Taller-1-Antiderivadas-CI

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Cálculo Integral - Taller 1
Jeanneth Galeano Peñaloza
Antiderivadas - Problemas con condiciones iniciales
1. Determine la integral indefinida. Suponga a 6= 0.
(a)
∫
5s ds.
(b)
∫
4x dt.
(c)
∫
2r5 dr.
(d)
∫
9 dt.
(e)
∫ √
x3 +
3
√
x2 dx.
(f)
∫
x4 − x
3
2
+
x
4
− 2 dx.
(g)
∫
v(v2 + 2)2 dv.
(h)
∫
x3 − 2
√
x
x
dx.
(i)
∫
2
r − 1
dr.
(j)
∫
θ − csc θ cot θ dθ.
(k)
∫
sen 2x dx.
(l)
∫
tan2 x dx.
(m)
∫
eax dx.
(n)
∫
sen aθ dθ.
(o)
∫
cos ax dx.
(p)
∫
sec2 ax dx.
(q)
∫
csc2 ax dx.
(r)
∫
sec ax tan ax dx.
(s)
∫
csc ax cot ax dx.
(t)
∫
a
1 + a2x2
dx.
(u)
∫
a√
1− a2x2
dx.
(v)
∫
− a√
1− a2x2
dx.
(w)
∫
senh ax dx.
(x)
∫
cosh ax dx.
2. Halle una función que satisfaga las condiciones dadas.
(a) f(x) = 2f ′(x) y f(0) = 3.
(b) f(x) = xf ′(x) y f(1) = e.
3. Suponga que la pendiente de la curva y = f(x) es 3x2. Encuentre la ecuación de la curva si se sabe que
pasa por el punto
(a) (1, 1). (b) (1, 5).
4. Suponga que una part́ıcula se mueve con función de posición s(t), velocidad v(t) y aceleración a(t).
Encuentre la posición, dadas las condiciones iniciales.
(a) a(t) = 10m2/s, v(0) = 5m/s, s(0) = 3m.
(b) a(t) = (t2 + 1)m2/s, v(0) = 4m/s, s(0) = 1m.
5. Determine cuál de las siguientes gráficas corresponde al problema de valor inicial dydx = 3x
2, y(2) = 10.
6. De un argumento para determinar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones.
(a) Si f es par, entonces una de sus antiderivadas es una función impar.
(b) Si f es impar, entonces una de sus antiderivadas es una función par.
(c) Si f es par, entonces todas sus antiderivadas son impares.
(d) Si f es impar, entonces toda antiderivada de f es una función par.
7. Considere una población cuyo tamaño en el instante t es N(t) y cuya dinámica se expresa mediante el
problema de valor inicial
dN
dt
= e−t
con N(0) = 100.
(a) Calcule N(t) resolviendo el problema de valor inicial.
(b) Calcule el cambio acumulativo del tamaño de la población entre t = 0 y t = 5.
(c) Exprese en forma de integral el cambio acumulativo en el tamaño de la población entre el instante 0
y el instante t. De una representación geométrica de la expresión resultante.
8. Suponga que la variación de la biomasa B(t) en el instante t durante el intervalo de tiempo [0, 12] tiene
esta expresión
d
dt
B(t) = cos
(π
6
t
)
para 0 ≤ t ≤ 12.
(a) Dibuje dBdt en función de t.
(b) Suponga que B(0) = B0. Exprese en forma de integral el cambio acumulativo de la biomasa durante
el intervalo de tiempo [0, t] ¿Cuál es el valor de la biomasa al final del intervalo [0, 12] comparado en
valor en el instante 0?
9. Una part́ıcula se mueve por el eje x con velocidad v(t) = −(t − 2)2 + 1 para 0 ≤ t ≤ 5. Suponga que en
el instante 0 la part́ıcula está en el origen.
(a) Dibuje v(t) en función de t.
(b) Utilice la gráfica de v(t) para determinar cuándo se mueve la part́ıcula a la derecha y cuándo se
mueve a la izquierda.
(c) Calcule la posición s(t) de la part́ıcula en el instante t para 0 ≤ t ≤ 5.
(d) Dibuje s(t) y calcule las posiciones más a la izquierda y más a la derecha.
10. Una part́ıcula se mueve por el eje x con velocidad
v(t) = −(t− 3)2 + 5
para 0 ≤ t ≤ 6.
(a) Dibuje v(t) en función de t.
(b) Calcule la velocidad media de la part́ıcula durante el intervalo de tiempo [0, 6].
(c) Calcule un instante t∗ ∈ [0, 6] tal que la velocidad en dicho instante sea igual a la velocidad media
durante el intervalo de tiempo [0, 6]. ¿Es claro que tal punto existe? ¿Existe más de un punto?
Everybody learns differently and everybody gets to a certain point from a different direction. Stan Lee.
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