CALCULO INTEGRAL hoja de trabajo 3

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MECÁNICA NEWTONIANA 
2019 B 
HOJA DE TRABAJO 3 
CÁLCULO INTEGRAL 
 
Calcule las siguientes integrales indefinidas y compruebe el resultado por derivación: 
 
1. ∫ √𝑥2
3
 𝑑𝑥. R: 
3
5
𝑥
5
3 + 𝐶 
 
2. ∫ (2sin𝑥 + 𝑒𝑥) 𝑑𝑥. R: −2 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝐶 
 
3. ∫ (5𝑥√𝑥 − 3cos𝑥) 𝑑𝑥. R: 2𝑥
5
2 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶 
 
4. ∫
4𝑥
√16−𝑥2
 𝑑𝑥. R: −4(16 − 𝑥2)
1
2 + 𝐶 
 
5. ∫ √𝑥5
3
𝑥−4/3(𝑥3 − 1) 𝑑𝑥. 
 
Use el cambio de variable 𝒖 = 𝒈(𝒙) para calcular: 
 
6. ∫ cos3𝑥 sin𝑥 𝑑𝑥, 𝑢 = cos𝑥. R: −
cos4 𝑥
4
+ 𝐶 
 
7. ∫ 𝑥2 𝑒𝑥
3
 𝑑𝑥, 𝑢 = 𝑥3. R:
1
3
𝑒𝑥
3
+ 𝐶 
 
8. ∫
𝑥
√𝑥2+3
 𝑑𝑥, 𝑢 = 𝑥2 + 3. R: (𝑥2 + 3)
1
2 + 𝐶 
 
9. ∫ sec4𝑥 tan3𝑥 𝑑𝑥, 𝑢 = tan𝑥 R: 
𝑡𝑎𝑛4 𝑥
4
+
tan6 𝑥
6
+ 𝐶 
 
10. ∫
𝑥3
√25−𝑥4
 𝑑𝑥, 𝑢 = 25 − 𝑥4. 
 
 
Calcule mediante integración por partes: 
 
11. ∫ ln(𝑎𝑥) 𝑑𝑥. R: 𝑥 𝑙𝑛 𝑎𝑥 − 𝑥 + 𝐶 
 
12. ∫ 𝑥 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥. R: 
𝑥
𝑎
𝑒𝑎𝑥 −
1
𝑎2
𝑒𝑎𝑥 + 𝐶 
 
13. ∫ 𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥. R: 
1
4
𝑥2 +
1
4
𝑥 sen 2𝑥 +
1
8
cos 2𝑥 + 𝐶 
 
14. ∫ 𝑥√𝑥 + 1 𝑑𝑥. R: 
2
3
𝑥(𝑥 + 1)
3
2 −
4
15
(𝑥 + 1)
5
2 + 𝐶 
 
 
Calcule las siguientes integrales definidas: 
 
15. ∫
2
1
5−𝑥
𝑥3
 𝑑𝑥. R: 1.375 
 
16. ∫
1
0
(2𝑡 + 1)4 𝑑𝑡. R: 24.2 
 
17. ∫
𝑎
0
(√𝑎 − √𝑥)2 𝑑𝑥, donde 𝑎 es constante. R: 
1
6
𝑎2 
 
18. ∫
𝑣
𝑣0
𝑑𝑣
𝑔−
𝑘
𝑚
𝑣
 , donde 𝑔, 𝑘, 𝑚 son constantes positivas. R: 
𝑚
𝑘
𝑙𝑛 |
𝑔−
𝑘
𝑚
𝑣0
𝑔−
𝑘
𝑚
𝑣
| 
19. ∫
𝑣
0
𝑑𝑣
𝑔−
𝑘
𝑚
𝑣2
 , donde 𝑔, 𝑘, 𝑚 son constantes positivas. R:
1
2
√
𝑚
𝑔𝑘
ln |
√
𝑘
𝑚
𝑣+√𝑔
√
𝑘
𝑚
𝑣−√𝑔
| 
 
Ejercicios adicionales: 
 
20. Calcule ∫
𝜋
0
𝑒𝑥cos𝑒𝑥 𝑑𝑥. R: −1.75 
 
21. Calcule ∫
𝜋
0
sin2𝑥cos2𝑥 𝑑𝑥. R: 0 
 
22. Determine la integral ∫
5
1+𝑒𝑥
 𝑑𝑥, sabiendo que si 𝑥 = 1, el valor de la integral es 8. 
R: 5𝑙𝑛 (1 −
1
1+𝑒𝑥
) + 9.566 
 
23. Realice un esquema de la región acotada superiormente por la curva 𝑦 = √𝑥 e inferiormente 
por la curva 𝑦 =
𝑥
4
, y determine su área. R: 
32
3
 u2 
 
24. Una curva que pasa por el punto (4,
1
3
) unidades, posee una pendiente variable de 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
2√𝑥(1+√𝑥)2
 
a) Halle la ecuación de la curva. R: 
1
1+√𝑥
 
b) Represente gráficamente la curva. 
c) Calcule el área bajo la curva en el intervalo [0,1] unidades. R:0.614 u2 
 
25. Calcule la longitud de la curva 𝑦 = 𝑥2, para 0 ≤ 𝑥 ≤ 20. Utilice una integral de tabla. 
 R:401.22 u