∫
|fkXB − fXB| = lim
k→∞
∫
B
|fk − f |.
De la condición ii) se deduce que, dado ε > 0,
|fk − f |XB ≤ εXB
para k suficientemente grande. Por lo que, aplicando de nuevo el teorema
de la convergencia dominada, resulta lo que queremos.
Consecuencias
24.8 Si {fk} es una sucesión de funciones medibles, no negativas, entonces
∫ ∑
fk =
∑∫
fk.
Para probarlo sólo hay que aplicar el teorema de la convergencia monótona
y la aditividad del operador integral a la sucesión de funciones no negativas
gk =
k∑
i=1
fi.
24.9 Si {Bk} es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos dos a dos,
f una función medible sobre ∪Bk, y suponemos que existe su integral sobre
∪Bk, entonces ∫
∪Bk
f =
∑∫
Bk
f.
Si f ≥ 0, entonces, del resultado anterior y la igualdad
fX∪Bk =
∑
fXBk ,
se deduce que ∫
fX∪Bk =
∑∫
fXBk =
∑∫
Bk
f.
246 Teoremas de Convergencia 24.9
En el caso general, supongamos por ejemplo que
∫
∪Bk f
+ < ∞, entonces
∫
∪Bk
f =
∫
∪Bk
f+ −
∫
∪Bk
f− =
∑∫
Bk
f+ −
∑∫
Bk
f−,
que nos dice que
∫
∪Bk f es la diferencia de dos series de términos positivos,
siendo la primera de ellas convergente. Se tiene entonces que
∫
∪Bk
f =
∑∫
Bk
f+ −
∑∫
Bk
f− =
∑
(
∫
Bk
f+ −
∫
Bk
f−) =
∑∫
Bk
f.
Para escribir las igualdades anteriores hemos utilizado el siguiente resultado,
cuya demostración constituye un sencillo ejercicio:
Si
∑
ak,
∑
bk son dos series de términos positivos, y suponemos que una
de ellas es convergente, entonces
∑
ak −
∑
bk =
∑
(ak − bk).
24.10 Sea B1 ⊂ B2 ⊂ . . . una sucesión no decreciente de conjuntos medi-
bles, y supongamos que f es una función medible cuya integral sobre ∪Bk
existe, entonces ∫
∪Bk
f = lim
k→∞
∫
Bk
f.
Si f ≥ 0, la demostración resulta de aplicar el teorema de la convergencia
monótona a la sucesión no decreciente {fXBk}. En el caso general se procede
como antes.
24.11 Sea B1 ⊃ B2 ⊃ . . . una sucesión no creciente de conjuntos medibles,
y supongamos que f es una función integrable sobre algún Bk, entonces
∫
∩Bk
f = lim
k→∞
∫
Bk
f.
En caso de ser f ≥ 0, la demostración resultará de aplicar el teorema 24.2
a la sucesión {fXBk}, de ah́ı la necesidad de la hipótesis f integrable sobre
algún Bk. El caso general, como en los resultados precedentes.
24.13 Teoremas de Convergencia 247
24.12 Sea {Bk} una sucesión de conjuntos medibles, tal que lim
k→∞
m(Bk) =
0. Entonces, si f es una función integrable, se tiene que
lim
k→∞
∫
Bk
f = 0.
Demostración. El resultado es evidentemente cierto si f es una función
acotada, pues entonces
|f | ≤ c ⇒ ∣∣
∫
Bk
f
∣∣ ≤
∫
Bk
|f | ≤ cm(Bk) → 0.
En general, denotemos por Cα = {x : |f(x)| ≥ α}. Entonces
∫
Bk
|f | =
∫
Bk∩Cα
|f |+
∫
Bk∩Ccα
|f | ≤
∫
Cα
|f |+ αm(Bk).
Por tanto
lim
∫
Bk
|f | ≤
∫
Cα
|f | , ∀α > 0,
en particular,
lim
∫
Bk
|f | ≤
∫
Cp
|f | , ∀p = 1, 2, . . .
Pero la sucesión de integrales,
∫
Cp
|f |, tiende a 0 en virtud de 24.11, ya que
obviamente C1 ⊃ C2 ⊃ . . .. Se deduce pues que lim
∫
Bk
|f | = 0.
Corolario 24.13 (Continuidad absoluta) Si f es una función integra-
ble, entonces para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que
m(B) < δ ⇒ ∣∣
∫
B
f
∣∣ < ε.
Demostración. De lo contrario, existiŕıa un ε > 0 y una sucesión de con-
juntos {Bk} tales que m(Bk) < 1/k, mientras que
∣∣ ∫
Bk
f
∣∣ > ε, lo cual
contradice 24.12.
248 Teoremas de Convergencia 24A
Ejercicios
24A Sea f una función integrable y Bp = {x : |f(x)| ≥ p}.
(a) Probar que limp→∞ pm(Bp) = 0.
(b) Probar que
∞∑
p=0
p m(Bp+1 \Bp)) < +∞.
(c) Probar que la condición sobre f en el apartado (a) no implica f integrable.
La condición en el apartado (b) implica que f es integrable si {x : f(x) 6= 0}
es de medida finita.
24B Encontrar sucesiones monótonas {fk} que no satisfagan las hipótesis
de ninguno de los teoremas de convergencia monótona y tales que
• ∫ fk = ∞−∞ , ∀k.
• lim ∫ fk 6=
∫
lim fk
• lim ∫ fk =
∫
lim fk
24C (a) Probar que si {fk} es una sucesión de funciones integrables que conver-
ge uniformemente a una función f sobre un conjunto B de medida finita,
entonces f es integrable sobre B y
∫
B
f = lim
∫
B
fk.
(b) Demostrar que la condición del apartado anterior, B de medida finita, no se
puede quitar.
(c) Construir una sucesión de funciones {fk} que converja uniformemente en un
conjunto de medida finita B y tal que para todo k
∫
B
fk = ∞−∞.
24D Probar que si Bk y B son conjuntos medibles tales que m(Bk∆B) → 0,
entonces
lim
k→∞
∫
Bk
f =
∫
B
para toda f integrable.
24E Demostrar que si f es una función integrable entonces
lim
m→∞
∫ ∞
0
e−m sen
2 x · f(x) = 0.
24K Teoremas de Convergencia 249
24F Consideremos la sucesión de funciones
fp(x, y) =
px2
px− y cos
1
px− y .
(a) Probar que se trata de una sucesión de funciones medibles que converge c.s.
¿hacia qué función?
(b) ¿Se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada en B = {(x, y) : 0 <
y < x < 1}.
24G Probar que si f es una función medible sobre el intervalo [a, b] y para cada
x ∈ [a, b] se tiene que ∫ x
a
f = 0, entonces f c.s.= 0.
indicación. Observar que
∫
I
f = 0 para cada semintervalo contenido en [a, b] y
utilizar la continuidad absoluta de la integral.
24H Sea f ∈ L 1(R) derivable en 0 y tal que f(0) = 0. Probar que la función
g(x) = f(x)/x es integrable en R.
24I Sea fk una sucesión monótona de funciones reales e integrables que converge
puntualmente a una función f . ¿Es cierto entonces que limk→∞
∫ |f − fk| = 0?
24J Sea fk una sucesión de funciones medibles que converge puntualmente a una
función f . Probar que si existe M > 0 tal que
∫ |fk| ≤ M entonces
∫ |f | ≤ M .
24K Sea fk una sucesión de funciones medibles “no negativas”que converge pun-
tualmente a una función integrable f y sea para cada k, Bk = {x : f(x) ≥ fk(x)}.
(a) Probar que
lim
k→∞
∫
Bk
(f − fk) = 0.
(b) Probar que ∫
|f − fk| =
∫
(f − fk) + 2
∫
Bk
(f − fk).
(c) Deducir de los apartados anteriores que si, además de las hipótesis iniciales
sobre {fk} y f , se tiene que lim
∫
fk =
∫
f , entonces lim
∫ |f−fk| = 0. ¿Pue-
de suprimirse la hipótesis fk ≥ 0 para cada k? y la hipótesis f integrable?