UCM _ Doble Grado Matemáticas Física _ asignatura_ Algebra _ Apuntes cl

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TEMA 8 i ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO
dinRV n f eBits v Elf sit MB f
o
st t rg f
Elf rio es MBCf Ir fesdefinidapositiva
f es productoescalar si es bilineal simétricadefinidapositivai
Rr f v w É viyi v Xi Xr Ba W y yn Ba esortonormal
q v f v.v a Ir if t Xr 30
9 v O las o
V f f productoescolarsobreV
V f l l v f espaciosvectorialeseuclídeos
0 v v isomorfismo f Olv w f v w VvWEV
Teorema
V f y v f espacios vectorialeseuclídeos
UyU son isomorfos s dinRV dinRv
B Lvi unt baseortonormal f
B lui vi 1baseortonormal fi
01Éi vi TÉXiii
Hvi v Sij 11 f lui v Sij
Teorema
fCBits v A ai MB t aij Hui v
1es productoescolar s so ti I n
definidapositiva
Dem
f es definidapositiva es fesdefinidapositivasobre
Vi
Mn ws Al vinil II s l l so
gdefinidapositiva MB g Ir es 1MBcg t.IMB g 1 1PtIrpf IP l so
13 14 int B Lví un t Hui v O si i j
talque Llvi un1 L vi vn
f vi vi so
ví v la l so
t
f vi vi flu iv a 0
W Uu Vi Vi i L vi Vi vii
fIww nodiagonal
Mtv vii y f w w
ai it
Gin i i aiÍ it
l l s 0
L vi vi cW sujeta ademostración
dinpl.lv vi l codinLEvi vi it l i 1
J vit ELCv Vi vii talque viii E llui vi
t
s lCh vi Viti Llui VilVitti W
f Viti Viti s 0
Mai vii irwww.faai i
Mui viii tlftwxw
d i
did du diso
dit fluíavii
D ptcp
1D l 1 2190 di diso dias o
1no degenerada
w Wntortogonales 2a 2
tiW t tdrawn O O f WiiKW t tkm difWi Wi
Obtención baseortogonal MétododeGran Schmidt l
ln v 1basedeV Vespaciovectorialeuclídeo fproductoescalar
v v
va v tta i Vi
vs Vs t Ilsara tIlsiUi t i j E Rt
Iii tanta
O fVI VI f vasvi1tds.atva va tdz.itCv Va Despejamos 13a
q f vs va f vz v t taaFlu v tIls i flu v Despejamosdos
i
Hacemoslomismocontodos B Lvi vi un4esortogonalrespectodef
0135
L ví vi L v vil Vi 1 n
Aparte sitomamos v i B
fluí viD
i un lesortonormal
MÉTODODEGRAMSCHMIDT flu vi 1
Esortonormalpues Hui vi t Active HÍÍn
flu
Hui vi
vi
MB f In
Definición Módulodeunvector
1productoescalar
Módulode llull V TÚ E IR
II ll v IR
Propiedadesdelmódulo
Hull zo llull 0 Es O
ii tu ti El Y
Si VesunespaciovectorialY
existe f v IRqueverifique
Den F TI t.iq estastrespropiedadesdecimos
queesunespacionormado
iii 11v tw ll E lluIl t 11W11DESIGUALDADTRIANGULAR
Proposición DesigualdaddeSchwarz
f productoescolar flv.ws eqlv1qlw
Dem
ER ER ER
0 e qlvi.tw qlvltKqCwlt2dflviw Polinomiorealdegrado2end
Paraqueelpolinomioseanule vttw o sv.iq las a casa 0
Haymáximounaraíz si vy wsonproporcionales
es de0 es flu w tq v q w
Dem iii
11v tw ll glutw flutw tw q v t 2f vino tq w Eq v t 2 tq w
t F Hull 11W1112
11v tw llE lluIl t11W11
OBs Fórmuladelproductoescolardetodalavida
If v w fl v w
1h1111W11 El 1 E Hull11W11 t lIl
Cos0 OE O a Ti única
f v w Llull IIwII caso
Proposición
i fproductoescolar Wav dinaW n dinaw
Dem
dimW n w WntbasedeW fd v
wl sl.cl
wlvewtO f v Wi tal Wi v Wi EV a t tank O Ecuacióncartesiana
l n
Tenemos n ecuaciones cartesianas
Además f no degenerada Edisomorfismo n ecuaciones cartesianas independientes
dimirW n n codina
Wiiwnwt.to
Dem f w w O es w O
WEWrWt pfpe
Consecuencia
V W Wt
Dem din WWt n n n O n
II Iii
Definición Endonartismosautoadjuntos
V f espaciovectorialeuclídeo
0 E Endr V es autoadjunto respectodef si flu 0 w f Olv w Vvw eV
0135
Sea BbasedeV
A MBO v Xr B
MB t w y yr B
x Atc x I CA t v w e V
0 esautoadjunto sAt c c A
Si 13baseortonormal 0esautoadjunto sAt A s A simétrica
Teorema Espectral 0710412021
V f espaciovectorialeuclídeo
Si 0 CEndplV es autoadjunto entoncesexiste BbasedeVortonormalrespectode f
formadaporvectores propios respectode 0 Bdiagonaliraa.ly0 simultáneamente
Den
Supongamos f x ta tao ERIx irreducible f lq
Entonces veamosexiste 0 v EV talquego.ir f
q tag as I fkg 3weV talquegow ta LemaprevioaCayleyHamilton
i
Sea flota w q v l f s go.ir f
si fueran1d Quiseanularíaenun polinomiodegrado1
Ti L v Olv dimRT 2 ITcoV 0 1 a v a v
FIITXT I ITX IT IR es productoescolar
y Ir ir Ti es endomorfismo y esautoadjuntorespectode flair g
Maravillas 9 9
Sea tw watbaseortonormaldeg
M w was Y ab simétrica
x t a x ta py x2 la c x a c bscriminante
Esirreducible os a 4A la c 4lac ba la c t 4b so i ABSURDO
q d
a
X Xtlat ai s 1
Veamos ai 1 Vi l t
SeaD ti a ai paraciertoi
VeamosKerlo did e Ker10 did
EKer 0 did
1 0 did v 0 did v flv.CO didl v flu 0 O
Endomorfismo
autoadjunto
Como f esproductoescalar 10 did v 0 es v eKer 0 did
Ker 0 did cKer 0 did
a at 1 es 0diagonalizable 713basedevectorespropios
B B U vBe BibasedeUadi
D de
pq x D le ttlet Bi tVii vida
Sean vi CBi Vj EBj i j Veamosquesonortogonales
t tivi vi flavil v f vi Olv f vi ljvj
difluíVj1 djflvi vi
fi dj f vi v Opas fluí vj O
tied
Ademáspodemostomar BibasedeVos li ortonormalrespectodet lv va
B B U UBt esortonormalrespectodef pueslarestricciónsigue
siendoproductoescolar
Interpretaciónmatricial
Bbaseortonormal
MBA Ir Mel0 ti Id TtIde te
Bdiagonalira simultáneamente a f porcongruencia
y a 0 porsemejanza
Aparte
A Sn R simétrica
µ producto
escolarusual
0 R IR endomorfismo CR espaciovectorialeuclídeo
Bcortonormal 0autoadjunto
O
MB9 i
yn
D
Bortonormal ydevectorespropios
D p l A P P M B Bc ortogonal Pt p pues
MBel MB In
as In a ptIn p Ptp In as pt pµ
porcongruencia
D p Ap PtAp Lamatrizdiagonalizasimultáneamenteporcongruencia
ysemejanza
Conclusión
Todamatrizrealsimétricasepuedediagonalizarporcongruencia ysemejanza conlamismamatriz
0135
CEnda v diagonalizable I fi VxV R productoescalartalque
0esautoadjuntorespectodef
Comoencontrarla
BbasedeVdevectores propiosde0 B Lvi Vrt
Imponemosque 14ps f In
fl Cui vs t divi vj di fluí vil tiSij
f vi Olv f lui l j uj dj fl vi vi DSij
Definición Aplicaciónqueconservaelproductoescalar
V f e v e
0 V V conserva f si f Olv w f v w Vuw EV
0135
Si 0 conserva f entonces 0 es IR lineal
Den
Xv 40 v Ío
f OCN XOlv Ctv 10h
fOlde Ctv td fOlv v 2ktOcde v
f dudu dflu v 2,144v v d flu v d f v.v 2Kfluir O
f Olv tw Olv 0 w u tw Olv 0 w Í O
Definición Aplicaciónortogonal
0 v V es unaaplicaciónortogonalsii
i es IR lineal
ii 0conserva f
Natación
Olv 10 V V 0ortogonal1
Propiedades
i COlv 0 biyectiva
Dem
CKer O 001 0 f Olv v flu v O O
KerO L01 inyectiva dim In n suprayectiva
ii 0 C 0 V es 0 e Olv
Den Trivial
iii 0 y COlv yo0 COlv
Dem f op v Oo4 w f 014 v 014w flylvl.luwl flv w
0135
Olv o es un GRUPO no conmutativo
Grupos
GL v o Aplicaciones biyectivas V v
11
Gtr R 0 V a GL v
I C GlnlR
Orientación
B B basesdeV espacioreal
1Ptso ByB tienenlamismaorientación
D MlBB l E OldR
ppl o ByB tienendistintaorientación
solohaydosorientacionesparacualquierespacio vectorial
µPositiva e enlapositiva t e en4negativaNegativa
EnR Bc espositiva
0 EGL V
B tu vn l B tOlv l 0cm t
MlB B Mis g A
Al O 0conservalaorientación 0 Get v
1Alco 0 inviertelaorientación 0 eGL v
Unióndisjunta
G llV GL v UGL v
0 V O v ÓO v
Ej R f e v e R W Wt
0 R Misimetría enbaseWydirecciónWt simetríaortogonalrespectodeW
Veamos0es unaaplicaciónortogonal
V ER V w.tw
vaCIR va wa Wr
f lOlv l 0Cva f Wi w wa wa f w wa t f w wa
f Viva flw.tw watwa f w wa t f w wa
n 3 MB O O E O v
v Va Vs Lv va vs4
Basede0 hiperplano es 0simetríaespecular
µ
simetría
MBlol es 0 E Ó v
v NaUst vi Va Vs
Basede0 recta 0simetríaaxial
µ
simetría
Ej CR f e v e R W W
0 R RnproyecciónenbaseWydirecciónWt proyecciónortogonalrespectodeW
0 no es unaaplicaciónortogonal porlogeneralnoesbiyectiva1
Propiedades
V f e v e 0 EEndaV A MBO C MB f
0C0 V sAtCA C CESAt A In A esortogonal
si Bortonormal
ii COlv as det01 1 puesdetCOll lAl lAtl lAl l In l 1
iii 0COlv O O e l l 11
Den veo
v XvEs11v112 f v.v f 0 v 0h f dudu d f v.v es d 1 es D 1
iv COlvl WcoU es W cV y V W Wt0
yalosabemos
Den
CWt 0 v C
Wtfv w 0 VNEW s f Olv w O HWEW
0 V Vesbiyectiva 0twW Wesbiyectiva
w 01W paraalgúnw EW
f Olv w f Olv 0Cw f v w O
0135
F productoescalar Wtt w
clasificacióndeaplicacionesortogonales
n dime
n 1 a
t
a l es la2 1
Olv Lidv ido4
n 2 0COlv MBO A esortogonal 13 1vi va1baseortonormal
Iii t.ata.li illiIl la iE II
a cosO b ser0 c coso D serÓ Os 0 O s2T
OTE
O actbd cosOcos O t sercasero cos O 0 a O o sra
O O t Tki c costó casco Tk ser O b
d ser O t ser Ortiz cos O a
A ab DIRECTA 1Al a tb s 0
O O 3Tla c costó cos 0 3142 ser O b
d serlo serLO 3T12 cos O a
A ab.ba INVERSA IAI a b co
EO v Mis
Cos0 seno
q ser0 cosa
0 EO E2M
ortonormal
t
0 CO V Mis ba a'tb 1
2caso Vi0 Ot v s po x 2 caso t l 2
0 0 ri Solohayautovaloressi
0 0Cidv o 0 Cidv
0 CO V pa x 1 txt1 I q es diagonalizable
Mps101 d f Bortonormal10simetría
v COlv i vEVoi WEVo f v w O
Dem f v w fOlv w flu w fluw 2flu w O f vino O
0135
Ó V siempresonrotaciones subgrupode0 v alcomponerdoseldetes 1
O V noes subgrupo alcomponerdoseldetes 1
Problema
Encontrarlarotaciónquesurgedecomponerdossimetríasortogonalesenelplanovectorialeuclídeo
Teorema 1310412021
0 COlv 713baseortonormaldeVtalque i
Melol Is c Its III EI Et s t so
os oi a2r
r st t t2mi
ns.o
Den
Inducciónsobren dimirV
n 1 Yalohemosvisto
dimirWan Í dimirW n
CAso l i d l E 0 O SeaV EVod
W L n coV
V W Wt
o o
01wt es ortogonal s Mtv v MIOlwt
1
1
satisfacelacondición
porhipótesis
CASO 2 i O O esvacío
g f
a feat f te ERIx irreduciblesdegrado2
Seagov t x ta tao Enlademostracióndelteoremaespectralvimosqueestevectorexiste
M L V i Olv t 0V
s V Ti Tt
dinp.IT 2
0 Ir O Ir 1 ortogonales
B tu va1ortonormalen Ti
µ
Brit Lvs v teortonormalen rt
MBruBrt O MBROIT MBri.CO rt esdeltipodeseado ged
ortonormal
O O
n 3 i CASOI o coso seno
Rotacióndeángulo 0conejeLG
O ser0 cosa
casoa noo g eón ó eaters
CASOSPARTICULARES
e otar Mistol jooÍo
0 0 es 0 idv
o Misio Iv unit
Osimetríaaxialortogonaldeejebase Llull
ydirección llv.lt
oeo mzsm.co g g L f g g mía
Descomposicióndetodaaplicación
ortogonalinversacomocomposicióndesimetríayrotación
MBC MBO
0 02 o 0
0girodeeje llv.lydeángulo O
02simetría especularortogonalcondirección llv.ly basellva.us Llv.lt
MB O Is C It
q
tesimpar MBO C1 Is C It i
C1 C 1 Ir Ci C
in
KI Mislata MBOi
q p
0 ido 0 02 simetríaespecular simetría rotaciónespecular
0135
0CO V es 0 sepuedevercomolacomposicióndeunasimetríaespecularyunarotación