elemento_de_analisis - Bernardo Ramírez

Vista previa del material en texto

Elementos de análisis 
 
El estudio universitario del electromagnetismo en Física II requiere del uso de 
elementos de análisis en varias variables que el alumno adquirirá en la asignatura 
Análisis Matemático II que se dicta simultáneamente. Para paliar los inevitables 
desfasajes en el dictado de ambas asignaturas se aporta esta guía acerca del análisis 
vectorial y de funciones en más de una variable. 
 
Derivadas parciales 
Supongamos tener una función escalar, función de punto, o sea de las tres coordenadas 
(x, y, z, como es usual) que definen una posición en el espacio, referida a un sistema de 
coordenadas dado. 
 ( ), ,f f x y z= (1.1) 
y consideremos el valor particular de esa función en el punto ( )0 0 0, ,x y z , indicado como 
 
 ( )0 0 0 0, ,f f x y z= (1.2) 
En un punto próximo al ( )0 0 0, ,x y z la función tendrá un valor diferente. Si sólo varía 
una de las coordenadas, x, por ejemplo, manteniéndose constantes las otras dos nuestra 
función se comportará como si dependiese sólo de la variable x. 
 
 ( ) ( )0 0 0, ,f x f x y z= (1.3) 
Si derivamos esta función respecto de su variable independiente tendremos 
 
( ) ( )0 0, ,
df x
f x y z
dx x
∂
=
∂
 (1.4) 
donde al segundo miembro lo llamaremos derivada parcial de ( ), ,f f x y z= respecto 
de x, calculada en y=y0 y z=z0. 
Si repetimos el cálculo para todos los posibles valores de las variables y, z, tendremos la 
derivada parcial de ( ), ,f f x y z= respecto de x para todo su dominio de definición. 
Derivar parcialmente una función, respecto de una de sus variables independientes es 
entonces operativamente derivar la función como si dependiese sólo de esa variable, 
considerando a las otras como constantes. 
Ejemplo: 
Sea 
 ( ) 2 5 2, , 3f x y z x y z−= + (1.5) 
tendremos las derivadas parciales 
 
( )
( )
( )
4 2
5 3
, ,
2
, ,
15
, ,
6
f x y z
x
x
f x y z
y z
y
f x y z
y z
z
−
−
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= −
∂
 (1.6) 
Una función puede no ser de punto (no depender de las coordenadas, o no depender 
exclusivamente de las coordenadas y el número de variables independientes puede ser 
cualquiera). 
Ejercicio: 
Calcular las derivadas parciales de 
 43 4x kyz u+ − (1.7) 
respecto de x, k, y, z y u. 
 
Derivada direccional. Gradiente 
 
A veces, en cambio, se desea conocer la variación de una función de punto en una 
dirección cualquiera, definida por el versor 0 cos . cos . cos .ds i j kα β γ= + +
rr r
, cuyas 
componentes son los productos de los cosenos directores por los versores en la 
dirección de cada eje coordenado. Es lo que se llama derivada direccional. 
Tendremos 
 
df f dx f dy f dz
ds x ds y ds z ds
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
 (1.8) 
utilizando la linealidad de la derivada y el concepto de función de función. Pero resulta 
que 
 
cos
cos
cos
dx
ds
dy
ds
dz
ds
α
β
γ
=
=
=
 (1.9) 
por lo que (1.8) es equivalente al producto escalar de dos vectores 
 ( )cos ;cos ;cos ; ;df f f f
ds x y z
α β γ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
 (1.10) 
donde el primer término del segundo miembro es el versor de la dirección y el segundo 
recibe el nombre de gradiente de la función f(x, y, z). 
 
IMPORTANTE: esta expresión para el gradiente es sólo válida en coordenadas 
cartesianas. En cambio es universalmente válido que el producto escalar del gradiente 
por el versor de una dirección da la correspondiente derivada direccional. 
 
El gradiente, que suele indicarse como gradF f= ∇
r
 da entonces el camino para el 
cálculo de la derivada direccional que valdrá 
 0 cos cos
df f ds f
ds
φ φ= ∇ = ∇
r rr (1.11) 
donde cosφ es el coseno del ángulo formado entre el gradiente y el versor de la 
dirección en la que se desea derivar. Como 
 1 cos 1φ− ≤ ≤ 
el gradiente nos da el módulo y dirección de la máxima derivada direccional en cada 
punto, en tanto que en la dirección perpendicular al gradiente ;cos 0
2
πφ φ⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
la 
derivada direccional es nula, y la función no varía. El gradiente entonces, nos define en 
cada punto el plano tangente a la superficie de nivel pasante por él 
, que es aquella sobre la cuál f cte= . 
 
 
El gradiente como operador 
 
El gradiente entonces es un operador con dominio en las funciones de Rn y 
contradominio entre los vectores de n-dimensiones. Nosotros trabajaremos en este curso 
sólo en R3. Simbólicamente: 
 i j k
x y z
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
rr r r
 (1.12) 
que al ser aplicado a una función f(x, y, z) da 
 f f ff i j k
x y z
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
rr r r
 (1.13) 
Este punto es importante pues como veremos, el gradiente puede operar también de 
otras maneras sobre funciones escalares y sobre vectores. 
 
INTEGRACION 
Integral de línea 
Supongamos una curva descripta por 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ;r t x t i y t j z t k a t b= + + ≤ ≤
rr rr (1.14) 
donde rr es el vector posición y t un parámetro cualquiera. 
Un desplazamiento diferencial a lo largo de esta curva está dado por 
 ( ) ( ) ( ) ( )dr t dx t i dy t j dz t k= + +
rr rr (1.15) 
Las integrales que incluyen un desplazamiento diferencial se llaman integrales de 
línea. La curva C descripta por (1.14) puede ser abierta o cerrada. 
Por ejemplo 
 
C
drΦ∫
r (1.16) 
 
C
f dr∫
r r (1.17) 
 
C
f dr×∫
r r (1.18) 
 
 
donde la primera es la integral (1.16)de una función escalar a lo largo de la curva C y 
valdrá 
 ( ( ) ( ) ( ) )
C C C C C
dr dx t i dy t j dz t k i dx j dy k dzΦ = Φ + + = Φ + Φ + Φ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
r rr r r rr (1.19) 
donde hemos usado la propiedad de linealidad de la integral y que en coordenadas 
cartesianas los versores fundamentales son constantes; ya veremos la diferencia con el 
cálculo en coordenadas curvilíneas. Nótese que el resultado de esta integral es un 
vector (no es .más que una suma de productos de un escalar por un vector). 
La (1.17) es integral del producto escalar de un vector por un desplazamiento (vectorial) 
diferencial, por lo que el resultado será un escalar. 
 ( )x y z
C C
f dr f dx f dy f dz× = + +∫ ∫
r r (1.20) 
En física, si la curva C es cerrada, se llama a la integral de (1.17) ó (1.20) circulación 
del campo vectorial f
r
 alrededor de la curva C. Préstese atención que si se invierte el 
sentido en que se recorre la curva el signo de la integral cambia, lo que obliga a adoptar 
una convención de signos apropiada en cada caso. 
La integral (1.18) es la integral de un producto vectorial y dará entonces como resultado 
un vector. El cálculo es más complejo y sólo lo haremos en Física II para casos 
particulares. 
 
Integral de superficie 
 Una superficie puede describirse mediante 
 (1.21) 
 dS n dS=
r r (1.22) 
 
 
 n 
 dS 
d 
 
 
 
 
Donde dS es el área del elemento de superficie y nr su versor normal. 
Una integral de superficie quedará indicada como 
 
S S
dS n dSφ φ=∫∫ ∫
r r (1.23) 
Cuando se integra una función escalar sobre una superficie y valdrá 
 ( )cos cos cos
S
i j k dSφ α β γ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦∫
rr r
 (1.24) 
donde los términos dentro del paréntesis son las componentes del versor normal a la 
superficie en cada punto dentro del dominio de integración. 
Si se trata de la integral de un vector, en cambio, quedará 
 
S S
A dS A n dS=∫∫ ∫
r r r r (1.25) 
lo que suele llamarse flujo de A
r
 a través de la superficie S y se integrará entonces la 
componente de A
r
 normal a la superficie. 
 
Ejercicio 1: El círculo [x2+y2=16m2] tiene una densidad superficial de carga igual a 
σ=2.10-6C/m3.r, siendo r la distancia al centro del círculo. Calcular la carga total 
del mismo. 
 
Ejercicio 2: Analice el caso en que en el ejercicio anterior σ sea una función 
cualquiera (incluso constante). 
 
Integral de volumen 
 
Al igual que en la integral de línea y de superficie, tanto pueden integrarse sobre un 
volúmen una función escalar como una función vectorial 
 
 V V
V V
dV dV
A dV A dV
Φ = Φ
=
∫∫∫ ∫
∫∫∫ ∫
r r (1.26) 
con lo que siendo el volumen una magnitud escalar, tendremos como resultados un 
escalar y un vector repectivamente. Si en el primer caso es 1Φ = tendremoscomo 
resultado el volumen del dominio de integración. 
 
Ejercicio 3: La esfera [x2+y2+z2=16m2] tiene una densidad volumétrica de carga 
igual a ρ =2.10-6C/m4.r, siendo r la distancia al centro de la esfera. Calcular la 
carga total de la misma. 
 
Ejercicio 4: Analice el caso en que en el ejercicio anterior ρ sea una función 
cualquiera (incluso constante).