Ejercicios resueltos matemática

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Krifméfica 5
23
45
103
148
Teoría de conjuntos
Probabilidades
- Análisis combinatorio
- Teoría de numeración
Stgetna
- lnecuacionespolinomiales
- lnecuaciones fraccionarias y Expresiones irracionales
- Valor absoluto
- Miscelánea de problemas
- Funciones
GeometrÍa -
- Transformaciones trigonométricas
- Resolución de triángulos oblicuángulos
- Circunferencia trigonométrica
Física,
- lmpulso y Cantidad de movimiento
- Gravitación
- Oscilaciones
- Ondas mecánicas
Químieá
- Gases
- Reacciones químicas
- Psicotécnico
. Razonamiento abstracto
- Operaciones matemáticas
175
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- Relaciones métricas . polígonos regulares
Trigonometria ----.z4
ñazonamienlo ffiatemátieo
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-AR'TTMETIGA
Giclo AffiIABüRfiG%
fiesuelto por: Prof. Jimmy Garcia Gh.
IM TEoRiA DE coNJuNTos II
1. Siel con¡unloA esunitario
¡=lnz +8:nxm+4;7n-4|
Calcule el valor de n+m. Considere n un nú-
mero P¿u.
A)8 B)l2 cr7
D)10 D9
2. Dados los conjuntos
A=líyt-8;2231 B = {7; m' *20}
Si A y I son iguales, enlonces determine el nr1-
mero de subconiuntos propios de P(C), donde
C={m; n-2; mxn;3n; n}
A) 25s B) 728 C) 63
D) 624 E) 127
3, Si el coniunto A es vacío, calcule el meno¡ va-
lor de m en
En una encuesta se obtiene que el 60% prefie-
re el producto A, el 32% preliere el producto
B, y los que prefieren ambos productos es el.
60% de los que no prefiere alguno de estos dos
productos. Si 42 prefieren ambos productos,
¿cuántos encuestados son en total?
A) 380 B) 360 C) 350
D) 300 E) 280
9.
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7. Dados los coniuntos
U=11;2;3; 4;5;...; 15)
A={l;3;5; 7; ..., l5}
s=12;4;6; 8; ...; t4)
C={l;2;5;6;9; 10; 13; l4}
catcule [bc¡ c)., ¿]c.
A) 0 B) {l;2;3}
D) {13; 14: 15}
C) {4;8; 12}
E) {l; 15}
^=(irr)., fr,s=..*\
4. Si la cantidad de elementos de A ex'cede a la
canüdad de elementos de I en 3, ademiís A y
8 son disiuntos y
nle(Aw D)- nlrt¿ll= so
' ZCuántos subcon¡unlos propios tiene 8?
A)7 B)ls c)r
D)3 E)3r
5. De ¡0O alumnos que lindieron los exámenes
de A¡itmética, Algebra y Geometrfa; se sabe
que 40 aprobaron fuitrnética, 39 aprobaron
fugebra y 48 aprobaron §eometrfa; 2l no apro-
.baron alguno de eslos 3 cursos; 12 aprobaron
solo Aritmética y Algebra; 15 aprobaron solo
GeometrÍa. ¿lCuántos estudiantes aprobaron
por lo menos 2 cursos?
A) 32
D) 40
Se sabe que A, B y C son conjuntos contenidos
en U (co¡riunto universa.l) tales que
. n(A nB)=h(A nB r:C)
. n(a-A)=60
. n[(¿nc)c -a] = n(¿])= loo
Calcde n(Cc)si A ¡C=C
A) r80 B) 190 c) 184
D) 192 E) r88
Sabiendo que,4-8=0, reduzca la siguiente ex'
presión
i[üc.,¿)uan¡¡]^(¡-¿'[d G- a)c wG t ail
A),4 B) A-a c) 0
D)Ar¡B E) U
B.
A)2
D)6
B) 2,s c) 3,s
E)7
c) 4s
E) 36
10, Simplilique la siguiente expresión
i(¡-rl" n(¿ua)]u¿
A)AuB B)A C)B
D)Ac E) s
B) 48
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1 . El cliente de un banco debe seleccionar un .O- .j.
digo de dos o tres dígitos diferentes para iden- ¡
üficar su cuenla de depósito. iCuántos códigos
tiene disponible para elegir?
A) 8r0 B) 100000 c) 1000
D) r1o0 E) 720
2. Un código de colores con banas usa 6 colores
para pintar 4 banas, pero dos barras consecuti-
vas no pueden tener el mismo color. iCuántos
códigos diferentes se puede formar?
A) e00 B) 750 c) 360
D)600 E)720
3. En el cumpleaños de Miguelito, han servido
6 vasos de gelaüna de fresa, 5 de gelaüna de
naranja, 3 de gelafina de piña (todos en porcio-
nes diferentes). Si su primo Josué debe elegir
uno de cada sabor. iDe cuántas maneras dife-
rentes lo podrá hacer?
A) 90 B) r8 C) l2o
0) 14 E) 12
4, iCuiántos numerales de 4 cifras diferenles se
pueden escribir sin que las cifras 3 y 5 aparez.
can juntas?
A) 4125 B) 4228 C) 4200
D) 4382 E) 4536
5. Una facultad tiene 4 pisos con 8 aulas en el se-
gundo y tercer piso, l0 aulas en el primer piso
y 3 en el cuarto piso. iDe cuántas maneras di-
ferentes se puede escoger 2 aulas para tomar
un examen, de manera que estén en pisos di.
ferentes?
A) 238 B) 302 C)278
D) 326 E) 300
6. En una reunión hay 4 niños, 3 niñas y 2 adul-
tos. iDe cu¿íntas maneras se pueden sentarse
en una fila si los niños deben estar iuntos y las
niñas también?
Determine de cu¡íntas formas se pueden aco-
modar y üajar 5 personas de un grupo de 6,
en un auto de 5 asientos incluye el asiento del
conductor, si solo 3 saben maneiar.
A) 48 B) 240 C) 76
D) 360 E) l2o
Tres libros de Matemática, cuatro de Flsica y
dos de Química (todos los libros son diferen-'
tes) serán colocados en un estante. lndique
cuántas colocaciones distintas se pueden rea-
lizar si se sabe lo siguienle:
. Los fbros de cadamateriadeben estariuntos.
. Solo los libros de Matemática tienen que es.
tar juntos.
Dé como respuesta la suma de resultados.
A) ls s84 B) 26 oo0 c) 31 968
D) 32 000 E) 24 s65
lDe cuántas maneras diferentes se pueden or-
dena¡ 12 libros: 3 de Geometría, 4 de Física, 2
de Química y 3 de Álgebra, todos de autores
diferentes, si los del mismo curso deben estar
juntos y los de Química en los extremos?
A) ¡0368 B) 10348 C)t2324
D) 20 736 E) s¡84
1 0. Cinco pareias de niños juegan a la ronda. Cal-
cule cuánlas rondas diferentes se formarán si
se sabe lo siguiente:
. Los varones y las mujeres quedan alternados.
. Cada pareja de niños no se separa.
. Los de un mismo sexo están siempre juntos.
Dé como respuesta la suma de los resultados.
A) 29 568 B) 15 i44 C) 17 664
D) 18048 E) 3840
A) 250
D) 3500
B) 460 c) s240
E) 3456
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AHíus¡s coMBINATORIO II Y PROBABILIDADEs I
áCuántas palabras diferentes se pueden for-
mar con las letras de la palabra ARITMEIICA,
donde las letras A no estén juntas alavez?
A) 453 600 B) 42r 848 C) 359 856
D) 567 700 E) 362 880
2. ZCuántos números de l0 cifras ex¡sten tal que
el produclo de sus cifras sea 8?
A) 3oo B) 240 C) 3s
D)220 E) 126
f. De I0 personas se desea escoger una comi-
sión de 5 personas. ¿De cuántas maneras se
podía formar dicha comisión, si Éay 2 perso,
nas en particular que no deben estar en la mis-
ma comisión?
A) 3oo B) 350 C) 420
D) 196 E) 250
4. Se lanzaun dado 3 veces, lcuál es laprobabili-
dad de que la surna de los resultados sea par?
Se ordenan en una fila 4 bolas roias, 2 bolas
blancas y 2 bolas aeules. Si las bolas de igual
color no se distinguen entre sf, ide cuántas for-
mas posibles pueden ordenarse?
A) 420 B) s40 C) 580
D)2lo E) 640
Mala tiene 8 amigas de conlianza Si ella de-
.- sea hacer una reunión con 5 de ellas, icalcule
la probabilidad de que puedan asistir 5 de sus
amigas considerando que 2 de ellas en particul
lar no se llevan bien y no pueden asisür juntas?
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5, Si se lanzan 5 monedas, icuál es la probabili-
dad de obtener 3 sellos y 2 caras?
6, Se tienen 12 preguntas de Aritméüca en las
cuales se deben forma¡ los temas P y Q con
6 preguntas diferentes cada uno. lDe cuántas
rnaneras se púeden forrnar dichos temas y or-
dena¡ sus preguntas en cada uno?
E)
14
Cinco amigos se quieren ubicar en una mesa
circular, además, entre ellos están Carla y So-
fia. ZCuá es la probabilidad de que Carla y So
fla no se ubiquen iuntas?
A) l/3 B) Us C) t/4
D) t/2 E) 3/4
10. Para representiar a un colegio en las Olimpia-
das Matemát¡cas 2017, se han preseleccionado
l0 alumnos varones y 5 muieres. El cómité or-
ganizador del evento decide que cada colegio
participante enüé solo a 3 alumnos. Calcule la
probabilidad de que el citado colegio enüe a
todos sus representantes del mismo sexo.
A) 1t7 B) 2/7 C)3t7
D)4/7 E) y7
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rr¡, 1,¡, tt¡¡,t t ttl71
C)
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27
rrruieres que no bailan son proporcionales a
2; 3 y 5 respcctivamente. §i se selecciona una
persona, i,cuál es la probabilidad que dicha
perscr!)a baile, dado que la persona seleccio-
nada fue mujer?
D)
De un grupo de estudiantes, la probabilidad de
aprobar MatenÉtica es 0,49 y la probabilidad
de no aprotrar Frsica es 0,53. Si la probabilidad
de no aprobar ni Matemática ni Física es 0,27,
icuá es la probabilidad de aprobar solo uno
de los cu¡sos?
B) 0,3s c) 0,46
E) 0,6s
Una pareja planiñca tener 4 hiios. iCuá es la
probabilidad de que al menos 2 sean va¡ones?
E).1-l-t6
El departamento de l,entas de una farmacia
publicó los siguientes datos sobre las ventas
de un mes de cierto analgésico.
5i se elige un cliente al azar, calculc lo siguiente:
a. iCu¿iLl es la probabilidad de quc haya com-
prado el analgésico en tabletas, pero no la
dosis fuerte?
b. Si el clie¡rte adquirió el analgésico en cáp-
sulas, rlcuá es Ia prol-nbilidad de que haya
comprado Ia dosis fuerte?
A)
A)
D)
A)
D)
h-
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c)
E)
3
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2. Un dado está trucado, de modo que las pro-
babilidades de obtener las distintas car¿rs son
inversamente proporcionales a los números
de estas. Calcule la probabiiidad de obtene¡
un número impar en un lanzamiento.
E) 11'27
A) 90't47
E) il' 147
3" [Jna urna tiene 8 bolas negras y otra uma con-
tiene una bola blanca y 6 negras. Si se elige
una uma y se extrae una bola, icuál es la pro-
babilidad que sea blanca?
B)
l4
4, Tres arnpollas malas se mezclan con 12 bue-
nas. Se prueban seleccionando al azar las que
quedan sin proba¡ hasta encontrar las malas.
¿Cuá es Ia probabilidad de encontrar la terce-
ra mala en la séptima prueba?
B)
9l
5, En una reunión se observa 40 personas bai-
lando, además se sabe que, las cantidades de
muieres que bailan, varones que no bailan y
c)
92
147
B) 0,3
0,5
55
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7
8
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E);
c).4'91
E)a-60
A)1'9
Dr*
Dé como respuesla la suma de los resultados
obtenidos.
9. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-
ciones.
L Si,4 yB son independientes y
P(A nB)=P (B)-0,2,
entonces P(¡c r: a)=0,2.
Il. si 2P(8)+P(8c)= I,8, entonces p(8)=0,6.
lll. Si .4 y I son mutuamente excluyentes y
P(AuB) = 0,3+P(á)
entonces
P(.8)+ P(,4n¿) = 0,8.
tv. PGw B) = PG) x p$) - p(Ar¡ B)
A)W!T B)VFFV c)ww
D) VFFF E) FWT
10. Un banco ha comprobado que la probabili-
dad de que.un c¡iente con fondos extienda un
cheque con fecha equivocada es de 0,001. En
cambio, todo cliente sin fondos pone una fe-
cha errónea en sus cheques. Además, el g0%
de los clientes del banco posee fondos. Si se
recibe hoy, en caja, un cheque con fecha equi-
vocada, iqué probabilidad hay de que esre sea
de un sin fondos?
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Si en base n existen 192 numerales de la forma
A) r0
D)8
B)9
'tl,t¡, rtli.l,,lttl2,, b',ko7
r ,rlr rrlr,r.l v,rlor de a+b+c. 6.
2. áCuántos números de 3 cifras diferentes pue-
den formarse con los siguientes dígitos: 5; 8;
3;2y 4?
La edad de un padre es ob años y la de sus
hijos a y b años. Si hace dos años la edad del
padre era 6 veces la suma de las edades de sus
hiios, idenho de cuántos años el padre cum-
plirá 50 anos?
A) 24
D) 26
B) 28
A)6 B) 12
D)
8. Si nnm5=mnn, calcule m+n
A)7 B) ro
D)¿
iCuántos numerales de 3 cifras no llevan en su
escritura la cifra 5 o 2?
A) 288 B) 224
D) 274
10. Si se cumple que
o»aOa»r=637
calcule a+ó+n.
A) 18
D) ls
A) 40
D) 100
B) 12
B) 120
c) 20
E) ro
c) 60
E) 24
c)
7 S¡ ábc=c0006¡; calcule a+b+c
I3. Si el numeral
(a+3X2c+ IXD+lXD+2)g
es capicúa. Halle el mayor rralor de a+D+c si
c eZ+.
A)7
D)8
B)s C)
E)
6
4
9.
4.
tz"-r{9)«a*»ea,
halle n, si a e Z+
A)7
D)8
B)e
5. si(a-Da(áTI)e=73,
calcule el valor de a+n.
6
4E)
A)8
D)s
B)o
C)
E)
c)il
E)7
c)3
E)4
c)8
E)il
c) 448
E) 3r2
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23
3
7
C)
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Besuelto por: Prof. telso Gaspar lapara
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Ett rNEcuAcloNEs pouNorunArEs rr
t. Determine la secuencia co[ecta de verdad (V)
o falsedad(F) según corresponda.
l. P6¡=fa¡¡l >0 V¡eR
ll. H,..,=2xz -3x+1>o vxe R\'t 2
lll.f¡r¡=/-¡-3>0 V¡eR
A) WT B) VW C) Fry
o)vFF r)m
2. Resuelva las siguientes inecuaciones, respec-
üvamente.
l. 3l-zx+3 , o
II. x2+¡+.,O<0
A) C§=R;Q§,,=f,
B) CS¡=O; §§,,=¿
C) CS¡=R.; Q§,,=¿
D) CS¡=R+; CS,,-R+
E) CSI=R+; CS[=O
3. SiP&)=l+x+t y Q<,¡=ZI,--x+Z*-t
además se cumple Ia desigualdad
P6'¡ sQ6r¡ Vxe R'
entonces los valores de k son
A) i2) B) (--;2) C) (2; +-¡
D) I-2; +-) E) [2; +-)
4. Determine los valores de n para que la inecua-
ción
i-x+2> n
se cumpla para todox e R..
5. Determine el coniunto solución de la inecua-
ción
(x-3)(¡+2)(x2+x+l)<o
A) (-3;2)
B)(-2;0)u(0;3)
c) (-2; 3)
D) (3; +-)
E)R
Resuelva
G2 -2x+t)G2 -x-2)<o
A) (-l;2)-il)
{-l;2}
C) (-2; -l)
D) (-2;3)-{l}
E) (0;2)-{1}
7. Halle el conjunto solución luego de resolver la
siguiente inecuación.
(r' -s)'G' - r-6)5 (r' -r*rr) s o
A) I-3;31
B) l-2;31 u {-3}
c) t-3;21
D) I0;21 u {3}
E) l-3; -21 w {3}
8. Alresolverlainecuación
(¡r2 - ** z)3 ( *' -2, * n)' . o
se obüene el vacfo. Deter¡nine los valores de n,
A) 12;+-)
B) [0; +-)
C) [-l;+-)
D) [-2; +-)
E) ll; +-)
A) t7/4\
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C) (--;31
;,(--'Í)
6.
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B) 5/6 c) s/7
E) l/s
C) Ir; el
E) R6
C)
10, lndique el coniunto solución de
(¡2 - g)¡2 -g(x3 - 9r) + lsr? - t3s < o
A) (-3; +-)
B) (--;3)
c) (-3; s)-{3}
D) (-s;3)
E) (-3;3)
A)0
D) (n; +-)
B)R
/<t€sa- la (ty7trFs
f l. Determine el complemenlo del coniunto solu-
clon en
k'*d'(3r'*2r*u)'Gn *f *r2 *x+il4 so
VxeE
ooo r) as VEP*?aE/¿A
z¡) 4rx) = 9x2-sx la
/ze.ue @Eo 
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Cr-<rz
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:¿=i-s ¿)é= c-/.€
z 2x/ '>o
z.s(*)
c)¿99§¿t¿t
Oo.v¿e §.=
5'a
f2. ¿Qué valores debe tornar m para que la
inecuación
(*4 +*2 **2 +nXxE *lXr2 -mr+m+3)>o
tenga CS=R?
A) (-3;61
B) [-6;21
c) [-2;61
D) [-2; +-)
D [6;+-)
V-*elP = .^..§.
€t) J
\§er,+
2,
/Xl¡'z 10
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A) (2;(;l I
(l) (:l; 6l I
E) (2; 3l u [6; +-)
ur (|; z).,[r;* -)
D) (2;91
2. Determine el número de soluciones enteras
menoroiguala6.
G2 -¿)(x+s)
->tt
k-2)k+5) - -
A) ro B) 12 C) 11
D)6 E)p
3. Resuelvalainecuación
,o-l=z-9xx
A) (0;3lu 16; +-)
B) (--; 0) u [2; 5l
C) (--; l) u f s; 5l
D) (0; llu [5; +-)
E) (0;2lu [5; +-¡
4. Si la inecuación
G2+x+zXs-x2)
2x2 -x+3
tiene CS=(-2i l), calcule a.D.
A)-3 B)2 C)-4
D)3 E)6
5. Sea la inecuación
x-t x2-x+2 2
-:->-
x2 -x-6 (x-3)k+2) - x-3
Indique la cantidad de valores enteros positi-
vos que no verifican.
A)r B)2 C)3
D)4 E)o
lEx-l =8-x
A) {3; s}
D) ti)
8.
9.
G2 +x+z)kx+o))-
2x'-x+3
6. Luego de resolver la inecuación &accionaria
x3 +Sx2 +2x -8
->fl
x' +7x'+ l4x + 8
§+
D) -10'3
halle el complemento de su coniunto solución.
A) (-l; l) B) (-l; l)u l-4; -2\
C) l-l;1) D) I-l;l)v {-a;-2)
E)0
Determine el conjunto solución que presenta
la ecuación
c) {3}
E) {s}
Luego de resolver la ecuación
Vx3+4x2+2.r-5=x+l
determine lasuma de irwersas de las soluciones.
N-tn B)-lB c)-lls
D) -116 E) -t/7
El número de soluciones de la ecuación
.üq - 97 = 2r{ - 97 es igual a
A)2 B)l c)o
D)s E)4
10. Halle el cardinal del coniunto solución de la
ecuación
.tr+s+G¡-.8¡T5=t
A)5 B)4 c)3
D)2 E) I
11. Calcule el ploducto de sofuciones en la ecr¡ación
{tr-s+Vzr*t=Vex-¡
B) -;
12. Sea la ecuación irracional
,[7 - 2x - s + F*u- = JÑ + x -to
Calcule la suma de todas sus soluciones.
A) l B) -1 C)2
D)-2 E)3
I
5, {;,
c) 20'3
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CÚICAIA tuúh,*it'dh,wtrhthn t.tt,c,nü, 32 MATERIAL DIDACTICO N"4
INECUACIONES IRRACIONAIES V UATOR ABSOTUTO I
l{r'rr¡r'lv,r I,r rr¡lrrir.rrlt. iltr.r'rt.r< irilt.
Jz , t, ..'¿
Si a es la solución de la ecuación
-4x +4 +ll2- xl=zx +6
entonces determine 2o+ 1
A)r B)3 C)s
D)7 E)0
Determine el cardinal del siguiente coniunto.
A) {e}
D) [3;51
B) (0;91 c) [o; s]
E) [2; sl
C) {-.3; l0}
E) {4;-lo}
C)
E)
,
0
A)
D)
8.
9.
.;.
*
2. AI resolver la inecuación
il3 +t >¡+t
se obtiene CS=[a; bl.
Calcule el valor de a2+b3
A)0
D)9
3. Determine el conjunto solución de
.,Q-3 +.rr-x_l>\E;-4
A) I0; +-) B) [2; +-) C) [l;3]
D) [l; +-) E) [3; +-)
4. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F) según corresponda.
I. Si x e (2; 7) -r fx-91=9*¡
ll. Sia>3 -+ la-ll=a-l
III. Si n < 5 *+ ln -6 | =6-¡
A) VFV B) lFF C) FFV
D) vvv E) FFF
5. Determine la secuencia correcta de verdad (V)
o falsedad (F) según corresponda
I. lx2-il=lx-lllx+ll
ll. l3nx+n | =n l3r+ I I
m.^[7 =x
Iv. lx-31=13-xl
A) FVFV B) VFFV C) WFV
' D)VWF E) WW
6. Resuelva Ia siguienle ecuación.
lx +31+ J7 = lxl+7
¡ =1,.n/l' - ll nt-,t2 = h * -ll *,,][ /lx+ll I ¡l )
c)
E)
4
5
2
4
A)2
D)l
B)3
Luego de resolver la ecuación
lzx-sl x
I l.' l= r.l,l
determine el producto de soluciones.
A) l7ls B) 20/3 C)2st3
D) l E) 27/5
10, Determine la suma de los cuadrados de la
soluciones.
l-6x+ t5-5lx-3 | =0
B) sr c) 62
E) ss
fl. Resuelva
lx -+13 -3lx -ql--Lxz -l6x +32
A) 70
D) 60
A) {l; -4;7}
B) {-l;4; -7}
C) {l:7}
D){l;4;7}
E) {-l; -7}
A) {7;-7} B) {4;-12}
D) {*2; ll}
12. Resuelva la siguiente ecuación.
lx-21+ lxl=4
Luego determine la suma de sotuciones.
c)l
E)4
B)3
f?Esó/!c/oN,c9
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fiTTT vAtOR ABsOtuTO II Y MISCETÁNEA DE PROBIEI'IA§
l. l)r.k.urrl¡¡tr ol cquivalente de los siguientes
(I)tliuntos.
¡={xeR/lx-31<4}
a = {x eR /l2x - tl s7}
A) A=[-l; 7l; B=[-3; al
n) A = [0; 7l; n=1-2;31
c)A=[-l;71; a=[-3;31
D),4=[; 7l; 6=[-3;41
E) t=[-2; 7]; a=[-l;al
2. Resuelva.
l3r-91+16-2rl sls
A) {0;6} B) f0;61 c) (0;6)
D) (--;01u [6; +-) E) [l;71
3. Resuelva la inecuación
lr2-í>s
A) {2} Ei) l-2;2} c) l-2;21
D) f2; +-) E) (--; -21 w [2; +-¡
4, DetermineA n8.
a={xeR/l3x-ll>x}
a={reR/lx+sl >-3}
Resuelva la inecuación con valor absoluto.
lx-2ls2x+l
B) f-3;+-)
Determ¡ne el coniunto de valores admisibles
de la siguiente expresión.
I
E'=Js-lrl + '' x-l
A) [-s;sl B) [5; +-)
C) I-s; sl - { I } D) (--; -sl u f5; +-)
E) l0; sl-{l}
Determine la va¡iación de f6¡:9(x-I )(x+3)
si l3x-21 <8.A) [-12; l37l B) [-36; l3Íll c) [-27; 136l
D) I-36; l43l E)
10. Determine la suma de valores enteros que
toma la expresiónE=2x-3 si 2 s lxl < 5.
A) -36 B) -rs c) -27 D) -¡0 E) -20
11. Determine el número de valores enteros que
toma /r1r¡ si /1,.¡=2lxl+l; Vxez4. Considere
que,4 = ixe n/xz +x-6 < 0).
A)8 8)6 c)7 D)s E)4
12. Determine el con¡unto de valores que debe
tomar x para que la expresión irracional eslé
bien definida en los rea.les.
B)
E)
-', *]
l\
3'' /
A)
D)
7
8.
9.
.i
*
+
*
*
{-
+
*
*
.:.
.i
*
n
*
*
halleXn }.
A)o
C) (--; -l) tt (a; +-)
A) [0;+-)
o(;-f'')., (,2
. -/r;lkt. rtnr' =llp-l¡;:¡l
B) ll; al
D) /i-4, r.@\'\2 2 2 2t
JA\* zl
o ls; -j)
" 
(-]'.-)
a) (--; ])u(r; *-) B) (--' i)'(;' .-)
o(--;i)"(i, .4 D) (--;r)u(a; +-)
o (--; i).rr' ,r
-4;
5. Luegode resolverlainecuación
lx-21< 2x-6
indique la secuencia correcta de verdad M o
falsedad (F). Considere que 5 es el conlunto
solución.
I. (*; +-)c§
lI. ,.§c (2r; +-)
lll. (-*; 4l cS
A) FFV Bl Fw C),FPF
D)WF E) VW
6. Dados los conjuntos
x = {x2 -s'e n/l'z - sxl. +}
r = {x2 - sx e n/lrz - sr+ el < z}
I
i
t\
3' l
r,. -¡,(o,j]
C) 12; +-)
133
lI
D) [l;+-¡
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S0tuGroIUARlo
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.1.
.;.
f?esotucto¡t'0)
-.Se'a¡/
SEsorygov @
-S'e¿N " r/1= lX
e/p. / 3x-t I >x {
-A=lxe/z/tx-?lsq jx-l )x v 3X -.1 <-x
-rl:x-3É¿t--u-J r¿x<+ --+-.X) v.¡< y,l
---o.4 = xe [-!.-'+7
o0 = lxr/ ?x-t I s1, t -A 
- x€{-co". \)uq/2;t*)
7 s 2x-L31'+ -3<x 1,1
" B= lxe x+51>- 3 t\+- -
-3a6u.y7te /*e¡rz-+ fJ =-x.e 83. ?J
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',,,'t" " ,, ' .MAfFSIllFlP'ic'T'!ffi''N'4
FUNCIONES
1. De¡ermine el dominio de la función lrsi *
*
*
*
t
+*
t.
*
*
.:.
*
*
.t
**
+
*
.:-
*
.:-
*
.:-
*
+
*
.E
*
*
*
*
*
*
.;-
.:.
**
*
*
ftr) = 7 -x-t2+{i
2. Calcule el dominio maximal de función
5. Halle el rango de la función / si ft l=l+S'-t;
p6¡¡¡=(_6; 31.
A) [-13;321
D) [-17;321
B) (-13;321 C) l-ls;321
E) [-17; +-)A) t-31 4l
B) 14; +-)
C) (--; -31 u [0; al
D) (--; -31 u 14; +-)
E) t-3;0lu t4l
A) (-3; +-) B) (-3;71
D) 13;7)
6. si el rango a" r * (t; z], determine su domi'
nio. Se sabe que 4,1 = H'
o=lt-,r1.*'fr=rffil A)
D) [a;6)
c) [3;7)
5) (3; al
c)wF
E) FVF
(
I
I' )
5 B) [a;5)
B) FFF
A) t3;6)
B) (4;5)
a¡ 1--;31 v [5; +-)
D) t2;5)
E) [3;5)
3, Calcule el coniunto que representa las imáge'
nes del dominio de la siguiente función.
f: (-2; 3l -+ R
x -¡ 3-2x
7. Respecto a la función
3-lxl; -2<¡Sl
,3-3¡2+3x-l; l<x<3
indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F).
¡. Po¡1¡=(-2;3)
r' /(rru) = I
lll. Ranf=(3; 8)
f=
A) WV
D) VFF
C) (3;71
E) l-3;7)
4. Halle el rango de la siguiente funciÓn'
r=lG;t).*'f ,= l;*)r, '.(r;r¡)
, {á' '} , (i' , ",(á' 4
,[*'4 D n;2)
B. Determine el rango de las siguientes funciones'
f: R-rR
* - *-4*+7
g: I0;5)-r R
, - x2-4*+7
A) RarrI=[3; +-); Rang=[0; 12)
B) Ran/=[0; +-); RarE=[3; l2)
C) Ranf=[3; +-); RanS=[3; l2)
D) RanI=(2; +-); RanS=12; 12)
E) Ranf=f3; l2);Rang=[3; 12)
9. Determine el rango de h si
&,r==I-; xenfi.x-+l
^, [r';] B) ro; +-) c) to; r)
o),to;21 E) (0; +-)
10. Dadalafunción
r = {(xs¡;rs¡)e R/ru¡ = z¡ - ¡ "
/tl =4t2 +l ¡
s€R+l
indique la secuencia correcta de verdad M o
falsedad (F) según conesponda
l. tr6¡¡f=(-l;+o)
It. ft6f=(l;+e)
lll.fUl=i+2¿c+2
SotuctoluARto
l
*
**
*
*
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*
.l
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*
a
*
*
*
*
....
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f u)-- )< ?x-tz
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'/-';arvDa
Dode)5, xlx- E¿a
* oé) ; (x-v)(x+r>o
+ O¿1 : xe¿-@:-31utL-fo)
A"r. @
/?€,gotr/czo,.g @
/ 1á'
A)VTV B) FVF
D) FFF
A) 12s rb B) l 24 rb
D) 126 rb
l. Determine el dominio de I¡ si
h(r) =
lzx -21- x3 -l
(.r2 - alxl +
"li',] ern-i];,] c)R-(*;3)
D) R-(0;3) E)R*- 3
á= /k;y)€/e'/¿=ffi'¿
4)o,voe
Ooo.ry*^ryrt/ oa'¡t -
= 
),6+ ffl.o
--+ x ef 3. s)
o'. D(h) = xe¿3.s> (L/r@
grsrkrro* @
3eA
f i xe z- 2:31 -'>/E
-x +- 3-2X
Oa Do,voE, a¿
\Oo,r</rV/O E57n D¿?DO /OCLQ
-x e <- 2- 37, J F&)= 3'2x
/->
e¿ CctA Lt Qo,u5f.ea,tt-2O57
-.# y >-ZxZ-6* 7) 3-2x Z.*3
--+ 7),aCx)?-3
--+>,a(x) e E3--»
ooo Fl C)t^¡¿1 Dg rH*b-¿zxéS
Qn'?" é-srla o.'r¿)o
t:o¡¿ 83.7) a"ve
O FFV
E) WV
c) 127 rb
E) 130 lb
I
3'
2. Si una astronauta pesa 130 libras en la superfi-
cie de la Tierr4 entonces su peso cuando esté a
ñ millas sobre la Tierra está dado por la función
w*, = rao(-!89-)'
iCuál es su peso cuando ella esté a 100 millas
sobre la Tierra? (aproximado)
2 <-x.
i-fIT:l
OtcloÁnuel
T+?h= ¡ u*Aa7 3O -
<,4.:f) ax = le
O_/.yU_Z ¿d
{.'tri ir*>?)c s¡- 1'-<{- "+7
I-< r -?z <*o< ?z *7
T-+¿ =X v o<1 +-
T-?a =x, t&E? 30 "
a
lat:e1=5, )' at >(og; g
ZlN+zp-9; e .,- b>.(z-8 ,- o *
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I
(iEOMETn,iA
cicto AnfnABmf GYo
Eesuelto por: Prof. t. U. Luyo
riTlr|l RELACIO NES t{ÉTRICAS I
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, las
medianas .IF y Ñ son perpendiculares ent¡e
sf y/M=3. CalculeAC.
A) 6 B) 2.,6 c) 3..8
E) t2 D) 4J3
2. En el grifrco, AB=CD, EB=lA, BÍ'=2 y CG=A.
Calcule ClI.
A)s
B)o
c)4
D)8
E)3
3" En el gráfico,ÁBCD es un cuadrado. Calcule ff.
§e tie¡e un cuadrante áOB de centro O y en
la prolongación de óE se ubica el punto C, lal
que áC interseca al cuadra¡rte en D, además,
AD*8 y DC -17. Calcule ÁO.
c) 15
E) l0
c
C)
E)
Gn
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D)4
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D)e
B) 12
e4+25-___r
4. Según el gráfico, BÉDC es un trapccio isósce.
les, Af= 12 y f6=3. Calcule ¡tO.
A) r8
B) 20
c) 16
D) 24
E) 22
En una circunferencia de centlg.1p, se ubican
los puntos á, C y B, ral que mÁCB = 6(P y OC
interseca a &4 en D. Si CD= I y BD=3, calcule
el radio de la circunferencia.
A)8 8)6 C)s
D)7 E)9
En el griáfico, z{B =4 y CD =2. Calcule cr-
B
A) t6o
B) t5"
c) I4o
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E) la"
D
La f¡gura muestra una semicircunferencia don-
de CF=9 rg¡r FD=7 m, Calcule la longinrd dcl
segmento Ff, en metros,
D
E
A) 17
B) 18
c) 19
D) 15
E) 16
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DIDÁCTTCO
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\ 3?ooltoo/
W (too) , t3a l-ezqg \L' \ Yo 60./
v/ (/oc,): 123,6vY93 /razz5
ooo w(/oc,)A4@x. = /25/ló
C¡^r¿
@ouoa
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oBs.
Apo¡tanúo en l, lt¡faslón de la Ciancla y ld Caltan
7.GA
E
B
DC
B)2
H
I
9. En un tiángulo recángulo ABC, recto en B,
BM=2y MC*3. CalculeA6.
A) i\,T Ir) 5\€ ,, íT
30LUG!OIUARtO
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n
Resolución If"Ol
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E)
10. En el gráñco, lr es ptlllto d{: langencia, Af=o !'
78=0. C¿lcr¡le,t8. Piden: AC:x
G: Baricentro del hiángulo ABC
AG:2 y GM:1
n¡¡N.Rgtvt: (BG)2 = (2X1)
BG=JV
dedonde: O*=*
\.eec' AN=NC=r*=*
;. x4J2
Resolución N"Oz
Piden: CH=x
Teorema de las cuerdas:
En (ll): a.b=4.x
-]J,{,
A) 
'[ñ'¿,
c),i;r:t?
E) .,6:¿,
B) Jl,;
D) 
',f,L' 
ll
11, Si,4,ff=2, BM-3 Y MD*4'calcule 8C
A) 3.rE
B).,6
c)3
D)5
E) 3r\
1 2. §egún el gráfico, la mÍ? = m&, C¿¡=Of=l v
(f=4. Calcule F6.
(i)
'4
B)7
cr ll
D) l0
D!'2
E
I
-***ffiU
En (l): a.b=(2)(10)
Igualando: 4x:20
' .'. x:5
Re¡olqcióD If"O3
4F 25
Piden: FE:x
RMSero: (EH)2=(4X25)
de donde: EH=10
se observa que: 10*x=29
.'. x=19
Re¡olución If"O4
Piden: AD:x
RMN.eac: (BF)2=(12)(3)
de donde: BF=6
ÁBFDC: Trapecio isósceles
CD:BF=6
AGAC: Teorema de Thales
x12
-=-63
.'. x:24
Rc¡olución I{"O5
Piden: OA:R
Of f en +AT=TD:4
nu\.¡oc: (R)2:(25X4)
.'. R=10
Rc¡oluclón If"Oó
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Oave§
chve§ Oate§
RPiden:
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GU-,GAiI6 hil,iheht-h'ií'd,t cbÉhvrt.tfrw 4A MATERTAL DIDÁCnOO N"4
IF
como: mÁB =60
entonces: AB=R
de donde: AD:R-3
oc=oE=R + oD=R-1
Teorema de las cuerdas:
(3XR-3)=(1X2R-1)
3R-9=2R-1
.'. x:8
Resolqción N"O?
' Piden: cr,
Por observación:
(2)2:(An)(DE)=(tXR)
de donde: t.R:4
RM\.¿oe : (t)(R):(AB)(h): (4Xh)
4h=4 + h=1
\.e»g: Notable de LS y zS
.'. c¿=15
Clave§
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R
Ctave§
2
Resolución N"O8
Piden: EF=x
Por observación: (x +9)2 = ¡¡.¡
mIBAC = mIGDC =w
\.ncp- N.occ'
9mJ- 3-3 m.n= 144n16
reemplazando: (y + )\2 = !44
de donde: x*9:72
.'. x=3
Resoluclón N"O9
Piden: AB=x
RM\.AHC:
(HM)2:(2X3)= HM = 6
§.asc - N.Huc,
GEOMETBíA,- !!,O*,o,,,,,t,,t,r,*,0",, *,,,* nr,- rntrrrrrrril O
x5 Piden: BC:x
Teorema de las cuerdas:
(2XMC)=(3Xa)
de donde: MC=6
\.gI4Cr Teorema de Pitágoras
x2 =32 +62
.', x=3€
:=-Jo3
5.,16
5
tt_
1le3
Resoluclón N"lO
Resolución lf"l2
2w
Piden: AB
Teorema de la tangente:
u2 =(esxec)
b2 =(ABXCB)
sumando: a2 +b2 =(ABXAC+CB)
a2 +b2 =(ABXAB)= (ABf
... AB:.,[;2 *b2
Piden: DF:x
For ángulo interior:
mlcDF=2'*2'=e**
2
Por ángulo inscrito:
mlcGE =47L=g**
2
como: ¡¡IQGE = mICDF = 0+ w
áEDFG: Inscriptible
Teorema de las secantes:
(6)(3)=(4+x)(4)
18:16+4x
4x:2 .'. *:1
2
Resolución N"ll
Ch,r"E
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t
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cbueft
Cbuep
cbuep
Clavep
-
NES I'OÉTRICAS IIriT',?f RELActo
Scgún el gráfico, O, f y f son prrnlos de langen-
cia. Si AII=8. BC=7 y AC=3, calcule Dá'.
B
r
c) 1,4
E)2
lin el Sraf¡co, ÁB =2$, DC =3Ü y' AC =28.
Calcule AO.
tl) I
lln la figura.80 es diámelro dela circunferen-
cia de centro O, ,llA tangente, B,1l secante. Si
AB =5, lvl ** = I 2, <'alcuh B,tl.
A) 13
B) 12
c) r¡
D) r0
üe
M
El triángulo ABC es equilátero de lado \'P es
un punto interior. Los segmenlor PD, PE y PF
son perpcndiculares a sus lados.
PD+PE*PF
Entonces ar;c';¡¡" "u
B
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¡5.
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a
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A
A)
D)
2
3
2. En un lri;i,ngulo ABC, AB=8, BC=10 y,4C=9.
C.alcule la longitud cle la bisectriz interior rela-
tiva a ¡lC.
A) 2,8
D) 2,6
A) v5s
D) Zii
A) 2.;6
D) 4,,{i
B) 1,6
B) 3.6 C) zv'iB
E) J3o
c) 3.f
E) vfo
B
3. En un triángulolBC, las medianas relativas a los
lados ,4C y AB son perpendiculares. Si AB=c,
BC=ay l]{=b, lralle la ¡elació¡rentrea;b .vc.
A) b? +c!=2a2
B) 1.r1+c2:542
C) I¡2+c?=3o2
D) b2+c2=4a2
E) b!+cL*(taz
4. Según el gráfico, BC=S,,{ll*3 y AD=4.
Calcule CD.
ÉvJA)'.
ü)2B) 
4€
A
B)".f
u.\l ¡offi.t
A
4
C
¡?TTNíNIUilI G.U. 5I GEoMETRíA
8. Del griáfico, C, O, f y f son puntos de tangencia
y BC=Z(AB)=L Calcule (Bq2 -$(»2.
3
,30
4
nl6
c) 4,?
¿.
D)-'rll'5
E)2
11. En cl gráfico mostrado, E es punto de tangen-
cia, AD=BC, AB=8 y CD=2, Calcule f,O,
7
3
A)
B)
A)
.;.
C)
F1
4
5
AB
9. En el gralico moslrado, calcule IA'si ,if,Y=¡\D,
y ABCD es un cuadra<jo,
a
A) 0,2
D) 0,4
A)l
D) ii
B) 0,3
B)2
c) 0,5
E) 0,6
c),,0
E)3
-'5B)
1 0. F-n el gráfico mostrado, calcule ¡ si BC toma su
mátimo valor entero.
n*'J6
3
D)6
t2. En el gráfico mostrado, halle la distancia del
cenlro de la circ.unferencia rá¡ y el centro de la
circunferencia más pequeña.A) @
2
B)
t
2
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E)2
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uxl 2009.I
3D
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D) J4s
E)8
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GUZEAile tilrt§tnt ttqtírt,ttciwiyhutut 52 - MATEBTAL DIDÁCT|CO N"4
§oluGloilAnlo
Re¡olución N"Ol
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8 F
3
Piden: DE=x
Poe propieadad:
AD = p,rAe6 -7 =9 -7 = 2
AE=AD:2
AABC: la de cosenos
72 =82 +32 -2(8x3).cosw
Cor* =1=w =60
2
AAED: Equilátero AF:DE=AD
.'. x:2
Resolución N"Oz
D4
9
d-'
----§Hm
* Piden: BD=x
Teorema de la bisectriz interior:
AD84
DC105
de donde: AD:4 y DC=S
Cálculo de la bisectuiz interior:
*z =(s)(ro)-(+)(s)
;. x=2JE
Resolución N"O4
Piden: CD=x
Teorema de las secantes:
(8)(3)=(AEX4)
AE=6 y ED=2
Teorema de la bisec&iz interior:
EC 
=? =: EC:4g 44Lv-
Cáculo de la bisechiz interior:
x2 =(+)(sl-(z)$\
:. x:2J6
Rc¡olución I{"O5
de donde: HC=18
Por observación: 362 =(ZR)(1g)
de donde: R=25
R=OH+18+ 25:OH+ 18
OH:7
se observa: 28=x+OH+18
28=x+7+78
.'. x=3
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Cbve§ 4
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T
a)Z-
Piden: AO=x
AABC: Teorema de Euclides
Resolqción N"O6
Piden: BM=x
Sea: mft =20 y mót = 2w
Propiedad: rÁB = -ffi =20 +2w
Por ángulo exterior:
mIBMA _2w+20-2w _,
2
Por ángulo inscrito: mIBAC = 0
Por semejanza: 52 =(x)(BC)
Teorema de la tangente:
122 =(x)(CM)
DB
c
a
x
A
cta*E
G: Baricento del tiángulo ABC
Ñ; Mediana
BT:TC:alZ
\.nCC, BT=TC=GT=a/2
AG:2(GT)=AG:a
Teorema de la mediana:
,2 +b2 =r(+), .+ T Ax H1828-------4
Chve§
b2 +c2 =5a2
262 =302 +282 -2(28)(HC)
Resotución N"O3
a
I
1l
I
I
4
u2 -b2 =L
10
Cbvep
Resolución N"O9
sumando
s2 + LZz= 1*¡(ncfct t) = x2
.'. x:13
üavep
Rcsolución N"O?
B
\
E
Por el punto P t¡aza¡¡do rectas paralelas a
Ios Iados del AABC se obtenien tres
trlángulos cquiláteros de lados !1. t2y 13.
Resolución N"OE
reemplazando en (1):
a2 -b2 =22 -
Piden: M =(BG)2-(FGf =a2-b2
El cuadrilátero BGFC tiene diagonales
perpendiculares, entonces:
(ec)z + (rc)' = (rc)' + (crf
reemplazando:
a2 -b2 = (BC)z - (Fc)2 ....(1)
AIOC: Ley de cosenos:
(1 + r)2 = 12 + (3 - i2 -20X3- r)cosw
(1 + r)2 = 12 + (3 -t)2 *20X3--',[5:)
de donde: r=9ll0
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....
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D
5n
.'fambién:
entonces BD + CE + AF = 3l/2
' Por conslAulcnte
Piden: EN:x
[P-P[{={, entonces: MN=ND:2
EM=ET=TD-ñ-2
N.Eto' ED=zJi
AMED: teorema de la mediana
z2 +eJif =z*2 **
2
,'. *:J2
Piden: AD=x
Teorema de la bisecfoiz interior:
BD4BDz
DClO DC5
de donde: BD=2n y DC=Sn
Cálcrrlo de la bisecbiz interior:
*2 = (+Xro) - (2n)(sn) = 40- lorP
desigualdad hiangular:
10-4<BC<10+4
de donde: 6<BC<14
entonces: BCmáx u.,t. = 13 = 7n
13
7
Reemplazando:
lqFC=t=2^l$lr)=rl*
I
F
12
ts
c
. De la figura
nC=/= 11 +12+ lsentonces
t,J3 to,l-s l,^fsPD+PE+PF=.-*-2 *t
BD = /r *';. .u = b* +. Ar= /. * l
PD+PE+P:F
BD+CE+AF
tJ3
13.)
7)-ro(
2
*2= 40
= ## = Jits
chvep
[',ffi)' Cbuep
x=f.m
craueEl
t
.'. a2 -b2 =0,4
Resolución N"lO......-
Resolqcién N"ll
Piden: DE=x
sabemos que: mIABD = mIDBC = w
Teorema de la bisectriz interior:
t 
=8 +t=42t
Cáculo de Ia bisectrD interior:
d2 = (8)(t)- (0(2)= (8X4)- (4X2)
d=2J6
Teorema de las cuerdas:
(x)(d)=(tX2)
(x)t2$') =(4112\
lportando en la úita§ón do la Siencia y la Cultaru
,<,^
CU-iCliile ¡t ottú*nt ttttiti,d.ttch*hvhpttvt 56 MATERIAL DIDÁCilCO N"4* ¿"tttt,'t,t'
*
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.l'
.:.
zJ6 RETACIONES II,I§TRICAS III*=T
Rosolución N"l2
Piden: OI:8-r
se observa que: 2l:6+r, OL:4-r
OI=8-r y OL=4-r
AABC: Teorema de Euclides
(6+112 =(2\2 +(8-r)2 +2(2)(4'r)
3
de donde: r:Z
or=8-r =8-1
or=19
2
A pa(if del gráfico, calcule
(AB)2 + {BC)t + (C D)2 + g¡i¡z
A) 160
B) 180
c) 200
D) 240
E) 2A0
t)
2. Según el Srafico, (IBXCD)=18.
Calcule (A0{BD}.
[n el gráfico, / es i¡¡centrn del triángulo A/]('',
AB=c, BC=o y ,4C=1¡. {lalcule {{.Í)t
cbvept
Cbve§
f)
2c
B)
B
A
.:. 4.
¡5.
.¡ 6.
C
C
,$ sf -r b+a
B) 6+l
Lr)b'c-¡
b+cFI
J(}
c) zJS
§)2
A
A) 48 B) s4
D) 30
B
D
En un pentágono regular,{BCDd calcule
AC CD
AB AD
D)
a+c
b
¿).6-l
D)lc) 62
E) 46
3. En el gráfico,AB=4, BC=2, CD=3y AD*5-
tlD
Calcule,".
En elgráfico, FyG son punlos de langencia, tal
que (BE)2+{rP)2= I 3. C¿lcule (et +{CG}z.
A) 26
B) 13
c) 3s
D) fiE
D 2"ffi
4 D
^. 34( t-'' 4l
2tu)-'32
23
n) 
ze
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I) ::D) !-l'38
Itrl
ZGA
{
l
I
7. Según el gráfico, B, É' y F§ólr pr¡ntos de tangen-
cia y ABC0 es un cuadrado cr-ryo lado mide 2.
Calcute (DF)2-(lf)2.
C
A
A)6 B) r0 c)e
E)7D)8
8. Se tiene un heplágono regular ABC'DEFG, tal
¡l
qu" rF 
* 
co
A)s
D) ts
B) ro
A) t2
D) 18
B) s9
[in el gráfrco,,'t.8 = BC = AC = L
Halle PA2+P87 +PCz.
NlÜ *1ü
.i'
*t
AC
DE
5
C¿tcule 46.
B) 2,5 c) 0,2
E)s
c) 2f
E)6
* 11.
* 12.
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9. F-n cl trapecio ABCD isósccles, BC y ÁD miden
2 cm y 6 cnr respectilamente. Calcule ¿C.
C
A) r0
D).6
A)
D)
7
1
D)
B) 3.,6zJs
3.fi
-
Piden: ACv
0. En cl gr¿iJico mostlada, MN=14, AC=10 y
üD=15. C¿lr:rrle P7" si P es el punto medio de
il,¿N.
30lUGrOilAnrO Resolución N"Oz
Resolución N"Ol
D
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O.DB
c) 12
E) 20
Los lados de un cuadrilálero bicéntrico miden
4;3 y 8 cm, rcspeclivamente. Halle el produclo
de sus di;qonales.
B
c)
u\tz
Piden:
E = (AB)2 + (BC)2 + (CD)z + (ADf
Como el cuadrilátero ABCD tiene
diagonales perpendiculares:
(AB)2 + (CD)2 = (BCf + (ADf
entonces: E = 2[(AB)2 * (CD)z]
Teorema de fuquímedes:
^2 
*n2 +t2 +d2 =4R2
rn'f n'+t*E=4Rz
(AB)2 (cD)2
de donde: (AB)2 + (CO)2 = AR2
E=8R2=S(5)2
.'. E = 200
Cbvep
Piden: (AC)(BD):xy
Dato: (AB)(CD)=l$=¿.6
.o-o' mád=60=BC=R=4
Teorema de Ptolomeo:
x.v:a.b+(B)(4)
reemplazando: xy=l$a32
"' 
xY=50
Resolución N"O3
BDx
c) 15
E) 20
Clavep
É7
2
-=-
4
-
-
IF
,/á-
CúZtñi¡O tñttl,t st ttdilrdrhchÉ¡rrhtu, 60 U@.
Teorema de Viette:
x (aX2)+ (5X3)
v (4X5)+ (2X3)
x23
v26
Resolución N"O4
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Clave§
AIx
Piden: §f = !
Sabemos que: ID=DE:y
Se observa que los puntos A, l,Z y E de-
terminan una cuatema armónica
entonces: (x)(2yt) = (t)(x+2y)
2xy-xt=h.*2t5r
xy=t(x+y)
Teorema del Incenho:
x b+c ax
----, t=-t a b+c
Reemplazando:
de donde:
xy= (#r)o.,,
V(b+c)=¿¡¡.'u, chvepl
g(b*c-a)=¿¡1
x b+c-a
ya
x b+c -_--- I
ya
A
cbve§
GEOMETBíA
,
Resolución N"O6 Piden: (DF)2 -(AF)z
Se observa que:
oE= oB:oF=AB = BC: Cf) =AD =2
N.onc, 6B=BC=BF=2 y FC=ZJ{
Teorema de Marlen;
(DF)2 + 22 =(ñ)2 +QJ§)z
.'. (DF)2 - (AF)z = 8Piden: (AE)2 +(CG)2
Dato: (BE)2 + (FD)2 = L3
Teorema de Marlen:
(AE)z +(EC)2 = (BE)z + GDf
NeFn' (ED)z. = R2 + (FD)2
\.Eoc' (EC)z =R2 +(GCf
Reemplazando:
(AE)2 +R2 +(GC)z = BEf + R2 + (FDÉ
de donde: (AE)2 +(GC)2 = BEf + FDf
.'. (AE)z + (GC)2 = 13
cbvepl
Resoluclón N"OE
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D
c
D
a
ACCDda
Piden: E= 
AB 
- AD =;-e
En un pentágono regular, el lado es la sec-
ción aurea de su diagonal:
"=116-r)[2 )
CtaveE
d 6+1 " J5-la2d2
- .6+1 ..6*tE-- 22
.'. E=1
Resolucióo N"O?
Piden: AG=x
1 1111
Dato: *:+*=5=;*b
AG:BC=CD;x
AF-BG-BD-a
CG=GD=b
ÁGBCD: Teorema de Ptolomeo
ab=a.x*b.x
ab:x(a+b)
,,
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olLI
I
I
I
Resolución N"O5
-
,/á-
cíZtñile tñ¡t od,uhd,tu¡ind,t ciwi"t cdrú' 62 MATERIAL DIDÁCTICO N"4*
Resolqción l{'l01 a+b 1 1
-=_-=-+-xabab
*
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B
11
de clonde:
chve§l
Resolución N"Og
A D
Piden: AC:BD=x
Teorema de Pithot:
AB+CD:2+6
de donde: AB=CD=4El trapecio isósceles es un cuadrilátero
inscripüble:
Teorema de Ptolomeo
(x)(x):(6)(2)+(4X4)
.'. x=zJi
Piden: PT=x
oM=oA:25 y OT=OD:15
MP=PN=7
\.optnl, oP:24
N.ottut, MT:20
ÁOTPM: Teorema de Ptolomeo
QQ (20\ = (7 )( 15) + (25) (x)
.'. x=15
r
x
\
/,
Chve§ Piden: (AC)(BD):xy
lportrfido an tt llifaslón do la Cíancia y la tultun
,2 *"2 =2t2 +
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elave§
U2
B
cleyeE
Teorema de Pithot:
8+4=3+AB
de donde: AB=9
Teorema de Ptolomeo:
(x)(y):(9)(3)+(8X4)
"' x9 =59
(2r)2
,,,h:x-+y'+z'
AAPC: Teorema de la mediana
*2 *y2 =2n2 *\:
2
A.OPB: Teorema de la mediana
2
Resolución N"l2
U2
A
Piden: [ = (pA)2 + (pB)z + pC)z
*2 oy2 +22 =2(n2 +*l+*+,2
Pero: nz + t2 - 4r2
,2
*2 +y2 n12:sr2 *l
como el kiángulo es equilátero:
,=!.,4 -,'=';
reemplazando:
.'. *2 +vz *12 =f,tz
sumando
,
f'
C
zcA
x5
"'. x=5
' a, cEoruErniA_r_rrr_r_rr_** r, _ r,,_ _r q
Clavep
,d
Gú2T-AiI@ )bd4*8t ú't6iiod'h.i'r,i'rt edb, 64 ilATERIAL DIDÁCflCO N"4
riTTl"I POIíOONOS REOULARES I
1 Loo polígonos AISCDEF y A'B'C'DE'F son dos
¡rolgonos legulurs si¡rrét¡ic«rs con respecto aF.
SiAA=2 u, calcule la dislancia de C: hacia."{'.
A) 2J5 B) 2"',3 L') zr1
D) 2\.6 E) zJio
2. El sjmi:tri<:rr del hexágono rcgular ABCDEí re-
lativo ;r lir diágonal CE es A'B'CD'EF'. S¡ áff=Ú,
calcule la longitud á.6'.
A) {,J-3 B) (,,',3 C) (,,f
D) i.Jiil E) (Jia
3, Una circunferer rcia ? cuvo ra«lio rnide l& crn'n
está inscrita en un cuactrado ¡(LffN. l.a circr-¡n-
fcrencia es tangente a los tados t,ti y ,lrr-v en los
puntos P y Q resp€ctilamen¡e, y A'P n « = {S.i.
C¡rlcule la.longitud del arco PQS.
A) 123 B) 124 c) r25 r)) 126 f.) t27
4. En un cuadrado cuyo lado mide Í, se trazan 4
a¡cos iritcriorcs con icntro en cada vóñice y
¡adio f. Calculc cl ¡reámetro rlel cuadrilátero
curyilíneo determinado por los 4 arcos traz¿dos.
A)
3;rt ¡{.
,{
D)
3¡ú qr{
J
5, Un hexágono regqlar se encuéntra insr:rilo en
una circunfercncia dc longitud l2 u. Se trazan
las diagonales menores del hexágono, clbte-
niéndose un nuevo polig«-ln<.r re¡{ular ¡¡rscnto
en una circu¡ferencía. (ialcule la longitud de
la circunfereniia.
A)3 B)4 C)6
D)4J5 ü (iJ3
6. En un cuadrado cuyo lado mide d, se lraz:.n ar-
cos interiores haciendo centro en cada vdrlice
y con radio de longitud a, que al intersecarse
determi na¡l un cuadrilátero curvilíneo. Calcule
la longitud de fa cuerda paralela a la diagonal
del cuadrado.
N ali
D) orDl--T
7, Ca.lcule el lado del cuadrado inscñto er¡ uria
circunferencia en la que una cuerda quc sub-
tie$de un a¡co de 120 tiene urÉ longitud dc
JU.
A) 4,,t B) .,6 c) 3J5
D) 2"6 E) v?
8. Sea ARCDEF cl hexágono regular cuyo lado
mide a. halle el lado del hexágono que tiene
por rélice los punlos rnedios de los ladr¡s del
hexágono inicial.
9. En un triángulo ABC, ea=AC="Ü+dZ- y
m{A.8C=45o. Calcule AC.
^)2 
ilji O2J,
D) 4 E) 3./á
1O" En r¡n triángulo ARC, AR * BC =,1;72.
m<A.BC= I 35o, Calcule,{C-
A) "0 B) vT c)z 0) 3 E) '6
tI. Si f e§ punlodc fangcn(:ií¡, adcn¡ás m<C=45"
y R = ,,,rf - ,,T, calcule áC.
A) 3.l?
B) 5.J,
c)$
»2'!,
E) 1,,1
I2. Si .44¿D¿'¡', AC,\ltl ¡, CDPQ son polígcnos regu-
l:ues ¡; Af =a. calcule,,lfP.
2a á
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Piden: ABr = x
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"PQS
I---
"PQs
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Piden: CAr= x
AIr=FAr=2
AABC: Isósceles de 720
AC=26
\.Cee' : x2 =42 +e.filz
.'- x:26
Resoluclón N"Oz
Piden: Lffi
Por ángulo er<terior:
s: _ go-TG:+ mG= 3722
de donde: mÉG = u7
727 _
entonces: Lm§ = 
r6o_L 
o
L=== =Y¡2nR)= 727ñ'PaS 360\-'-'l- 180
Dato: R = 180
It,
Reemplazando:
S0r.uGtotranIo BC = CBr=/
AABBr : I-ey de coseno:i
x2 = t2 +(2Oz -20let)Cos(L2o)
x2 =71,2
,', X=lJl
R¡solución I{"O3
K
l27n 780
180 n
=127
Chvepl
@E
e
E
*gm
Resolución I{'Ol
-ts
I
d
-
I
Resolucién N"04
Piden: 2psp6¡1
2prrcH =4.Lfu
L¡6=o.P=n.7
entonces: 2PrpcH =4'
^ 2nl¿PEFGH =T
Piden: L12¡
Dato: L(r) =D
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por semejanza:
nJ5a
(;4
B
Cbve§
C
entonces:
72
Lrzl 
= ILu) a
_ n,
de donde: L12¡=-L11¡
A,ABC: Isósceles de 120
u=n6
nJ5
AJ
reemplazando: L(z) ={rrrt
:. Lp¡=4J3
Piden: AB=x
como: mÉEd = 120
entonces: PQ'/s
3=R.6
de donde: R =.6
Sabemos que: x =RJz
*=J5&
.', *=Jd
Reeol¡¡clón I{"O8
Piden: PQ
AP=PB=BQ=QC=alZ
Piden: AC=x
AABC: Elemental del octágono regular
69 = AB[.8- .f2)\' )
Reemplazando:
*=Jñfz-.,|ñ,
... *=JV
Resoluclón N"O? APBQ: lsósceles de 720
PO =;.6
chveE
Rcsoluclón I{"Og
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Resolqción N"Oó
Piden: FG=x
.u*o' *ÉF = mÉG = mGD = 3o
oarrcE
cbve§
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D ,tñ
I
I
BF FG CD
@pl-
*=urlz - J3
t2
270
Resolución N"O5
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Resolqción If"lO
-
68
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B
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PüíOONOs REoUIAREs IIPiden: AC=x
Se obserua: *ffi = *Ée = +S
entonces: AB = BC, Zg
, 
-
Jz-,t2 =a.lz-Ji
cle donde: R: l.
corno: mffie =90
entonces: AC: la
*=R#
;. *=J2
@EI
R¡solución N"ll
c
Piden: AC=x
ATCE: Elemental del octágono regular
Áe 
'.pg
"=r9Jñ=r+Jñ22
*=sJl+J2 =,[l$JÑ
.'. *=Ji
Cbuep
ResolqcióD N"12
Piden: MP=x
MC=PC=a#
AMCP:Elernental dodecágono regular
MP: ln
-
x=Rr/z-Js
*=u¿.{ljs =""[4-zT3
... *=u(.,§ -1) Rpta.
Si ABCDE c's Un p(:ntágono regular y
se =ift;, + t), catcule MB.
lados si sl <.liál¡let¡o rlc la circunferencia cir.
30
35
D{A){'2
D)T
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A)o
B) 4a
C) 2a
D) 3<¡
E) 5<l
B
f-t ¡:--:=::
cunst rir¡r mide .12 + i ril Cr r 2,15Y 2'
arlvG:zG r)6f
,).ry!
6¡ -'l§ fi5
C
E) i-o-*:!
4
). La diagonal de un pr:nlálEúno regular mide
('6 - ¡).*. Calcule su ¡rr'rirnctro.
A)8 B)10 c)20
D) r5 E) 12
.1. ABCD... y ,18PQ... son do.§ polígonos regulares,
tal quc B-P-D y rn<CBD:Z$a. Si PQ=6m,
halle Ia k;ngiturJ del circunradio del polígono
regular.4BPQ...
A)3 8)6 c)3v?
D)2\5 E) 3$
4, En un triángulo,48C, recto en 4 se traza la al-
tura Eri. sl ¡c= I 2 u y nr<C= ?,5o, calcule BH.
A) 2!,5 B) .6 c)'6:T
»zJr-fi E) 3\6:T
i¡" En una circun{ercncia de radio R* n6IE u
sr: i¡rscribe el triárgulo isCrsceles AáC, tal que
rn<AIJC= I?0"; luego sc rr¿z¡ interiomre¡rte el
cuadraclo BCPQ. Calcule AQ.
A) 0,33 B) 0,s0 c) 0,66
D) 0,7s E) 1,00
6, Dado un lriáñgrrlo A/JCI inscrito e¡r una circunfe.
rer¡cia de raclio B, <ionrle BC - R"5 y AC = R.,{
Calculc. AB.
» snrlz"+,r5 ts) f ft;Td
r¡.r¡tr/llv5 D) fi\r2 -E
E) 2R"/2;v§
8. El radio cle la circurnferencia cirt:u¡rscríta a.l<!e-
cágono regukrrABCDEFGHIJ ni<Je R u. C¡lcule
la longitud del segmenlo que ur¡e los prrnto§
uredios de las diagonales AZ ¡, D.
9. Ln uo tdárrguló áBC, rn<B=36o, lC-8. y se
lraza¡i las altura.s All v CQ. Calcule f,g.
A) J5 + I B) 2!5 c) 2(.6 * 1)
D2,6*l l:) 2(,6-i)
10. En una circunferencia se lraza la cue¡d¡ E.
§i míB= A4 y AB*GlG",r,, calcule la
longitud de la ci¡cunferencia.
A) 3.,'Ea B) 2'Ez C) 4v2r
D) 2"5n §,) 5.ázr
l l, Se tiene una semicin:unfcrencia de diámetro
AB y s. tra:¿a¡r las cuerd¿:¡ ÉD y FC paralelas
al diáme.tro, nrñ = 72" y mft = 144". Si el ra-
dio de la circunfcr*ncia tiene con¡o longitud
- 
-, -aJl'¡ cnr, calcule ED'+FC-.
^) 
24
D) 3l
B) 25 c)
E)
12. ABCDE es un pentágono regular, se trazan las
- diagonales ft y fA que se intcrse(.an en el
punto l, y la bise(:triz del ángulo BIC intersecta
a átlen el punto L Calcule nt<B'!'F'.
A) 60" B) 62" C) 70"
D) 72" n) E0"
C)f
s) f.6
a
a
T
7, (lalct¡lc la lon¡¡itud <le I l;rrkr clel ¡»lígono de 20
I
*ffi g-****-"t r\*"*m'* ;,P,',
30¡.uGloIUARlo
Resolución N"OlPiden: BM=x
mIEBD=mlBEC=36
A.EMB: Isósceles de 108
ee=$(6.r)
B
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entonces: i(G"r)=á(.9 n1)
x=a
Resolución N"Oz
Piden: Perímeto=2p
2p=515
Dato: d5 =16+1
Sabemos que en un pentágono regular el
lado es la sección aurea de su diagonal,
entonces: /5 =*(.6-1)
Reemplazando:
" (6*1)r,,s =--T-1"5- r)
15=2
Chve§
2p=5lg=$(l\
2P=Lo
daveE
D
Piden: R
R: circunradio del polígono regular ABP'
El ángulo exterior del polígono regular
ABCD.... se observa que mide 40, enton-
ces podemos obtener su número de lados:
49 =4* n =9
n
entonces su ángulo interior mide 140'
se observa que: mIABP =120 por lo tan-
to el polígono regular ABP.- es el hexágo-
no regular.
entonces: R:AB
.'. R=6
s!*E
Resolución N"O4
Piden: AQ=¡1 '
como: mÁB = 60
entonces: Á8,/e
AB=a=R
AABQ: elemental del dodecagono
Ao=AB(.,ffi)
*=*{fis
dato: a =JÑ
Reemplazando
x=1
Resolqción N"O6
150
Piden: AB:x
como: BC=RJ5
entonces: Ñ:lg y mÉe =120
como: AC =R..8
entonces: Ñ:ta y rnft=gO
dedonde: mffi=150
l-ev de cosenos:
x2 =R2 +R2 -2R.R.Cos150
.'. *=n1ffi
*,**,$*.,*H*;*
Piden: BH:x
\.Rnc: AM:MC=BM=6
mIMBC =mlC=7,5
de donde: m/BMA = 15
ABMD: fundamental del dodecágono
no = nr'r1/z -*r8¡
Z*=G$:G
.'. *=*tf,fs
-,."."...".....:
*=,,12+ Js"lz-Js
gseE.
Rssolución N"Os
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Piden: (.2¡
Sabemos que:
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Resolución N"O3
4---
Rcsolqción If"O7
-
I
/ñ- -6cuzEAL@ tnnñtrñhd¡tuind.t*nitc*w 72 . MATEBIAL DIDÁCTICO N"4*
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{.
a
.:.
*
.i.
*
reemplazando
2R:
Reemplazando obtenemos que:
-
.le -zJs
entonces para calcular 126 debemos co-
nocer el lacio del riecágono regular
r1o =á(6-1)
como dato tenemos el diámeho:
R (6.r)
X=
R .6x
2
Resotqción N"O9
Piden: PQ=¡¡
mIBAP = 54
entonces: mÉd = 108
APOQ: Isósceles de 108
* =E1.6*t)2\t
reemplazando:
4
X=-
2
(6.r)
.;lto;r$
2
Piden: MN=x
Por propiedad:
AD_GHX=-_
2
AAOD: Isósceles de 108
Ch/eE
E
AD =*(.6.1)
EG: /16 = HG = i(r-r)
R
-_R
h
x:z(6+r)
Chve§
Chvep
R (s-,)
Resoluclón N"lO * Por problema anterior:
A
.t
+
.!.
*
a
t
.:.
.:.
n
.:.
n
.:.
.3
*
t
.:.
.!.
+
*
t!.
€.
{.
.:.
*
*
.:.
.:.
.:.
*
*
.:.
+
**
*
*
*
r:orno: mBC = 36 + OT: ap16 Resolución N"l2
70+26
Rosolución N"ll
FC = 2apro =+ FC = ,.IJto;Ñ
FC= 1úo-2".62'
ED)2 = $oo-zJ-st
rcl2 =$6 a+zJl)
sumando:
M=(ED)2+(FC)2=592
Dato: p =.,fr
M =s("*6)2
... M=25
Piden. LV
Por base media: or =¿9
2
r----=
or-{5+{5
2
-
{s+Js R
2 :4
de donde: R=J2
L€,=znR
reemplazando, LV = 2"d2)
:- Lv =2nJ2
Piden: M=(ED)2+FC)2
ED: ts=+ ED =;do:rE
*=
I
@E
oa""pl
KE
Piden: mIBTF=x
Por ángulo interior:
m/BFC -72+72 -r,
2
de donde: mIBFT = m{TFC =36
por ángulo extemo:
x:36+36
,', x=72
I
.., x
Resolución I{"O8
TR,IGONOMETRIA
ciclo AmfaBWGVo
Prof. Jorge R.
¡I]]TI TRANSI 0Rr'/tAct0NESTRIOONOMETR¡CAS I
B)2
2. Simplifique la siguiente expresión
Calcule el valor de la expresión
--. serr40osen25ocos 5u-_-_
sen70"
6. Halle el equivalente de la expresión
"_ 
cos0-sen(2a-0)
" -seno+cos(2o-o)
or.'(;-.,) o *t(;-")o t."(1**)
or"",(;-u) E) .""(i-o)
qJ2
ar tE'2
*y)
c)4
E) 1/4
2x +L
3
sen x+ + + 7" Calcule el m;iximo valor de la expresión
a =r"n[
sen2x + sen2y
B) l/2A)2
D)l
3. Si c¿=7"30', calcule el valorde
M= 2(sens- sen3o) (cosSa+cos3q)
A) 2senil'12
o) 2cos1'24
J5 J5
A) -, B)'T
t;VJ
D)
ô
c)-+
D+
4. Simplihque la siguiente expresión
sen40-sen60-sen28
2cos 20sen0
5. Si sec20=2 +secO
calcule el valor de
sec 20
A =--sec3e
A) 2sen30
D) cos30
A) -.1
D) t/2
B) -2cos30 C) sec20
E) -cos30
c) -U2
E)2
A) 0,6km
D) 0,75 km
9. Si se cumple que
62
sen.r + senY = - ; CoSx + cosY = E
calcule sen(x+Y).
A) 4/s
D) v2
B)l
B) 3i5
t4= -r{
Jc'^ ¿o(
eosLo..cDi+o¿
I O. De las siguientes condiciones
sen50=z
sen30=y
sen0=x
elimine la variable angular 0.
A) x(z-x)=y(y+r)
B) x(z+x)=y(y+x)
C) x(z+x)=y(y-¡)
D) Y(z-x)=7(Y-¡)
E) Y(x+Y)=7{2¡¡'1
I I. Del grálico, calcule x si
cos60 +cos40 + cos28 = 0
§otuo§&m§&etfiI
2
3/2
5/2E)
x
e trt
7 = co55'-
f = co35--
,en ¿fO'Jen25'
Jeñ TO'
2Syzose*, r,:{'i-
-!-),tufr<)
E = cosf - (eo¡f- cot+f)
E = eo¡¿rS" ¿ .E= gz
ResoIeq¿cíi\
2 E ,ecrxrJ)
8. Al desplazarse un misil, su altura se expresa en
función del tiempo con la siguiente ecuación
f 7r\ lr-A).x(f)=sen[rf + tS.J."nt t8/
Determine la máxima altura que puede alcan-
za¡ dicho misil si la distancia está expresada en
km.
B) 0,5 km c) 1,25 km
E) 0,8 km
I 2. En un triángulo.ABC, calcule la medida del án-
guloA si
sen2Á =3senB senC+ (sen8 -senC)2
A) 60" B) 90" C) 105"
D) l20o E) 150.
13. (-'¿¡lcrrle el valor de la ex1¡resiórr
csc70o -r' csc 50o + csc I 0o
7-*l.rSfor-evnt¡ en pfrJrfia :
&(zx +4).es{'¿-ay JEc(x+y)
R.sn.(rty)
g:- ¡en2(tr+l\ . rccCxt'r\
. se\^ ( 7c'¡ 9) |
É cal (t . rec
99e{'É{-§
Aerotucí,,¡
l-l = 2 (feqa- re'A}ol\ CaS ¡a t crJSó¿)
-f-v-a-tsf-a raevnof e¡.» procJu dto :
ful - 2. 2 cr| 2a ¡q1 6ot\, 2toJ 4d ¡oJol\-rJ
-l*\d
Lfevtaqa
).'*(r,-i)
sl 2sen3'24 C) 2cosa'12
s) zcosll'12
A) 4J'
D)8
B)6 c)4
E) 6¿
c)
E=
A) t/2
D)2
I + 4cos40o
B)t
c) r/3
Df)
DeJo 7-e- co5Gg\= coJ(g\
e coS(3-x\:cDJf?<-:\
Besuelto
A)t
t;
D]Y., o
tevtzK.+Fñz-y
E= 2 l@
I
¡J_-* I re4q_o(.6!Vo(
H = - Zreqtúo{cJojtfo(
M = - Je ga<, .:lato : o(=4'3ol'134 M =-l«\60
Tte,ng{-of...c-vY\oj er\ gvoJ-'To ;
L: ?:g{4o+:6fs"'(t-4
b=-
zeos( t<d-éÍc's(ff-e)
[",
€ion
E feúr+A- 1rt^69-le6Le
zaos,zo te}¡.e
9-b-
¡entÉá - levlZe) - rer\6e
ze§Sze Sel4e
C 2ors3oRyl,e - ztar\gocolgo
2cos2esene
,c
L-
2f§¡sge
,eÍ\34 - t€:t\o
-(re,ne- ¡err5éT
E=-zc"sgo l@
l2esoLrc¿o6
D¿tb: Jecze =talecO
MoLftpbqverñot for coJ29 (\rf o
4 = sen (zx *$) + r^(zr- ff)
r* (2" *ft)
v'rfk = I
A^r* : Zcos 3n
QesoLo¡¿d"¡
(
co§0=2cDl2&eé.to+oDs2e
/t
eol8 = col3o + V\e +cosza/t
- col30 = Co\ZO
A=
f
v",&
x(t)=
x(t)=1,2
x(t\ = !
^2
I
vnáx
sec3e tec20
See2o ,
.+_ 
= -ltec 3O
x*i¡=*(*rÍ *r)
Xrrlfx =* = 0'?5uv'l
Qesoi.uc§i
QIE§.,
feln2<+Sqy =á
L
2es.>(*rc¡o6
Col€ - ,er.r zot- e)
Je.4e + cps (zx-a)
señfg -e\ - ser'(z'a'e\\2 I
5
r_
-!(A-a) + @r(2o(-e)
(eSX f coJJ =
cos/lI\|2*'
re,n (rrr.- #)""(or*¡t
!.. ran (zrt1 ffi) len(nt+ -[
ff _ *rF.r" #)
rnf,n =-t
rrnín
'ftarag 
{ov.r"^€-vr1o t en proJ. d-o
I 2ren[x+Y\ cr3/x-Y1= 6
I 
. Z t \ z) 5
[zcs1E:)*'(#)= *
A¿ ltv¿{¿r Jq obtie,re .
Gnl!fl\ = g\zl
+ x+9-- go'- 5+'
2_2
x+! = tto"-lf
+ fe,^(x+9) = feo3{'=
I eso[., c¿ín
ub: Sense=a (¿)
9n38 = 5 @)
.!on& = X (zu)
f¿) + 6r) :
senS.o+F4s- u +x
Jer\3O Co52O = ?+F
9
y.zcoiZe=Z+7
tr) + (:r):
s!n39 _ 9
Jerte X
2coSZer{= I
x
zcpsz&= é-1
x
Qesol.r¿dn
ee§ L& . ceISe
2-
x
+ X coSgcpszoGpJ3O =2
f .2c4§Z§céf A. C¿r36} = t[
¡ ( cos3o+ eoge) co¡3e = q
x ( 2coi¿3g + zcor3e co¡s) = z. {
x( 1+ co!6ütcojto+rpj2.o\ =8
O<- cl¿to
.3
5 (D
5 (,J- x) = x(z+x) @
+ x=slo
se*e = Lre,tf.¡e"¡C +(Je,rB -fw,c)¿
su,la= 3rcnBte.a( t
*h *r.f,a -Ltenbte¡t(
S*2A- f.rr26 te,oBfe,¡r( * lorrtC
s<ra (e+a\. ,a^(A-g)
P.rd¿.C¡: A+&+c-{8d
+ t€n(A+g) =fen(
+ s4. Je'a(a-B) =gensyr(+
sen(a-g\ = sens +.s"ig
sen(e+s\
O > sen 6 + rerr(a+e) - Jer'(A-B)
2ce5A scvtb
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_y (*_ ) = ?+¡
@ E = ral" (f -") @
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GIG1O REPASO
cÉsaR YAtlEJoo
I +2cs§A =O , coSA= t2
A=12d l@ ¡re( f,3bÁ' Hultlc. G.
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TrigonometríaC csc?O' t c rc 5o'f cr( 1dg ¡tlaSt4O" r,t.-,r.',i, r',.¡r,,irirrdr.r,¡!rri;r.!,1tir¡ r;,*
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q deno"á¿n¡&r Pof' 2s*ttdk^af¡arr+d :
E 2 fon to"Jer¡Slo' + L seqlo" ¡eqqd
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C + - cplyo'
J.
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. .f rrrt dJerlSo' na¡d (t + +cr¡ tO-)
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áE= cpjqo'- CpJd ¡ coSzO' - apt l2O'
F-
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