Taller-3-integral-definida

Vista previa del material en texto

Cálculo Integral - Taller 3
Jeanneth Galeano Peñaloza
Integral definida - Sumas de Riemann
1. Considere la función f(x) = 2x−x2 definida en [1, 3] y utilizando particiones regulares Pn con n = 4, 8, 16,
halle: (a) la suma inferior I(f,Pn); (b) la suma superior S(f,Pn); (c) La suma de Riemann con la regla
del punto medio.
2. Aproxime1 el valor de las siguientes integrales definidas utilizando sumas inferiores y superiores hasta
que S(f,P) − I(f,P) < 0.001. Escriba un valor aproximado para la integral y explique las razones de su
elección.
(a)
∫ 3
0
x2 dx.
(b)
∫ 1
0
x4 dx.
(c)
∫ 2
0
dx
1 + x2
.
(d)
∫ π/3
π/4
tanxdx.
3. Muestre que para a < b se tiene
∫ b
a
x2dx =
b3
3
− a
3
3
.
4. Muestre que
∫ b
0
x3dx =
b4
4
.
5. Aproxime el valor de la integral de f(x) en el intervalo dado, usando una suma de Riemann con una
partición regular y tomando como punto muestra el extremo derecho de cada subintervalo, con n subin-
tervalos.
(a) f(x) = 4 − 2x en [0, 2], n = 8.
(b) f(x) = x2 + x en [0, 1], n = 6.
6. Encuentre el valor de la integral de f(x) en el intervalo dado, usando una suma de Riemann con la regla
del extremo derecho y con una partición regular.
(a) f(x) = 4 − 2x en [0, 2].
(b) f(x) = x2 + x en [0, 1].
7. Encuentre el valor de la integral, usando sumas de Riemann.
(a)
∫ 1
0
1 − x2dx.
(b)
∫ 1
0
4 + xdx.
(c)
∫ 2
1
x2 + 2x− 1dx.
(d)
∫ 4
1
x3dx.
8. Suponga que la función f(x), cuya gráfica se muestra abajo, es integrable en su dominio (el arco corres-
ponde a un cuarto de circunferencia), encuentre el valor de
∫ 2
0
f(x)dx.
1
y
1 2
y = f(x)•
•
•
x
1Utilice una hoja de cálculo para realizar el ejercicio.
9. Suponga que la función f(x) de la gráfica es integrable en su dominio (el arco corresponde a un cuarto de
circunferencia), encuentre el valor de
∫ 3
0
f(x)dx.
1
1 2 3
y = f(x)
◦ •
•
•
x
10. El valor promedio de una función f no-negativa en el intervalo [a, b] se define como el valor de su integral,
dividido entre el ancho del intervalo, esto es,
valor promedio de f =
∫ b
a
f(x)dx
b− a
.
Encuentre el valor promedio de las funciones dadas en los ejercicios 7, 8 y 9 de este taller.
The beauty of Mathematics only shows itself to more patient followers. Maryam Mirzakhani.
2