trans_fourier_laplace_2014-2015

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Ampliación de Matemáticas.
Transformadas de Fourier y de Laplace
Mr. X
Departamento de Matemática Aplicada a la Ingenieŕıa Aeroespacial
ETS Ingenieŕıa Aeronáutica y del Espacio.
Universidad Politécnica de Madrid
Noviembre - 2014
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
La transformada de Fourier permite, en términos imprecisos,
expresar una función como una superposición de un continuo de
funciones trigonométricas de la forma exp(iωx)
Esta técnica resulta muy útil en el estudio de las ecuaciones
diferenciales. De hecho, la desarrolló, para funciones periódicas,
J.B. Fourier en su Théorie analytique de la chaleur (1822).
Juega un papel destacado en el estudio de fenómenos oscilatorios.
Se ha convertido en una herramienta ubicua tanto en el ámbito
cient́ıfico como tencnológico, especialmente en las TIC.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Definición.
Sea f : R→ C una función tal que
∫ +∞
−∞ |f (z)|dz es convergente.
Se denomina transformada de Fourier de la función f a la función
f̂ : R→ C definida por
f̂ (ω) =
∫ +∞
−∞
f (z) exp(−iωz)dz ≡ F(f (z))
Propiedades.
Sean f : R→ C y g : R→ C dos funciones tales que∫ +∞
−∞ |f (z)|dz y
∫ +∞
−∞ |g(z)|dz son convergentes. Entonces
para cualquier α, β ∈ C se verifica
F(αf (z) + βg(z)) = αf̂ (ω) + βĝ(ω).
Sea f : R→ C una función derivable a trozos tal que∫ +∞
−∞ |f
′(z)|dz es convergente. Entonces
F(f ′(z)) = iωf̂ (ω).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Sea f : R→ C una función tal que
∫ +∞
−∞ |zf (z)|dz es
convergente. Entonces
F(zf (z)) = idf̂ (ω)
dω
,
donde f̂ es la transformada de Fourier de f .
Sea f : R→ C una función tal que
∫ +∞
−∞ |f (z)|dz es
convergente. Entonces
F(f (−z)) = f̂ (−ω),
donde f̂ es la transformada de Fourier de f .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Sean f : R→ C una función tal que
∫ +∞
−∞ |f (z)|dz es
convergente y a un número real dado. Entonces
F(f (z − a)) = exp(−iaω)f̂ (ω).
Sean f : R→ C una función tal que
∫ +∞
−∞ |f (z)|dz es
convergente y a un número real dado. Entonces
F(f (z) exp(−iaz)) = f̂ (ω − a).
Sea f : R→ C tal que
∫ +∞
−∞ |f (z)|dz es convergente. Entonces
ĺım
ω→±∞
∫ +∞
−∞
f (z) exp(−iωz)dz = ĺım
ω→±∞
f̂ (ω) = 0.
Esta condición es necesaria para que una función para que
admita transformada inversa de Fourier. Esta condición es de
capital importancia en la resolución de ecuaciones
diferenciales mediante transformadas de Fourier. y se conoce
con el nombre de lema de Riemann-Lebesgue.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Sea f : R→ C tal que
∫ +∞
−∞ |f (z)|dz es convergente. Entonces
|f̂ (ω)| ≤
∫ +∞
−∞
|f (x)|dx
para todo ω ∈ R. Es decir, la transformada de Fourier de una
función que
∫ +∞
−∞ |f (z)|dz es convergente es una función
acotada.
Sea f : R→ C tal que
∫ +∞
−∞ |f (z)|dz es convergente, δ > 0 un
número real dado y fδ : R→ R la función definida por
fδ(x) =
f (
x
δ
)
δ
. Entonces
f̂δ(ω) = f̂ (δω).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 1.
Sean a > 0 un número real dado, f : R→ R la función definida
por f (x) = 0 si |x | ≥ a y f (x) = 1 si |x | < a. Hallar la
transformada de Fourier de f .∫ +∞
−∞
f (x) exp(−iωx)dx .
La integral anterior es inmediata
f̂ (ω) ≡
∫ +∞
−∞
f (x) exp(−iωx)dx =
∫ a
−a
1 exp(−iωx)dx
exp(−iaω)− exp(iaω)
−ωi
= 2
sin(aω)
ω
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 2.
Sean a un número real positivo dado y f : R→ R la función
definida por f (x) =
1
x2 + a2
. Hallar la transformada de Fourier de
f . ∫ +∞
−∞
f (x) exp(−iωx)dx .
.
Para ω < 0, en virtud del teorema de los residuos se obtiene∫ +∞
−∞
1
x2 + a2
exp(−iωx)dx = 2πiRes( 1
x2 + a2
, ai) = 2πi
exp(−iωia)
2ai
.
Para ω > 0, en virtud del teorema de los residuos se obtiene∫ +∞
−∞
1
x2 + a2
exp(−iωx)dx = −2πiRes( 1
x2 + a2
,−ai) =
−2πiRes( 1
x2 + a2
,−ai) = 2πi exp(iωia)
2ai
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Por tanto, ∫ +∞
−∞
1
x2 + a2
exp(−iωx)dx = π
a
exp(−a|ω|)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 3.
Sea f : R→ R la función definida por f (x) = 1
x
si x 6= 0 y
f (0) = 0. Hallar la transformada de Fourier de f ,
f̂ (ω) =
∫ +∞
−∞
f (x) exp(−iωx)dx .
Para ω > 0, sea L > 0 un número real dado, considérense los
arcos γ1 : [L,−−1L ]→ C, γ2 : [−
−1
L ,
1
L ]→ C, γ3 : [
1
L , L]→ C y
γ4 : [L, 2L]→ C definidos por
γ1(t) = t, γ2(t) =
1
L
exp(i(−π + πL
2
(t +
1
L
)))
γ3(t) = t, γ4(t) = L exp(
π
L
(L− t))
Sea γ : [−L, 2L] el arco que resulta de concatenar γ1, . . . , γ4
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
La función f (x) =
exp(−iωx)
x
es anaĺıtica en la región acotada
limitada por γ. En virtud del Teorema de Cauchy
∫
γ
exp(−iωz)
z
dz = 0 =
∫
γ1
exp(−iωz)
z
dz+∫
γ2
exp(−iωz)
z
dz +
∫
γ3
exp(−iωz)
z
dz +
∫
γ4
exp(−iωz)
z
dz (1)
Como consecuencia del lema de Jordan
ĺım
L→+∞
∫
γ4
exp(−iωz)
z
dz = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Además,∫
γ2
exp(−iωz)
z
dz =
∫
γ2
1
z
dz +
∫
γ2
exp(−iωz)− 1
z
dz =∫ 1
L
− 1
L
πLi
2
exp(i(−π + πL2 (t +
1
L)))
exp(i(−π + πL2 (t +
1
L)))
dt +
∫
γ2
exp(−iωz)− 1
z
dz =
πi + O(
1
L
).
y
ĺım
L→+∞
(
∫
γ1
exp(−iωz)
z
dz +
∫
γ3
exp(−iωz)
z
dz) =
ĺım
L→+∞
(
∫ − 1
L
−L
exp(−iωt)
t
dt +
∫ L
1
L
exp(−iωt)
t
dt) =
∫ ∞
−∞
exp(−iωt)
t
dt.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Tomando el ĺımite cuando L→ +∞ en (1) y teniendo en cuenta
las estimaciones anteriores se obtiene∫ ∞
−∞
exp(−iωt)
t
dt = −πi, para todo ω > 0.
Para el caso ω < 0 sea L > 0 un número real dado, considérense
los arcos γ1 : [L,−−1L ]→ C, γ2 : [−
−1
L ,
1
L ]→ C, γ3 : [
1
L , L]→ C y
γ4 : [L, 2L]→ C definidos por
γ1(t) = t, γ2(t) =
1
L
exp(i(π − πL
2
(t +
1
L
)))
γ3(t) = t, γ4(t) = L exp(
π
L
(t − L))
Sea γ : [−L, 2L] el arco que resulta de concatenar γ1, . . . , γ4
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Integrando en el contorno γ que se acaba de definir y procediendo
de un modo completamente análogo al del caso ω > 0 se obtiene∫ ∞
−∞
exp(−iωt)
t
dt = πi, para todo ω < 0.
Por tanto, ∫ ∞
−∞
exp(−iωt)
t
dt = −iπsign(ω).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 4.
Sean 0 < α < 1 y a > 0 dos números reales dados, H : R→ R la
función definida por H(x) = 0 si x ≤ 0 y H(x) = 1 si x > 0 y
f : R→ R la función definida por f (0) = 0 y
f (x) = H(x)
exp(−ax)
Γ(α)x1−α
. Hallar la transformada de Fourier de f .
Puesto que f (x) = 0 para todo x ≤ 0∫ +∞
−∞
f (x) exp(−iωx)dx =
∫ +∞
0
xα−1
Γ(α)
exp(−(a + iω)x)dx .
Haciendo el cambio de variable z = (a + iω)x en la integral
anterior se obtiene
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
∫ +∞
0
xα−1
Γ(α)
exp(−(a + iω)x)dx = 1
(a + iω)α
∫
γt
zα−1 exp(−z)
Γ(α)
dz ,
donde γt : [0,+∞[→ C es el arco definido por γt(t) = (a + iω)t.
Para cada ω > 0 sea β = Arg(a + iω). Al sera > 0, |β| < π
2
, por
tanto cos(β) > 0.
Sea L > 0 un número real dado, considérense los arcos
γ1 : [
1
L , L]→ C, γ2 : [L, L + 1]→ C, γ3 : [L + 1, 2L−
1
L + 1]→ C y
γ4 : [2L− 1L + 1, (2L−
1
L) + 2]→ C definidos por
γ1(t) = t, γ2(t) = L exp(i(β(t − L)))
γ3(t) = exp(i)β)(2L + 1− t), γ4(t) =
1
L
exp((iβ(2L + 2− 1
L
− t))
Sea γ : [ 1L , 2L−
1
L + 2] el contorno que resulta de concatenar
γ1, . . . , γ4.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Puesto que la función zα−1 exp(−z) es anaĺıtica en el semiplano
complejo formado por los números complejos cuya parte real es
mayor o igual que cero, del Teorema de Cauchy se concluye que
para todo L > 0∫
γ
zα−1 exp(−z)
Γ(α)
dz = 0 =
∫
γ1
zα−1 exp(−z)
Γ(α)
dz∫
γ2
zα−1 exp(−z)
Γ(α)
dz +
∫
γ3
zα−1 exp(−z)
Γ(α)
dz
∫
γ4
zα−1 exp(−z)
Γ(α)
dz
Las integrales anteriores verifican
ĺım
L→+∞
∫
γ1
zα−1 exp(−z)
Γ(α)
dz = ĺım
L→+∞
∫ L
1
L
xα−1 exp(−x)
Γ(α)
dx =
Γ(α)
Γ(α)
= 1
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
ĺım
L→+∞
∫
γ2
zα−1 exp(−z)
Γ(α)
dz =
ĺım
L→+∞
O(
exp(−L cos(β))
(L cos(β))1−αΓ(α)
) = 0
Nótese que 0 < |β| < π
2
, y por tanto, cos(β) > 0.
ĺım
L→+∞
∫
γ3
zα−1 exp(−z)
Γ(α)
dz = − ĺım
L→+∞
∫
γt
zα−1 exp(−z)
Γ(α)
dz .
Finalmente
ĺım
L→+∞
∫
γ4
zα−1 exp(−z)
Γ(α)
dz = ĺım
L→+∞
O(
1
(L)αΓ(α)
) = 0
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
De las estimaciones anteriores se obtiene
ĺım
L→+∞
∫
γt
zα−1 exp(−z)
Γ(α)
dz = 1
Por tanto, ∫ +∞
−∞
f (x) exp(−iωx)dx =∫ +∞
0
xα−1
Γ(α)
exp(−(a + iω)x)dx = 1
(a + iω)α
.
Nótese que la función f es tal que
∫ +∞
−∞ |f (x)|dx es convergente,
por tanto, f̂ (ω) está uniformemente acotada para todo 0 < α < 1.
Sin embargo, para 0 < α <
1
2
la integral
∫ +∞
−∞ |f̂ (ω)|
2dω no es
convergente.
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Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 5.
Hallar el valor de la integral∫ +∞
−∞
sin(x)
x
exp(−iωx)dx .
donde ω es un número real dado. La integral anterior es la
transformada de Fourier.
La integral del enunciado puede escribirse como∫ +∞
−∞
sin(x)
x
exp(−iωx)dx =
∫ +∞
−∞
exp(ix)− exp(−ix)
2x i
exp(−iωx)dx .
En esta integral se distinguirán tres casos ω = ±1 y ω 6= ±1. En el
caso ω 6= ±1 resulta conveniente analizar la integral∫ +∞
−∞
1
2x i
exp(iβx)dx ,
donde β es un númro real dado. Es necesario distinguir los casos
β > 0 y β < 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
En primer lugar se considera el caso β > 0. Sean L un número real
dado, γ1 : [−L, −1L ]→ C, γ2 : [
−1
L ,
1
L ]→ C, γ3 : [
1
L , L]→ C,
γ4 : [L, 2L]→ C, γ5 : [2L, 4L]→ C, y γ6 : [4L, 5L]→ C, los arcos
definidos por
γ1(t) = t, γ2(t) =
1
L
exp((π − πL
2
(t +
1
L
))i)
γ3(t) = t, γ4(t) = L + i(t − L)
γ5(t) = 3L− t + iL γ6(t) = −L + i(5L− t)
Sea γ : [−L, 5L]→ C el contorno cerrado que se obtiene al
concatenar γ1, . . . , γ6.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
El integrando es una función anaĺıtica en el la región acotada
determinada por γ([−L, 5L]). En virtud del Teorema de Cauchy∫
γ
exp(iβz)
2iz
dz = 0.
Teniendo en cuenta la aditividad de la integral con respecto a los
arcos concatenados∫ − 1
L
−L
exp(iβx)
2ix
dx +
∫ L
1
L
exp(iβx)
2ix
dx = −(
∫
γ2
exp(iβz)
2iz
dz+
+
∫
γ4
exp(iβz)
2iz
dz +
∫
γ5
exp(iβz)
2iz
dz +
∫
γ6
exp(iβz)
2iz
dz) (2)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Procediendo como en el Ejercicio 3 se obtiene∫ − 1
L
−L
exp(iβx)
2ix
dx +
∫ L
1
L
exp(iβx)
2ix
dx =
π
2
+ O(
1
L
).
Si β < 0, se consideran los arcos γ1 : [−L, −1L ]→ C,
γ2 : [
−1
L ,
1
L ]→ C, γ3 : [
1
L , L]→ C, γ4 : [L, 2L]→ C,
γ5 : [2L, 4L]→ C, γ6 : [4L, 5L]→ C, definidos por
γ1(t) = t, γ2(t) =
1
L
exp((−π + πL
2
(t +
1
L
))i),
γ3(t) = t, γ4(t) = L + i(L− t),
γ5(t) = 3L− t − iL γ6(t) = −L + i(t − 5L),
donde L > 0 es un número real dado.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Sea γ : [−L, 5L]→ C el contorno cerrado que se obtiene al
concatenar γ1, . . . , γ6. Nótese que los puntos de γ que no
pertenece al eje real tienen parte imaginaria negativa.
En este caso también se verifica la igualdad (2), sin embargo, los
arcos γ2, γ4,γ5, y γ6 son distintos a los considerados en el caso
β > 0. Procediendo como en el Ejercicio 3 y teniendo en cuenta
que
∫
γ2
exp(iβz)
2iz
dz =
∫
γ2
1
2iz
dz
∫
γ2
exp(iβz)− 1
2iz
dz =
π
2
+ O(
1
L
),
se obtiene, si β < 0, ∫ +∞
−∞
exp(iβx)
2ix
dx = −π
2
,
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
de la igualdad∫ +∞
−∞
sin(x)
x
exp(−iωx)dx =
∫ +∞
−∞
exp(i(−ω + 1)x)
2x i
dx−∫ +∞
−∞
exp(−i(ω + 1)x)
2x i
dx
y en virtud de los resultados anteriores se concluye que si |ω| > 1∫ +∞
−∞
sin(x)
x
exp(−iωx)dx = 0.
Si ω ∈]− 1, 1[, entonces∫ +∞
−∞
sin(x)
x
exp(−iωx)dx = π.
Finalmente, si ω = ±1 se verifica∫ +∞
−∞
sin(x)
x
exp(−iωx)dx = π
2
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 6.
Sean a > 0 un número real dado y f : R→ R la función definida
por f (x) = exp(−ax
2
2
). Hallar la transformada de Fourier de f .∫ +∞
−∞
f (x) exp(−iωx)dx .
Sustituyendo la definición de f
f̂ (ω) =
∫ +∞
−∞
exp(−ax
2
2
) exp(−iωx)dx =∫ +∞
−∞
exp(−1
2
(
√
ax +
iω√
a
)2) exp(−ω
2
2a
)dx =
exp(−ω
2
2a
)
∫ +∞
−∞
exp(−1
2
(
√
ax +
iω√
a
)2)dx .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Sean L un número real dado, γ1 : [−L, L]→ C, γ2 : [L, L + 1]→ C,
γ3 : [L + 1, 3L + 1]→ C, γ4 : [3L + 1, 3L + 2]→ C, los arcos
definidos por
γ1(t) = t, γ2(t) = L−
iω
a
(t − L)
γ3(t) = (2L + 1− t)−
iω
a
, γ4(t) = −L−
iω
a
(3L + 2− t)
Sea γ : [−L, 3L + 2]→ C el contorno cerrado que se obtiene al
concatenar γ1, . . . , γ4.
En virtud del Teorema de Cauchy∫
γ
exp(−1
2
(
√
az +
iω√
a
)2)dz = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
De la igualdad anterior se obtiene∫ +L
−L
exp(−1
2
(
√
at +
iω√
a
)2)dt−∫ L+1
L
exp(−1
2
(
√
a(L− iω
a
(t − L)) + iω√
a
)2)(− iω
a
)dt−∫ 3L+1
L+1
exp(−1
2
(
√
a(2L + 1− t − iω
a
) +
iω√
a
)2)dt+∫ 3L+2
3L+1
exp(−1
2
(
√
a(−L + iω
a
(t − 3L− 2)) + iω√
a
)2)(
iω
a
)dt = 0.
(3)
El segundo sumando del primer miembro de la igualdad (3) verifica
la estimación
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
|
∫ L+1
L
exp(−1
2
(
√
a(L− iω
a
(t − L)) + iω√
a
)2)(− iω
a
)dt| =
|
∫ 1
0
exp(−1
2
(
√
a(L− iω
a
s) +
iω√
a
)2)(− iω
a
)ds| ≤
| iω
a
|
∫ 1
0
| exp(−1
2
(
√
a(L− iω
a
s) +
iω√
a
)2)|ds =
| iω
a
|
∫ 1
0
| exp(−1
2
(aL− ω
2
a
(1− s)2))|ds = O(exp(−a
2
L2).
Análogamente se obtiene∫ 3L+2
3L+1
exp(−1
2
(
√
a(−L+iω
a
(t−3L−2))+ iω√
a
)2)(
iω
a
)dt = O(exp(−a
2
L2).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
El tercer sumando de (3) es tal que
−
∫ 3L+1
L+1
exp(−1
2
(
√
a(2L + 1− t − iω
a
) +
iω√
a
)2)dt =
−
∫ L
−L
exp(−1
2
(−
√
as)2)dt.
La integral anterior es independiente de ω y
ĺım
L→+∞
−
∫ L
−L
exp(−1
2
as2)ds = −
√
2π
a
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
ĺım
L→+∞
∫+L
−L
exp(−1
2
(
√
at +
iω√
a
)2)dt =
√
2π
a
Por tanto,
f̂ (ω) =
∫ +∞
−∞
exp(−ax
2
2
) exp(−iωx)dx =
exp(−ω
2
2a
)
∫ +∞
−∞
exp(−1
2
(
√
ax +
iω√
a
)2)dx =√
2π
a
exp(−ω
2
2a
).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 7.
Sea f : R→ R definida por f (x) = x
3
(x2 + 1)2
. Hallar la
transformada de Fourier de f .∫ +∞
−∞
x3
(x2 + 1)2
exp(−iωx)dx .
La función f puede escribirse como
f (x) = −x2(1
2
d
dx
(
1
(x2 + 1)
))
De acuerdo con el Ejercicio 2 F( 1
(x2 + 1)
) = π exp(−|ω|).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
De las propiedades de la transformada de Fourier
F(−x2(1
2
d
dx
(
1
(x2 + 1)
))) = −1
2
i2(
d2
dω2
(F(( d
dx
(
1
(x2 + 1)
)))) =
−1
2
i2(
d2
dω2
(iωF( 1
(x2 + 1)
))) = −1
2
i2(
d2
dω2
(iωπ exp(−|ω|))) =
πi
2
(
d
dω
(exp(−|ω|)(1− |ω|))) =
−πi
2
exp(−|ω|)( 2ω
|ω|
− ω).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 8.
Sea f : R→ R la función definida por f (x) = 0 si |x | ≥ 1 y
f (x) = 1− |x | si |x | < 1. Hallar la transformada de Fourier de f .
Puesto que f (x) = 0 para todo |x | ≥ 1∫ +∞
−∞
f (x) exp(−iωx)dx =
∫ 1
−1
(1− |x |) exp(−iωx)dx =∫ 1
−1
exp(−iωx)dx +
∫ 0
−1
x exp(−iωx)dx −
∫ 1
0
x exp(−iωx)dx .
La primera de las integrales∫ 1
−1
exp(−iωx)dx = −(exp(−iω)
iω
−exp(iω)
iω
) =
1
iω
(exp(iω)−exp(−iω)).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Integrando por partes se obtiene∫ 0
−1
x exp(−iωx)dx = −exp(iω)
iω
−
∫ 0
−1
1
−iω
exp(−iωx)dx =
−exp(iω)
iω
− 1
(iω)2
+
exp(iω)
(iω)2
.
−
∫ 1
0
x exp(−iωx)dx = exp(−iω)
iω
+
∫ 1
0
1
−iω
exp(−iωx)dx =
exp(−iω)
iω
+
exp(−iω)
(iω)2
− 1
(iω)2
.
De las igualdades anteriores se obtiene∫ +∞
−∞
f (x) exp(−iωx)dx = 1
ω2
(1− 2 cos(ω)).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 9.
Sea g : R→ R la función definida por g(x) = 0 si |x − 1| ≥ 1 y
g(x) = 1− |x − 1| si x ∈]0, 2[. Hallar la transformada de Fourier
de g .
La función g es tal que g(x) = f (x − 1) para todo x ∈ R, donde
f : R→ R es la función definida en el Ejercicio 8. Por tanto,
F(g(x)) = F(f (x − 1)).
De las propiedades de la transformada de Fourier y del Ejercicio 8
F(g(x)) = F(f (x − 1)) = exp(−iω)F(f (x)) =
exp(−iω)
ω2
(1− 2 cos(ω)).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 10.
Sean a > 0 un número real dado g : R→ R la función definida
por g(x) = exp(−a|x |) para todo x ∈ R. Hallar la transformada de
Fourier de g .
∫ +∞
−∞
g(x) exp(−iωx)dx =
∫ 0
−∞
exp((a− iω)x)dx+∫ ∞
0
exp(−(a + iω)x)dx = 1
a− iω
+
1
a + iω
.
Por tanto,
ĝ(ω) =
2a
ω2 + a2
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Fórmula de inversión.
Sea f : R→ R una función tal que
∫ +∞
−∞ |f (z)|dz es convergente,
continua a trozos y tal que f (a) =
f (a−) + f (a+)
2
para todo a ∈ R
donde f (a±) = ĺım
x→a±
f (x). Si la transformada de Fourier de f
f̂ : R→ C es tal que
∫ +∞
−∞ |f̂ (z)|dz es convergente entonces
f (x) =
1
2π
∫ +∞
−∞
f̂ (ω) exp(iωx)dω.
La igualdad anterior no debe entenderse como una fórmula que se
aplica a cualquier función f̂ si no que se aplica solo a aquellas
funciones que sean la transformada de Fourier de una función f
que cumple las condiciones del enunciado.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Si en las condiciones requeridas para que la fórmula de la
transformada inversa se elimina la condición de que
∫ +∞
−∞ |f̂ (z)|dz
es convergente entonces la fórmula de la transformada inversa se
debe reemplazar por
f (x) = ĺım
ε→0
1
2π
∫ +∞
−∞
exp(iζx) exp(−ε
2ζ2
2
)f (ζ)dζ.
Haciedo un paralelismo con las series de Fourier, la fórmula de
inversión responde a la pregunta bajo qué condiciones el desarollo
en serie converge a la función. Nótese que la transformada inversa
muestra que la función f se puede expresar como una
superposición continua de funciones trigonométricas (exp(iωx)).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
La fórmula de inversión, en ocasiones, resulta útil para calcular
transformadas de Fourier. Escribiendo x = −s en la fórmula de
inversión se obtiene
f (−s) = 1
2π
∫ +∞
−∞
f̂ (ω) exp(−iωs)dω.
Por tanto, la transformada de Fourier de F(f̂ (ω))(x) = 2πf (−x).
Dicho de otro modo, la transformada de Fourier de la
transformada de Fourier de una función f : R→ R es la función
definida por 2πf (−x).
Es bueno comprobar que los resultados obtenidos en Ejercicio 1 y
Ejercicio 5 cumplen la afirmación anterior.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Más concretamente, sea h : R→ R la función definida por
h(x) = 1 para todo |x | < 1 y h(x) = 0 para todo |x | ≥ 1. En
virtud del resultado obtenido en Ejercicio 5
F(2sin(ω)
ω
) = 2πh(x). De acuerdo con el resultado obtenido en
Ejercicio 1 F(h(x)) = ĥ(ω) = 2sin(ω)
ω
.
Aplicando ahora el resultado obtenido en la transparencia anterior,
teniendo en cuenta la paridad de h
F(2sin(ω)
ω
) ≡ F(ĥ(ω)) = 2πh(−x) = 2πh(x)
tal como hab́ıa que comprobar.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 11.
Sean a > 0 un número real dado g : R→ R la función definida
por g(x) =
2ax
x2 + a2
para todo x ∈ R. Hallar la transformada de
Fourier de g .
Sea h : R→ R la función definida por h(x) = 2a
x2 + a2
. De acuerdo
con el resultado del Ejercicio 10 y de las propiedades de la
transformada inversa
F( 2a
x2 + a2
) = F(ĥ(x)) = 2π exp(−a| − ω|) = 2π exp(−a|ω|).
Teniendo en cuenta que
F(g(x)) = F(xh(x)) = i dĥ
dω
se obtiene
ĝ(ω) = 2πi
d
dω
exp(−a|ω|) = −2aπi ω
|ω|
exp(−a|ω|).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
El comportamiento de la transformada de Fourier con respecto a
operaciones como la derivada o al producto de una función por un
escalar obedece a unas reglas muy sencillas y de gran trascendencia
práctica. En lo referente a la sencillez, no ocurre lo mismo con el
producto; el estudio de esta cuestión requiere la introducción de
una operación entre funciones que se denomina producto de
convolución de funciones.
Sean f : R→ C y g : R→ C dos funciones tales que∫ +∞
−∞ |f (z)|dz y
∫ +∞
−∞ |g(z)|dz son convergentes. A la función
(f ∗ g) : R→ C definida por la igualdad
(f ∗ g)(z) =
∫ +∞
−∞
f (z − y)g(y)dy
se la denomina producto de convolución (o convolución) de las
funciones f y g .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Propiedades del producto de convolución
Sean f : R→ C y g : R→ C dos funciones tales que∫ +∞
−∞ |f (z)|dz y
∫ +∞
−∞ |g(z)|dz son convergentes. Entonces∫ +∞
−∞
|(f ∗ g)(z)|dz
es convergente.
Sean f : R→ C y g : R→ C dos funciones acotadas tales que∫ +∞
−∞ |f (z)|
2dz y
∫ +∞
−∞ |g(z)|
2dz son convergentes. Entonces el
módulo del producto de convolución de f y g está uniformemente
acotado en R.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Sean f : R→ C, g : R→ , h : R→ C tres funciones acotadas
tales que
∫ +∞
−∞ |f (z)|dz ,
∫ +∞
−∞ |g(z)|dz y
∫ +∞
−∞ |g(z)|dz son
convergentes y α, β dos números complejos dados. Entonces
f ∗ (αg + βh)(z) = α(f ∗ g)(z) + β(f ∗ h)(z)
(f∗ g)(z) = (g ∗ f )(z).
(f ∗ (g ∗ h))(z) = ((f ∗ g) ∗ h)(z).
Es decir, el producto de convolución es distributivo con respecto a
la adición, conmutativo y asociativo. ¿Existe elemento unidad?.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Sean f : R→ C y g : C→ R dos funciones tales que∫ +∞
−∞ |f (z)|dz y
∫ +∞
−∞ |g(z)|dz son convergentes. Entonces
F((f ∗ g)(z)) ≡ F(
∫ +∞
−∞
f (z − y)g(y)dy) = f̂ (ω)ĝ(ω),
donde f̂ : R→ C y ĝ : R→ C las transformadas de Fourier de f y
g . Integrales de esta forma aparecen frecuentemente en las
ecuaciones en derivadas parciales (recuerde la identidad de Stokes).
Sean f : R→ C y g : R→ C dos funciones tales que∫ +∞
−∞ |f (z)|dz y
∫ +∞
−∞ |g(z)|dz son convergentes y f̂ : R→ C y
ĝ : R→ C sus transformadas de Fourier. Entonces
F((fg)(z)) = 1
2π
(f̂ ∗ ĝ)(ω) ≡ 1
2π
∫ +∞
−∞
f̂ (ω − ζ)ĝ(ζ)dζ.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 12.
Sean ga : R→ R la familia de funciones definida por
ga(x) =
sin(at)
πt
para todo x ∈ R. Determinar la función ga ∗ gb,
donde a, b son dos números reales positivos dados.
Para obtener la función pedida obtendremos F(ga ∗ gb) ≡ ĥ(ω) y
después hallaremos la transformada inversa de ĥ.
De acuerdo con el resultado del Ejercicio 1 y de las propiedades
de la transformada del producto de convolución
ĥ(ω) ≡ F(ga ∗ gb) = χ(
ω
a
)χ(
ω
b
) = χ(
ω
ḿın{a, b}
)
Sea c = ḿın{a, b}. De la definición de la transformada inversa de
Fourier
h(x) =
1
2π
∫ +∞
−∞
χ(
ω
c
) exp(iωx)dω =
1
2π
∫ c
−c
exp(iωx)dω =
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
1
2π
∫ c
−c
exp(iωx)dω =
1
2πix
(exp(ixc)− exp(ixc)) =
1
π
sin(cx)
x
= gc(x).
Por tanto,
ga ∗ gb(x) =
∫ +∞
−∞
ga(x − y)gb(y)dy =
1
π
sin(cx)
x
= gc(x).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 13.
Sean ga : R→ R la familia de funciones definida por g(0) =
a
π
,
ga(x) =
a
π(x2 + a2)
si x 6= 0. Determinar la función ga ∗ gb, donde
a, b son dos números reales positivos dados.
Para obtener la función pedida obtendremos F(ga ∗ gb) ≡ ĥ(ω) y
después hallaremos la transformada inversa de ĥ.
De acuerdo con el resultado del Ejercicio 2 y de las propiedades
de la transformada del producto de convolución
ĥ(ω) ≡ F(ga ∗ gb) = exp(−a|ω|) exp(−b|ω|) = exp(−(a + b)|ω|)
De la definición de la transformada inversa de Fourier
h(x) =
1
2π
∫ +∞
−∞
exp(−(a + b)|ω|) exp(iωx)dω =
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
1
2π
∫ 0
−∞
exp((a + b)ω + iωx)dω +
1
2π
∫ +∞
0
exp(−(a + b)ω + iωx)dω =
1
2π
(
1
a + b + ix
− 1
−(a + b) + ix
) =
1
π
a + b
(a + b)2 + x2
= ga+b(x).
Por tanto,
ga ∗ gb(x) =
∫ +∞
−∞
ga(x − y)gb(y)dy =
1
π
a + b
(a + b)2 + x2
= ga+b(x).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 14.
Sean f : R→ R y g : R→ R dos funciones tales que∫ −∞
−∞ |f (x)|dx y
∫ −∞
−∞ |g(x)|dx son convergentes. Probar que
F(fg(z)) = 1
2π
(f̂ ∗ ĝ)(ω).
De acuerdo con las propiedades de la transformada de Fourier
F(f̂ (ω)ĝ(ω)) = 2π(f ∗ g)(−x) (4)
Llamando f̂ (ω) = h(ω), de la definición de la transformada inversa
de Fourier se obtiene
1
2π
∫ +∞
−∞
f̂ (ω) exp(iωx)dω = f (x). (5)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Sustituyendo x por −x en (5), teniendo en cuenta la definición de
f̂ (ω) y la de la transformada de Fourier
1
2π
∫ +∞
−∞
h(ω) exp(−iωx)dω = f (−x) = 1
2π
ĥ(x).
Sustituyendo en (4) el valor de f (x) dado por la última iguladad de
la expresión anterior se obtiene
F(h1(ω)h2(ω)) = 2π
∫ +∞
−∞
f (−x − y)g(y)dy =∫ +∞
−∞
1
2π
ĥ1(−(−x − y))
1
2π
ĥ2(−y)dy =
1
2π
ĥ1 ∗ ĥ2(x).
Por tanto,
F(fg(z)) = 1
2π
(f̂ ∗ ĝ)(ω).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 15.
Sabiendo que la transformada de Fourier de la función f : R→ R
definida por f (0) = 0 y f (x) =
1
x
si x 6= 0 es la función
f̂ (ω) = −iπsign(ω). Hallar la transformada de Fourier de
g : R→ R definida por g(x) = sign(x)
Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier de la
transformada de Fourier de una función f : R→ R es la función
definida por 2πf (−x) y la linealidad de la transformada de Fourier
ĝ(ω) =
1
−iπ
2π
1
−ω
= −2i
ω
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
En muchas aplicaciones es muy importante poder calcular la
transformada de Fourier de funciones f : R→ C tales que∫ +∞
−∞ |f (z)|
2dz es convergente. Nótese que esta magnitud
está relacionada con la enerǵıa de las señales.
Teorema de Plancherel
La transformada de Fourier se extiende de un modo único al
conjunto de las funciones f : R→ C tales que
∫ +∞
−∞ |f (z)|
2dz es
convergente. Esta extensión convierte a la transformada de Fourier
a una aplicación de ese conjunto en śı mismo. Dicho de otro modo,
la transformada de Fourier definida en el conjunto de funciones
tales que
∫ +∞
−∞ |f (z)|dz es convergente se puede extender de
manera única al conjunto de funciones tales que
∫ +∞
−∞ |f (z)|
2dz es
convergente. Una consecuencia de este Teorema y de la identidad
de Parseval es que la transformada de Fourier de una función tal
que
∫ +∞
−∞ |f (z)|
2dz es convergente es una función tal que∫ +∞
−∞ |f̂ (ω)|
2dω es convergente.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Identidad de Parseval
La transformación anteriormente mencionda verifica la identidad
2π
∫ +∞
−∞
f (z)g(z)dz . =
∫ +∞
−∞
f̂ (ω)ĝ(ω)dω.
Tomando f = g en la identidad anterior se obtiene
2π
∫ +∞
−∞
|f (z)|2dz . =
∫ +∞
−∞
|f̂ (ω)|2dω.
Lo que significa que la transformada de Fourier definida en el
conjunto de funciones tales que
∫ +∞
−∞ |f (z)|
2dz es convergente es
una isometŕıa.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 16.
Sean 0 < a < b dos números reales positivos dados, f : R→ R y
g : R→ R las funciones definidas por
f (x) =
x2
(x2 + a2)(x2 + b2)
para todo x ∈ R,
g(x) =
sin(ax) sin(bx)
x2
para todo x ∈ R− {0} y g(0) = ab.
Determinar las transformadas de Fourier de f y g .
De acuerdo con el resultado del Ejercicio 11 y de las propiedades
de la transformada de Fourier del producto de funciones
F(f ) = F( x
(x2 + a2)
x
(x2 + b2)
) =
1
2π
((−2aπi ω
|ω|
exp(−a|ω|)) ∗ (−2bπi ω
|ω|
exp(−b|ω|)))
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
De acuerdo con el resultado del Ejercicio 1 y de las propiedades
de la transformada de Fourier del producto de funciones
F(g) = F(sin(ax)
x
sin(bx)
x
) =
1
2π
(χ(
ω
a
) ∗ χ(ω
b
)).
Sea c = ḿın{a, b}. De la definición de la transformada inversa de
Fourier
h(x) =
1
2π
∫ +∞
−∞
χ(
ω
c
) exp(iωx)dω =
1
2π
∫ c
−c
exp(iωx)dω =
1
2π
(
exp(ixc)
ix
− exp(−ixc)
ix
) =
sin(cx)
πx
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
EJERCICIO 17.
Sea fn : R→ R la función definida por fn(x) =
sin(Ωx − nπ)
Ωx − nπ
para
todo x ∈ R− {nπ
Ω
} y fn(
nπ
Ω
) = 1, donde n ∈ N. Determinar la
transformada de Fourier de fn y calcular el valor de∫ +∞
−∞
fj(x)fk(x)dx ,
donde j , k ∈ N.
F(fn(x)) =
∫ +∞
−∞
fn(x) exp(−iωx)dx .
Haciendo el cambio de variable y = Ωx − nπ en la integral anterior
se obtiene∫ +∞
−∞
fn(x) exp(−iωx)dx =
exp(−inπω
Ω)
Ω
∫ +∞
−∞
sin(y)
y
exp(−iω
Ω
y)dy .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Haciendo ω1 =
ω
Ω
y teniendo en cuenta el resultado obtenido en el
Ejercicio 5
F(fn(x)) =
π exp(−inπω
Ω
)
Ω
χ(
ω
Ω
).
donde χ : R→: R es la función definida por χ(x) = 0 si |x | > 1,
χ(x) = 1 si |x | < 1 y χ(±1) = 1
2
.
En virtud de la identidad de Parseval∫ +∞
−∞
fj(x)fk(x)dx =
1
2π
∫ +∞
−∞
f̂j(ω)f̂ k(ω)dω =
1
2π
π2
Ω2
∫ +∞
−∞
exp(−i(j − k)πω
Ω
)χ2(
ω
Ω
)dω =
1
2π
π2
Ω2
∫ Ω
−Ω
exp(−i(j − k)πω
Ω
)dω =
π
Ω
δjk .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Fourier.
∫ +∞
−∞ f (z) exp(iωz)dz
Teorema del muestreo.
Sea f : R→ C una función tal que
∫ +∞
−∞ |f (z)|
2dz es convergente
y tal que f̂ (ω) = 0 para todo |ω| ≥ Ω. Entonces f
está completamente determinada por sus valores en los puntos
tn =
nπ
Ω
donde n ∈ Z. Además,
f (t) =
+∞∑
n=−∞
f (
nπ
Ω
)
sen(Ωt − nπ)
Ωt − nπ
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Transformada de Laplace
Sean D el conjunto de funciones definido por
D = {f : [0,+∞[→ C : f es continua a trozos y|f (z)| <
C exp(az), para ciertos C ∈ R+, a ∈ R} y
S = {x + iy ∈ C : x > a}.
Sea f ∈ D se llama transformada de Laplace de f a la función
L(f ) : S → C definida por
L(f )(z) =
∫ +∞
0
f (t) exp(−zt)dt.
La integral anterior es uniformemente convergente en
Sε = {x + iy ∈ C : x > a + ε} donde ε > 0. Al ser la integral
uniformemente convergente la función que define es derivable y el
valor de la derivada se obtiene derivando bajo el signo integral. Por
tanto, L(f ) es anaĺıtica en Sε. La función anterior se puede
extender a conjuntos más amplios. A la función extendida también
se la denota por L(f )
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Observaciones.
Para evitar definir las funciones usuales en en intervalo [0,+∞[ se
ampĺıa la defición de transformada de Laplace a funciones
f : R→ C tales que f (x) = 0 para todo x < 0. Además, en lo
sucesivo, se convendrá que para funciones tales que f (x) 6= 0 para
algún x < 0
L(f )(z) ≡ L(Hf )(z) =
∫ +∞
0
H(t)f (t) exp(−zt)dt.
donde H : R→ R es la función definida por H(x) = 0 para todo
x < 0 y H(x) = 1 para todo x ≥ 0. A la función H también se la
conoce como la función de Heaviside.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
En la definición de transformada de Laplace, el dominio de L(f )(z)
es un cierto semiplano del plano complejo. Por razones que irán
apareciendo a medida que avance el desarrollo de este tema resulta
conveniente ampliar el dominio de L(f )(z) (y por tanto la función)
al conjunto D que se define como el mayor subconjunto de C que
contiene a Sε que verifica que La(f )(z) es anaĺıtica en D y
La(f )(z) = L(f )(z) para todo z ∈ Sε. En lo sucesivo se conviene
que el dominio de la transformada de Laplace es el conjunto D.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Propiedades
Sean f : [0,+∞[→ C y f : [0,+∞[→ C tales que f , g ∈ D.
Entonces para todo α, β ∈ C se verifica
L(αf + βg)(z) = αL(f )(z) + βL(g)(z).
Sea f : [0,+∞[→ C tal que f ∈ D. Entonces para todo
a ∈ R+, se verifica
L(H(t − a)f (t − a)) = exp(−az)L(f )(z),
donde la función H : R→ R es la función definida por
H(x) = 0 si x < 0 y H(x) = 1 si x ≥ 0.
Sea f : [0,+∞[→ C tal que f ∈ D. Entonces para todo
a ∈ R+ se verifica
L(f (at)) = 1
a
L(f )(z
a
).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Sea f : [0,+∞[→ C una función continua y derivable a trozos
en su dominio, tal que f ′ ∈ D. Entonces
L(f ′(t)) = zL(f )(z)− f (0).
Sea f : [0,+∞[→ C continua a trozos en [0,+∞[ tal que
f ∈ D. Entonces
L(
∫ t
0
f (s)ds) =
1
z
L(f )(z).
Sea f : [0,+∞[→ C una función tal que f ∈ D. Entonces
L(tf (t)) = −dL(f )
dz
(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Sea f :]0,+∞[→ C tal que f (t)
t
∈ D y es localmente
integrable. Entonces
L( f (t)
t
) =
∫ +∞
z
L(f )(w)dw ,
donde la integral se realiza sobre un contorno cualquiera cuyo
inicio está en el punto z , no está acotado y la parte imaginaria
de los puntos del contorno śı lo están.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Al igual que en el caso de las transformadas de Fourier, antes de
considerar las propiedades de la transformada de Laplace
relacionadas con el producto de funciones es conveniente recordar
la definición de producto de convolución. Para mantener la misma
definición de producto de convolución se consideran dos funciones
f : R→ C y g : R→ C. Como en el caso de la transformada de
Fourier
(f ∗ g)(z) =
∫ +∞
−∞
f (z − y)g(y)dy ..
Teniendo en cuenta que g(y) = 0 para todo y < 0∫ +∞
−∞
f (z − y)g(y)dy =
∫ +∞
0
f (z − y)g(y)dy .
Teniendo en cuenta que f (z − y) = 0 para todo y > z
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
(f ∗ g)(z) =
∫ z
0
f (z − y)g(y)dy .
Es decir, el producto de convolución se reduce a una integral sobre
un intervalo compacto.
La transformada de Laplace del producto de convolución de dos
funciones verifica la propiedad siguiente.
Sean f : [0,+∞[→ C y g : [0,+∞[→ C tales que f , g ∈ D.
Entonces se verifica
L(f ∗ g)(z) = L(f )(z)L(g)(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 18.
Sean fj : [0,+∞[→ R j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 las funciones definidas
por
f1(t) = 1.
f2(t) = t
n donde n ∈ N.
f3(t) = exp(at) donde a es un número real no nulo dado.
f4(t) = cos(t), f5(t) = sin(t),
f6(t) = cosh(t), f7(t) = sinh(t)
f8(t) = t
ν donde ν ∈ R con ν > −1
L(1)(z) ≡ L(H(t))(z) =
∫ +∞
0
1 exp(−zt)dt =
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
ĺım
t→+∞
− exp(−tz)
z
+
1
z
=
1
z
para todo z ∈ C tal que <(z) > 0.
Procediendo por inducción sobre n e integrando por partes se
obtiene
L(tn)(z) =
∫ +∞
0
tn exp(−zt)dt = n!
zn+1
para todo z ∈ C tal que <(z) > 0.
L(exp(at))(z) =
∫ +∞
0
exp(at) exp(−zt)dt =∫ +∞
0
exp(t(a− z))dt = ĺım
t→+∞
exp(t(a− z))
a− z
− 1
a− z
=
1
z − a
para todo z ∈ C tal que <(z) > a.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
L(cos(t))(z) =
∫ +∞
0
cos(t) exp(−zt)dt =∫ +∞
0
exp(it) + exp(−it)
2
exp(−zt)dt =∫ +∞
0
exp((i− z)t) + exp(−(i + z)t)
2
dt =
1
2
(
1
z − i
+
1
z + i
) =
z
z2 + 1
para todo z ∈ C tal que <(z) > 0.
La transformada de Laplace del seno se obtiene a partir de la del
coseno y de las prpopiedades de la transformada de la derivada
L(− d
dx
(cos(x))(z) = −zL(cos(t))(z) + cos(0) =
− z
2
z2 + 1
+ 1 =
1
z2 + 1
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
L(cosh(x))(z) =
∫ +∞
0
cos(t) exp(−zx)dx =∫ +∞
0
exp(x) + exp(−x)
2
exp(−zx)dx =∫ +∞
0
exp((1− z)x) + exp(−(1 + z)x)
2
dx =
1
2
(
1
z − 1
+
1
z + 1
) =
z
z2 − 1
para todo z ∈ C tal que <(z) > 0.
La transformada de Laplace del seno hiperbólico se obtiene a partir
de la del coseno y de las prpopiedades de la transformada de la
derivada
L(sinh(x))(z) = L( d
dx
(cosh(x))(z) = zL(cosh(t))(z)− cosh(0) =
z2
z2 − 1
− 1 = 1
z2 − 1
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Finalmente,
L(xν)(z) =
∫ +∞
0
xνexp(−zx)dx .
Haciendo el cambio de variable zx = u con z > 0 la integral
anterior se transforma en∫ +∞
0
(
u
z
)ν exp(−u) 1
z
du =
1
zν+1
∫ +∞
0
uν exp(−u)du.
Teniendo en cuenta la definición de la función Γ
L(xν)(z) = Γ(ν + 1)
zν+1
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 19.
Sean fj : [0,+∞[→ R j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 las funciones definidas
por
f1(x) = cos(ax), f2(x) = sin(ax),
f3(x) = cosh(ax), f4(x) = sinh(ax),
f5(x) = exp(cx) cos(ax), f6(x) = exp(cx) sin(ax),
f5(x) = exp(cx) cosh(ax), f6(x) = exp(cx) sinh(ax)
Hallar sus transformadas de Laplace donde a, c son dos números
reales dados.
De acuerdo conla propiedad L(f (at)) = 1
a
L(f )(z
a
). y los
resultados obtenidos en el Ejercicio 18
L(cos(ax)) = 1
a
L(cos(x))(z
a
) =
z
z2 + a2
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
L(sin(ax)) = 1
a
L(sin(x))(z
a
) =
a
z2 + a2
.
L(cosh(ax)) = 1
a
L(cosh(x))(z
a
) =
z
z2 − a2
.
L(sinh(ax)) = 1
a
L(sinh(x))(z
a
) =
a
z2 − a2
.
De acuerdo conla propiedad L(exp(bt)f (t)) = L(f )(z − b), y los
resultados obtenidos en este ejercicio
L(exp(bx) cos(ax)) = L(cos(ax))(z − b) = z − b
(z − b)2 + a2
.
L(exp(bx) sin(ax)) = L(sin(ax))(z − b) = a
(z − b)2 + a2
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
L(exp(bx) cosh(ax)) = L(cosh(ax))(z − b) = z − b
(z − b)2 − a2
.
L(exp(bx) sinh(ax)) = L(sinh(ax))(z − b) = a
(z − b)2 − a2
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 20.
Sean fj : [0,+∞[→ R y gj : [0,+∞[→ R j = 1, 2 las funciones
definidas por
f1(x) = 1, g1(x) = sin(x).
f2(x) = exp(x), g2(x) =
1√
πx
.
Hallar los productos de convolución de fj ∗ gj para j = 1, 2.
Utilizando los resultados obtenidos en el apartado anterior, obtener
L(1− cos(x))(z), L(exp(x)erf(x))(z) y L(erf(x))(z), donde
erf : [0,+∞[→ R es la función definida por la igualdad
erf(x) =
2√
π
∫ x
0
exp(−y2)dy .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
De acuerdo con la definición del producto de convolución
(f1∗g1)(x) = (H(y)∗(H(y) sin(y))(x) =
∫ x
0
1 sin(u)du = 1−cos(x).
(f2∗g2)(x) =
∫ x
0
exp(x−y) 1√
πy
dy = exp(x)
∫ x
0
exp(−y) 1√
πy
dy .
Haciendo el cambio de variable y = u2 el la última integral de la
igualdad anterior
(f2 ∗ g2)(x) = exp(x)
∫ x
0
exp(−y) 1√
πy
dy =
exp(x)√
π
∫ x
0
exp(−u2) 1√
u2
2udu.
Por tanto,
(f2 ∗ g2)(x) = exp(x)erf(x)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
De la propiedad L(f ∗ g)(z) = L(f )(z)L(g)(z) y de los resultados
obtenidos en el apartado anterior
L(1− cos(x))(z) = L(H(x))(z)L(H(x) sin(x))(z) = 1
z(z2 + 1)
y
L(exp(x)erf(x))(z) = Γ(1/2)√
π
√
z
z − 1
=
√
z
z − 1
.
Finalmente, aplicando la propiedad
L(exp(bx)f (x))(z) = L(f )(z − b) y teniendo en cuenta el último
resultado
L(erf(x))(z) = L(exp(−x) exp(x)erf(x))(z) =
√
z + 1
z
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 21.
Sea f : [0,+∞[→ R la función definida por
f (x) = x , si 0 ≤ x ≤ 1, f (x) = exp(1− t) si x > 1.
Hallar la transformada de Laplace de f .
La función f puede escribirse como
f (x) = x(H(x)− H(x − 1)) + H(x − 1) exp(−(x − 1)).
Teniendo en cuenta la propiedad
L(H(t − a)f (t − a)) = exp(−az)L(f )(z)y los resultados obtenidos
en el Ejercicio 18
L(xH(x)) = 1
z2
.
L(xH(x−1)) = L((x−1)H(x−1)+H(x−1)) = exp(−z)
(z)2
+
exp(−z)
(z)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
L(H(x − 1) exp(−(x − 1))) = exp(−z)
z + 1
.
Por tanto
L(f (x)) = 1
z2
− (exp(−z)
(z)2
+
exp(−z)
(z)
) +
exp(−z)
z + 1
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 22.
Sean Fj : [0,+∞[→ R j = 1, 2, 3 las funciones definidas por
F1(x) =
sin(x)
x
, si x 6= 0, y F1(0) = 1
F2(x) =
∫ x
0
sin(y)
y
dy , F3(x) = sin(x − 1).
Hallar sus transformadas de Laplace.
L(sin(x)
x
)(z) ≡ G (z) =
∫ +∞
0
sin(x)
x
exp(−zx)dx
Derivando con respecto a z la igualdad anterior y teniendo en
cuenta que la integral ee uniformemente convergente si <(z) > 0
dG
dz
(z) =
∫ +∞
0
sin(x)
x
d
dz
exp(−zx)dx =
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
−
∫ +∞
0
sin(x) exp(−zx)dx = −1
z2 + 1
Integrando la ecuación anterior
L(sin(x)
x
)(z) =
π
2
− arctan(z).
Sea f : [0,+∞[→ R tal que f ∈ D y df
dx
(x) ∈ D. Entonces
L(f (x))(z) ≡
∫ +∞
0
f (x) exp(−zx)dx =
f (0)
z
+
1
z
∫ +∞
0
df
dx
(x) exp(−zx)dx .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Aplicando la propiedad anterior a F2 y teniendo en cuenta la
expresión de transformada de Laplace de F1 y que F2(0) = 0
L(F2(x))(z) =
1
z
(
π
2
− arctan(z)).
Finalmente,
L(F3(x))(z) =
∫ +∞
0
sin(x − 1) exp(−zx)dx =
1
2i
∫ +∞
0
exp(x(i− z)− i)− exp(−x(i + z) + i)dx =
1
2i
(
exp(−i)
z − i
− exp(i)
z + i
) =
−z sin(1) + cos(1)
z2 + 1
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Sea f : [0,+∞[→ R una función continua a trozos tal que f ∈ D.
Entonces
ĺım
y→±∞
L(f )(x + iy) = 0 para cualquier x > a fijo.
ĺım
x→+∞
L(f )(x + iy) = 0 para cualquier y fijo.
Esta es una condición necesaria que debe cumplir la transformada
de Laplace de cualquier función f ∈ D.
Para convertir a la transformada de Laplace en un instrumento útil
es necesario poder recuperar la función f a partir de L(f )(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Transformada inversa de Laplace
Sean f : [0,+∞[→ C una función tal que f ∈ D, L(f )(z) su
transformada de Laplace y b un número real dado tal que b > a.
Entonces
f (t−) + f (t+)
2
=
1
2πi
ĺım
τ→+∞
∫ b+iτ
b−iτ
L(f )(z) exp(tz)dz .
Nótese que el teorema anterior exige que L(f )(z) sea la
transformada de Laplace de una función. Si en la fórmula de
inversión se sustituye L(f )(z) por una función F cualquiera se
pueden obtener resultados sin sentido.
Sean f : [0,+∞[→ C, f : [0,+∞[→ C, dos funciones tales que
f , g ∈ D y L(f )(z) = L(g)(z). Entonces, f (x) = g(x) para todo
x ∈ [0,+∞[ en los que f y g son continuas.
Es decir, la inversa de la transformada de Laplace está bien
definida.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Sean a un número real dado, b > a y r > 0 dos números
reales,S = {z ∈ C : <(z) > a}, F : S → C una función anaĺıtica en
S para la que existe un número real C > 0 que verifica
|F (z)| ≤ C 1
(1 + |z |)α
para todo z ∈ S con α > 1
2
, y fr ,b : R→ C la función definida por
fr ,b(x) =
1
2πi
∫ b+ir
b−ir
F (z) exp(zx)dz
Si para algún b > a ĺım
r→+∞
fr ,b(x) converge puntualmente a
f : R→ C tal que f ∈ D entonces ĺım
r→+∞
fr ,b(x) = f (x) para todo
b > a y
L(f (x))(z) = F (z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Sea f : [0,+∞[→ C una función tal que f ∈ D y que la
prolongación anaĺıtica de L(f (x))(z) ≡ F (z) es una función
meromorfa en C que tiene un número finito de polos y verifica
ĺım
z→∞
F (z) = 0. Entonces
f (x) =
j=k∑
j=1
Res(F (z) exp(zx), zk).
donde zk son los polos de F .
Probar la afirmación anterior es equivalente a probar la igualdad
1
2πi
ĺım
τ→+∞
∫ b+iτ
b−iτ
L(f )(z) exp(xz)dz=
j=k∑
j=1
Res(F (z) exp(zx), zk).
Cosiderénse los arcos γ1 : [−L, L]→ C γ2 : [L, 3L]→ C
γ3 : [3L, 5L]→ C γ4 : [5L, 7L]→ C definidos por
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
γ1(t) = b + it, donde t ∈ [−L, L]
γ2(t) = b + L− t + iL, donde t ∈ [L, 3L]
γ3(t) = b − 2L + i(4L− t), donde t ∈ [3L, 5L]
γ4(t) = b − 7L + t − iL, donde t ∈ [5L, 7L]
donde b es un número real tal que <(zj) < b para j = 1, . . . , k .
Sea γ : [−L, 7L]→ C la concatenación de γ1, . . . , γ4 donde L > 0
es tal que los polos de F están en el interior del dominio acotado
determinado por γ, es decir, el interior del cuadrado de vértices
b + iL, b − 2L + iL, b − 2L− iL y b − iL.
La integral
∫
γ2
F (z) exp(xz)dz verifica la estimación
|
∫
γ2
F (z) exp(xz)dz | ≤ M2(L)
∫ 3L
L
| exp((b + L− t + iL)x)|dt.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
donde M2(L) = máx{|F (γ2(t))| : t ∈ [L, 3L]}. Teniendo en cuenta
que x > 0 es un número real positivo dado
|
∫
γ2
F (z) exp(xz)dz | ≤ M2(L)
∫ 3L
L
exp((b + L− t)x)dt =
M2(L) exp((b + L)x)
exp(−Lx)− exp(−3Lx)
x
= O(M2(L)).
La integral
∫
γ3
F (z) exp(xz)dz verifica la estimación
|
∫
γ3
F (z) exp(xz)dz | ≤ M3(L)
∫ 5L
3L
| exp((b − 2L + i(4L− t))x)|dt =
O(L exp((b − 2L)x)M3(L))
donde M3(L) = máx{|F (γ3(t))| : t ∈ [3L, 5L]}.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Procediendo de un modo análogo al utilizado para estimar el valor
de
∫
γ2
F (z) exp(xz)dz se obtiene la estimación
|
∫
γ4
F (z) exp(xz)dz | = O(M4(L)).
donde M4(L) = máx{|F (γ4(t))| : t ∈ [5L, 7L]}.
En virtud del teorema de los residuos
1
2πi
∫
γ
F (z) exp(xz)dz =
j=k∑
j=1
Res(F (z) exp(zx), zk).
De la definición del contorno γ y de las estimaciones obtenidas
1
2πi
∫
γ1
F (z) exp(xz)dz =
j=k∑
j=1
Res(F (z) exp(zx), zk)+
O(M2(L)) + O(M4(L)) + O(L exp((b − 2L)x)M3(L)) (6)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Puesto que ĺım
z→∞
F (z) = 0.
ĺım
L→+∞
M2(L) = ĺım
L→+∞
M3(L) = ĺım
L→+∞
M4(L) = 0.
Tomando el ĺımite cuando L→ +∞ en (6) se obtiene
f (x) = ĺım
L→+∞
1
2πi
∫
γ1
F (z) exp(xz)dz =
j=k∑
j=1
Res(F (z) exp(zx), zk).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Un conjunto de funciones de particular interés son los polinomios
exponenciales, es decir, combinacione lineales de funciones de la
forma xn exp(ax) donde n = 0, 1, 2, . . . y a es un número
complejo. Se dice que una función racional es propia si el grado del
numerador es menor que el grado del denominador.
Las transformadas de Laplace de los polinomios exponenciales
están relaciondas con las funciones racionales propias del siguiente
modo
La función f : R→ C es un polinomio exponencial si y sólo si
L(H(x)f (x))(z) es una función racional propia.
Este resultado garantiza que la solución del problema de Cauchy
para una ecuación diferencial ordinaria con coeficientes constantes
de orden n se puede obtener aplicando la fórmula de inversión a
una función racional propia.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 23.
Sean fj : [0,+∞[→ R j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 las funciones definidas por
f1(z) =
1
(z − c)n
,
f2(z) =
1
d + (z − c)2
, f3(z) =
z − c
d + (z − c)2
,
f4(z) =
1
(d2 + (z − c)2)k
, f5(z) =
z − c
(d2 + (z − c)2)k
f6(z) =
1√
z
Hallar sus transformadas inversas de Laplace donde c y d son
números reales positivos dados y k es un número natural dado.
La función f1 es tal que f (z) =
(−1)n−1
(n − 1)!
dn−1
dzn−1
(
1
z − c
).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Teniendo en cuenta que L(exp(cx))(z) = 1
z − c
, de la propiedades
de las transformadas de Laplace relacionadas con las derivadas se
obtiene
(−1)n−1
(n − 1)!
L(xn−1 exp(cx))(z) = (−1)
2(n−1)
(n − 1)!
dn−1
dzn−1
(
1
z − c
) ≡ f1(z)
Por tanto, la transformada inversa de f1 es
L−1(f1(z))(x) =
1
(n − 1)!
(xn−1 exp(cx)).
De los resultados obtenidos en el Ejercicio 19
L−1(f2(z))(x) =
1√
d
exp(cx) sin(
√
dx).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
L−1(f3(z))(x) = exp(cx) cos(
√
dx).
De los resultados obtenidos en el Ejercicio 19 (función f8)
L( 1√
x
)(z) =
Γ(1/2)√
z
.
Por tanto,
L−1( 1√
z
)(x) =
1√
πx
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
De la propiedad
L(exp(cx)f (x))(z) = L(f (x))(z − c),
se obtiene
L−1(f4(z))(x) = exp(cx)L−1(
1
(z2 + d2)k
)(x).
De la aplicación del teorema de los residuos a la integral que se
obtiene de la fórmula de inversión de la transformada de Laplace
L−1( 1
(z2 + d2)k
)(x) = Res(
exp(zx)
(z2 + d2)k
, id)+Res(
exp(zx)
(z2 + d2)k
,−id)
Calcular los residuos anteriores es equivalente a obtener
Res(
exp((±id + t)x)
((±id + t)2 + d2)k
, 0)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
La función f4m(t) =
exp((id + t)x)
((id + t)2 + d2)k
puede escribirse en la forma
f4m(t) = exp(ixd)
exp(tx)
(i2td)k(1 + ti2d )
k
=
exp(ixd)(i2d)k−1(−1)k−1
(k − 1)!(i2td)k
exp(tx)
dk−1
dk−1
(
1
1 +
t
i2d
).
Además
dk−1
dk−1
(
1
1 +
t
i2d
) =
dk−1
dk−1
(1 +
n=+∞∑
n=1
(−1)n( t
i2d
)n =
n=+∞∑
n=k−1
(−1)nn(n − 1) . . . (n − k + 2)
(i2d)n
tn−k+1, (7)
y
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
exp(tx) =
n=+∞∑
n=1
1
n!
tn. (8)
El coeficiente del término tk−1 del producto de Cauchy de los
desarrollos (7) y (8) es
l=k−1∑
l=0
(−1)2(k−1)−l(2(k − 1)− l) . . . (k − l)
l!(i2d)2(k−1)−l
x l .
de donde
Res(f4m(t), 0) =
(−1)k−1 exp(ixd)
(k − 1)!2id
l=k−1∑
l=0
(−1)2(k−1)−l(2(k − 1)− l) . . . (k − l)
l!(i2d)2(k−1)−l
x l .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Teniendo en cuenta que x es un número real positivo
L−1( 1
(z2 + d2)k
)(x) =
(−1)k−1 exp(ixd)
(k − 1)!2id
l=k−1∑
l=0
(−1)2(k−1)−l(2(k − 1)− l) . . . (k − l)
l!(i2d)2(k−1)−l
x l + c .c .
Se comprueba sin mucha dificultad que L−1( 1
(z2+d2)k
)(x) = 0.
Finalmente, de las propiedades de la transformada de Laplace se
obtiene
L−1(f5(z))(x) = exp(cx)L−1(
z
(z2 + d2)k
)(x) =
exp(cx)
d
dx
L−1( 1
(z2 + d2)k
)(x).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 24.
Sea F : C− {1, i,−i} → C la función definida por la igualdad
F (z) =
1
(z − 1)(z2 + 1)
.
Hallar la transformada inversa de Laplace de la función F .
La función F es una función racional propia. Aplicando el teorema
de las residuos a la integral que se obtiene de la fórmula de
inversión de la transformada de Laplace
L−1(F (z)) = Res(F (z) exp(zx), 1) + Res(F (z) exp(zx), i)
+Res(F (z) exp(zx),−i).
Puesto que las ráıces del denominador son simples
Res(F (z), 1) =
exp(x)
2
, Res(F (z), i) =
exp(ix)
2i(i− 1)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Teniendo en cuenta que x es un número real
L−1( 1
(z − 1)(z2 + 1)
) =
exp(x)
2
+ (
exp(ix)
2i(i− 1)
+ c .c .) =
exp(x)− sin(x)− cos(x)
2
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 25.
Sea a > 0 un número real dado y F : C− {0} → C la función
definida por la igualdad
F (z) =
exp(−a
√
z)√
z
donde
√
z es la determinación principal de laráız. Hallar la
transformada inversa de Laplace de la función F .
La función F cumple todas las hipótesis del teorema que
proporciona condiciones suficientes para que una función admita
transformada inversa de Laplace. Sin embargo, dado que F
presenta un corte de ramificación en el eje real negativo no es
posible aplicar el teorema de los residuos a la integral que se
obtiene al aplicar la fórmula de la tranformada inversa a la función
F .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
De la fórmula de inversión de la transformada de Laplace
f (x) =
1
2πi
ĺım
τ→+∞
∫ b+iτ
b−iτ
F (z) exp(xz)dz .
Para obtener el valor de la integral anterior se considera el
contorno cerrado que se indica a continuación.
Sean L un número real positivo dado suficientemente grande,
γk : [ak , bk ]→ C, k = 1, . . . , 8 los arcos definidos por
γ1(t) = b + it, donde t ∈ [−L, L]
γ2(t) = b + iL− t donde t ∈ [0, L]
γ3(t) = b − L + i(L− t) donde t ∈ [0, L−
1
L
sin(π − 1
L
)]
γ4(t) = b − L + t +
i
L
sin(π − 1
L
) donde t ∈ [0, L− b + 1
L
cos(π − 1
L
)]
γ5(t) =
1
L
exp(−it) donde t ∈ [−π + 1
L
, π − 1
L
]
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
γ6(t) =
1
L
cos(−π + 1
L
)− t + i
L
sin(−π + 1
L
)
donde t ∈ [0, L− b + 1
L
cos(π − 1
L
)],
γ7(t) = b − L + i(−t −
1
L
sin(π − 1
L
))
donde t ∈ [0, L− 1
L
sin(π − 1
L
)]
γ8(t) = b − L− iL + t donde t ∈ [0, L]
Sea γ el contorno simple formado por la concatenación de los arcos
γ1, . . . , γ8. En virtud del teorema de Cauchy∫
γ
F (z) exp(zx)dz = 0 =
k=8∑
k=1
∫
γk
F (z) exp(zx)dz . (9)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
La integral
∫
γ2
F (z) exp(zx)dz verifica la estimación
|
∫
γ2
F (z) exp(zx)dz | ≤ M2
∫ b
−L
exp(xt)dt =
exp(xb)√
Lx
donde M2 = max{|F (γ2(t))| : t ∈ [0, L]}. Nótese que
está uniformemente acotado cuando L→ +∞
La integral
∫
γ3
F (z) exp(zx)dz verifica la estimación
|
∫
γ3
F (z) exp(zx)dz | ≤ M3
∫ b
−L
exp(xt)dt =
exp(xL)√
Lx
donde M3 = max{|F (γ2(t))| : t ∈ [0, L− 1L sin(π −
1
L)]}
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
La integral
∫
γ4
F (z) exp(zx)dz verifica la estimación
|
∫
γ5
F (z) exp(zx)dz | ≤ 1√
L
Procediendo como en las integrales sobre los arcos γ2 y γ3 se
obtiene
|
∫
γ8
F (z) exp(zx)dz | ≤ M2
∫ b
−L
exp(xt)dt =
exp(xL)√
Lx
= O()
|
∫
γ7
F (z) exp(zx)dz | ≤ M3
∫ b
−L
exp(xt)dt =
exp(xL)√
Lx
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Teniendo en cuenta
ĺım
L→+∞
∫
γ4
F (z) exp(zx)dz =
∫ +∞
0
exp(−ai
√
u)
i
√
u
exp(−xu)du
ĺım
L→+∞
∫
γ6
F (z) exp(zx)dz =
∫ +∞
0
exp(ai
√
u)
i
√
u
exp(−xu)du
De la igualdad (9) y de las estimaciones anteriores se obtiene
f (x) =
1
2πi
ĺım
L→+∞
∫
γ1
F (z) exp(xz)dz =
1
π
∫ +∞
0
cos(a
√
u)√
u
exp(−ux)du
Haciendo el cambio de variable
√
u = v en la integral anterior se
obtiene
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
1
π
∫ +∞
0
cos(a
√
u)√
u
exp(−ux)du = 2
π
∫ +∞
0
cos(av) exp(−v2x)dv
Teniendo en cuenta la paridad de la función coseno y la imparidad
del seno
2
π
∫ +∞
0
cos(av) exp(−v2x)dv = 1
π
∫ +∞
−∞
cos(av) exp(−v2x)dv =
1
π
∫ +∞
−∞
exp(iav) exp(−v2x)dv
Nótese que haciendo el cambio (a, x)→ (−ω, a
2
) la última integral
corresponde a la transformada de Fourier obtenida en el ejercicio
Ejercicio 6
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Por tanto,
2
π
∫ +∞
0
cos(av) exp(−v2x)dv = 1√
πx
exp(− a
2
4x
) =
L−1(exp(−a
√
z)√
z
)(x).
Además, teniendo en cuenta la igualdad anterior y la propiedad
L( f (x)
x
) =
∫ +∞
z
L(f )(w)dw ,
se obtiene
L−1(exp(−a
√
z))(x) =
a
2
√
πx3
exp(− a
2
4x
).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Debido al comportamiento de la transformada de Laplace relativo
a la derivación, la transformada de Laplace resulta proporciona un
procedimiento enormemente efectivo para resolver el problema de
Cauchy para ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficientes
constantes.
La ventaja más importante de la tansformada de Lapalce sobre los
métodos estudiados en el curso anterior, es que permite tratar los
problemas no homogéneos con sus correspondientes condiciones
iniciales obviando la fórmula de la variación de las constantes.
Además, permite obtener propiedades muy relevantes de la
solución sin obtener expĺıcitamente la solución. Una de estas
propiedades es el comportamiento de la solución para t → +∞.
La aplicación de la transformada de Laplace tanto a la solución de
ecuaciones difereniales ordinarias como a la determinación de
determinadas propiedades cualitativas de la solución es un pilar
fundamental de la teoŕıa clásica del control.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Sean n un número natural dado, a0, a1, . . . , an−1 n números reales
dados, c0, a1, . . . , cn−1 n números reales dados y f : [0,+∞]→ R
una función tal que f ∈ D. Considérese le problema de Cauchy
definido por
dnu
dxn
(x) + an−1
dn−1u
dxn−1
(x) + · · ·+ a1
du
dx
(x) + a0u(x) = f (x)
u(0) = c0,
du
dx
(0) = c1, . . . ,
dn−1u
dxn−1
(0) = cn−1. (10)
En virtud de los teoremas de existencia y unicidad y de las
propiedades de las soluciones de las ecuaciones lineales de
coeficientes constantes estudiadas el curso pasado, la función
u : [0,+∞]→ R es tal que u ∈ D.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Aplicando la transformada de Laplace a (10) se obtiene
znL(u)(z)− (zn−1c0 + · · ·+ zcn−2 + cn−1)+
an−1z
n−1L(u)(z)− an−1(zn−2c0 + · · ·+ zcn−3 + cn−2) + . . .
a1zL(u)(z)− a1c0 + a0L(u)(z) = L(f )(z)
La igualdad anterior puede reescribirse de la forma
P(z)L(u)(z) = F (z) + Q(z)
donde F : D → C, P : C→ C y Q : C→ C son las funciones
definidas por
F (z)L(f )(z), P(z) = zn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0,
Q(z) = c0z
n−1 + (c1 + an−1c0)z
n−2 + (c2 + an−1c1 + an−2c0)z
n−3+
· · ·+ (cn−1 + an−1cn−2 + an−2cn−3 + · · ·+ a2c1 + a1c0).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
El polinomio P es el polinomio caracteŕıstico de la ecuación y, por
tanto, sólo depende de los coeficientes de la ecuación diferencial.
El polinomio Q depende de los coeficientes de la ecuación
diferencial y de las condiciones iniciales.
La transformada de Laplace de la solución verifica
L(u)(z) = F (z)
P(z)
+
Q(z)
P(z)
De las expresiones obtenidas para P y Q se comprueba que
Q(z)
P(z)
es una función racional propia, por tanto, su transformada inversa
se puede obtener aplicando el teorema de los residuos en la integral
que aparece al utilizar la fórmula de inversión.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
De la propiedades de la transformada de Lapalce del producto de
convolución se obtiene que la solución de la ecuación diferencial
puede escribirse como
u(x) = f ∗ L−1( 1
P(z)
) + L−1(Q(z)
P(z)
)
Nótese que la transformada inversa de
1
P(z)
se puede obtener
aplicando el teorema de los residuos en la integral que aparece al
utilizar la fórmula de inversión.
El término f ∗ L−1( 1P(z) ) es una solución particular de la ecuación
con condiciones iniciales nulas mientras que L−1(Q(z)
P(z)
) es la
solución de la ecuación homogénea con las condiciones iniciales
dadas.
Mr. X Ampliación de Matemáticas.Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
La transformada de Laplace proporciona un criterio muy sencillo
para conocer ĺım
x→+∞
u(x) para ecuaciones homogéneas.
Este criterio se formula del siguiente modo. La solución de (10)
con f ≡ 0 verifica la igualdad ĺım
x→+∞
u(x) = 0 si y sólo si todos lo
ceros del polinomio P tienen parte real negativa. De la definición
de P se deduce que la condición ĺım
x→+∞
u(x) = 0 no depende de las
condiciones iniciales sino que depende exclusivamente de los
coeficientes de la ecuación.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
La transformada de Laplace también puede aplicarse a sistemas de
ecuaciones de primer orden.
Sean A una matriz cuadrada de tamaño n cuyos elementos son
constantes, u : [0,+∞[→ Rn, f : [0,+∞[→ Rn una función tal
que sus funciones coordenadas fj ∈ D j = 1, . . . , n y c un vector
dado de Rn.
Considérese el problema de Cauchy
du
dx
(x) = Au(x) + f(x), u(0) = c. (11)
Aplicando la transformada de Laplace al sistema anterior se obtiene
zL(u)− c = AL(u) + L(f).
Despejando L(u) de la ecuación anterior
L(u) = (zI − A)−1(L(f) + c),
donde I es la matriz identidad de tamaño n.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
De la regla de Cramer se deduce que todos los elementos de la
matriz (zI − A)−1 son funciones racionales propias.
Tomando la transformada inversa en la igualdad anterior y
teniendo en cuenta las propiedades de la transformada de Laplace
u = L−1((zI − A)−1) ∗ f + L−1((zI − A)−1)c
Sea Φ : [0,+∞[→Mn×n(C) la función definida por la igualdad
Φ(x) = L−1((zI − A)−1)(x). La función u verifica
u = Φ ∗ f + Φc,
Por tanto, Φ es una matiz fundamental de (11). Además, el
producto de convolución corresponde a la fórmula de la variación
de las constantes. La función Φc es la solución de la homogénea
que cumple las condiciones iniciales dadas por el problema de
Cauchy y Φ ∗ f es una solución particular cuyas condiciones
iniciales son nulas.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 26.
Sea f : [0,+∞[→ R la función definida por la igualdad
f (x) = H(x)− H(x − 1). Considérese el problema de Cauchy
definido por
d2u
dx2
(x) + 2
du
dx
(x) + 5u(x) = f (x)
u(0) = c0,
du
dx
(0) = c1.
Reducir la ecuación anterior a un sistema de primer orden. Obtener
la solución del sistema mediante la transformación de Laplace.
Sean u : [0,+∞[→ R2 ls función cuyas funciones coordenadas
están dadas por
u1(x) = u(x), u2(x) =
du1
dx
(x) para todo x ∈: [0,+∞[
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
y f : [0,+∞[→ R2 ls función cuyas funciones coordenadas están
dadas por
f1(x) = 0, f2(x) = H(x)− H(x − 1) para todo x ∈: [0,+∞[
La ecuación de segundo orden es equivalente al sistema
du
dx
(x) =
(
0 1
−5 −2
)
u(x) + f(x) u(0) =
(
c0
c1
)
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación anterior se
obtiene
L(u(x))(z)−
(
c0
c1
)
=
(
0 1
−5 −2
)
L(u(x))(z) + L(f(x))(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
De donde se obtiene
L(u(x))(z) =
(
z −1
5 z + 2
)−1((
c0
c1
)
+ L(f(x))(z).
)
Calculando la matriz inversa (mediante operaciones elementales, o
matriz de los cofactores traspuesta dividida por el determinante),
se llega a
L(u(x))(z) = 1
z2 + 2z + 5
(
z + 2 1
−5 z
)((
c0
c1
)
+ L(f(x))(z).
)
Se obtiene en primer lugar la transformada de Laplace de la
solución de la ecuación homogénea
L(u1h(x))(z) =
1
z2 + 2z + 5
((z + 2)c0 + c1) =
1
z2 + 2z + 5
((z + 1)c0 + c0 + c1).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Tal como enseña la teoŕıa L(u1h(x))(z) es una función racional
propia.
De acuerdo con la fórmula de inversión de la transformada de
Laplace para funciones racionales propias
u1h(x) = c0(Res(
(z + 1) exp(zx)
z2 + 2z + 5
, z1) + Res(
(z + 1) exp(zx)
z2 + 2z + 5
, z2))+
(c0 + c1)(Res(
exp(zx)
z2 + 2z + 5
, z1) + Res(
exp(zx)
z2 + 2z + 5
, z2)).
donde z1 = −1 + 2i y z2 = z1. Teniendo en cuenta que x es un
número real positivo
u1h(x) = c0(
2i exp((−1 + 2i)x)
4i
+ c.c.)+
(c0 + c1)(
exp((−1 + 2i)x)
4i
+ c .c)
donde c .c . significa complejo conjugado.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Es decir
u1h(x) = c0 exp(−x) cos(2x) +
(c0 + c1)
2
exp(−x) sin(2x).
Para obtener una solución particular hay que obtener
L(H(x)− H(x − 1))(z). Teniendo en cuenta que L(H(x))(z) = 1
z
y de las propiedades de la transformada de Laplace se obtiene
L(u1p(x))(z) =
1
z2 + 2z + 5
(
1
z
− exp(−z)
z
).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Para obtener la función u1p(x) se calcula en primer lugar
L−1( 1
z(z2 + 2z + 5)
)(x). Aplicando la fórmula de inversión de la
transformada de Laplace para funciones racionales propias se
obtiene
L−1( 1
z(z2 + 2z + 5)
)(x) = Res(
exp(zx)
z(z2 + 2z + 5)
, 0)
Res(
exp(zx)
z(z2 + 2z + 5)
,−1 + 2i) + Res( exp(zx)
z(z2 + 2z + 5)
,−1− 2i) =
1
5
+ (
− exp((−1 + 2i)x)
4(2 + i)
+ c .c .) =
1
5
− exp(−x) cos(2x)
5
− exp(−x) sin(2x)
10
≡ v(x).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
De las propiedades de la transformada de Laplace se obtiene
u1p(x) = L−1(
1
z2 + 2z + 5
(
1
z
− exp(−z)
z
))(x) =
v(x)− H(x − 1)v(x − 1).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 27.
Sea f : [0,+∞[→ R una función continua dada tal que f ∈ D.
Considérese el problema de Cauchy definido por
∂u
∂t
(x , t) =
∂2u
∂x2
(x , t) en (x , t) ∈]0,+∞[×]0,+∞[,
u(x , 0) = 0 x ∈]0,+∞[, u(0, t) = f (t) t ∈]0,+∞[.
Aplicando la transformada de Laplace, hallar la solución del
problema anterior.
Se buscan soluciones del problema de Cauchy tales que admitan
transformada de Laplace. Sea
L(u)(x , s) =
∫ +∞
0 u(x , t) exp(−st)dt, es decir, la transformada de
Laplace de la función u con respecto a la variable t.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial y
teniendo en cuenta las condiciones iniciales
sL(u)(x , s) = ∂
2L(u)
∂x2
(x , s).
Integrando la ecuación anterior se obtiene
L(u)(x , s) = C1 exp(−
√
sx) + C2 exp(
√
sx).
Puesto que se buscan soluciones acotadas en x
L(u)(x , s) =
∫ +∞
0 u(x , t) exp(−st)dt, también ha de estar acotada
para cada valor de s. Por tanto, C2 = 0. Imponiendo la condición
de contorno
L(u)(0, s) = L(f )(s),
se obtiene
L(u)(x , s) = L(f )(s) exp(−
√
sx).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Teniendo en cuenta que (ver Ejercicio 25)
L−1(exp(−
√
sx))(t) =
x
2
√
πt3
exp(
−x2
4t
)
y de las propiedades de la transformada de Laplace
u(x , t) =
x
2
√
π
∫ t
0
f (t − u)√
u3
exp(
−x2
4u
)du. (12)
Es instructivo comprobar que la función dada por (12) cumple la
condición de contorno u(0, t) = f (t) para t ∈]0,+∞[. Para ello
hay que calcular el ĺım
x→0+
u(x , t).
Haciendo el cambio de variable σ =
x2
4u
en (12) se obtiene
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Transformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
u(x , t) =
x
2
√
π
∫ +∞
x2
4σ
f (t − x24σ )
x
√
σ
exp(−σ)dσ. (13)
de donde
ĺım
x→0+
u(x , t) =
x
2
√
π
∫ +∞
0
f (t)
x
√
σ
exp(−σ)dσ+
ĺım
x→0+
x
2
√
π
∫ +∞
x2
4σf (t − x24σ )− f (t)
x
√
σ
exp(−σ)dσ = f (t). (14)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 28.
Sean c un número real dado y f : R→ R una función continua tal
que
∫ +∞
−∞ |f (x)|dx es convergente. Considérese el problema de
Cauchy definido por
∂u
∂t
(x .t) =
∂2u
∂x2
(x , t) + cu(x .t) en (x , t) ∈ R×]0,+∞[
u(x , 0) = f (x)
Aplicando la transformada de Fourier, hallar la solución del
problema anterior. Para f : R→ R definida mediante la igualdad
f (x) = 1 si |x | ≤ 1 y f (x) = 0 si |x | > 1, obtener la solución del
problema anterior en términos de la función de error. Se buscan
soluciones del problema de Cauchy tales que admitan transformada
de Fourier. Sea û(ω, t) ≡
∫ +∞
−∞ f (x) exp(−iωx)dx , es decir, la
transformada de Fourier en la variable x de u(x .t)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Aplicando la transformada de Fourier a la ecuación diferencial
∂û
∂t
(ω.t) = −ω2û(ω, t) + cû(ω, t)
Integrando la ecuación anterior, que es una ecuación diferencial
ordinaria en la variable t, se obtiene
û(ω, t) = C1 exp(−ω2t) exp(ct)
Imponiendo la condición inicial
û(ω, 0) = F(f (x))(ω)
se obtiene
û(ω, t) = F(f (x)) exp(−ω2t) exp(ct)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Teniendo en cuenta que
F−1(
√
2π
a
exp(−ω
2
2a
)) = exp(
−ax2
2
)
F−1(exp(−ω2t)) = 1
2
√
πt
exp(−x
2
4t
).
y de las propiedades de la transformada de Fourier
u(x , t) = exp(ct)
1
2
√
πt
∫ +∞
−∞
f (y) exp(
−(x − y)2
4t
)dy . (15)
Es instructivo comprobar que ĺım
t→0+
u(x , t) = f (x).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Haciendo el cambio de variable
(x − y)
2
√
t
= s en la integral del
segundo miembro de (15) se obtiene
u(x , t) =
exp(ct)√
π
∫ +∞
−∞
f (x − 2
√
ts) exp(−s2)ds =
f (x) exp(ct)
2
2√
π
∫ +∞
−∞
exp(−s2)ds+
exp(ct)√
π
∫ +∞
−∞
(f (x − 2
√
ts)− f (x)) exp(−s2)ds. (16)
Tomando ĺımites en (16)
ĺım
t→0+
u(x , t) = f (x).
Esta última afirmación es correcta, pero no es evidente y requiere
una demostración.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Si f es la función definida mediante la igualdad f (x) = 1 si |x | ≤ 1
y f (x) = 0 si |x | > 1, entonces (15) se reduce a
u(x , t) = exp(ct)
1
2
√
πt
∫ 1
−1
exp(
−(x − y)2
4t
)dy .
Haciendo el cambio de variable s =
x − y
2
√
t
en la integral que
aparece en el segundo miembro de la iguladad anterior se obtiene
u(x , t) = exp(ct)
1√
π
∫ x+1
2
√
t
x−1
2
√
t
exp(−s2)ds =
exp(ct)
2
(erf(
x + 1
2
√
t
)− erf(x − 1
2
√
t
)).
Nótese que la función u es de clase C∞(R×]0,+∞[) y u(x , 0) es
una función discontinua. En otras palabras, el núcleo del calor
tiene un efecto regularizante.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 29.
Sean c un número real dado y f : R→ R una función continua tal
que
∫ +∞
−∞ |f (x)|dx es convergente. Considérese el problema de
Cauchy definido por
∂u
∂t
=
∂2u
∂x2
+ c
∂u
∂x
en (x , t) ∈ R×]0,+∞[
u(x , 0) = f (x) para x ∈ R
Aplicando la transformada de Fourier, hallar la solución del
problema anterior.
Se buscan soluciones del problema de Cauchy tales que admitan
transformada de Fourier. Sea û(ω, t) ≡
∫ +∞
−∞ f (x) exp(−iωx)dx , es
decir, la transformada de Fourier de u(x .t)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Aplicando la transformada de Fourier a la ecuación diferencial
∂û
∂t
(ω, t) = −ω2û(ω, t) + iωcû(ω, t)
Integrando la ecuación anterior, que es una ecuación diferencial
ordinaria en la variable t, se obtiene
û(ω, t) = C1 exp(ω(c i− ω)t)
Imponiendo la condición de contorno
û(ω, 0) = F(f (x))
se obtiene
û(ω, t) = F(f (x)) exp(ω(c i− ω)t)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Teniendo en cuenta que
F−1(F(f (x)) exp(−ω2t)) exp(iωct))(x) =
F−1(F(f (x)) exp(−ω2t))(x − ct)
F−1(exp(−ω2t)) = 1
2
√
πt
exp(−x
2
4t
).
y de las propiedaes de la transformada de Fourier
u(x , t) =
1
2
√
πt
∫ +∞
−∞
f (x − ct − v) exp(−v
2
4t
)dv .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 30.
Sean c un número real dado y f : R→ R una función continua tal
que
∫ +∞
−∞ |f (x)|dx es convergente. Considérese el problema de
Cauchy definido por
∂u
∂t
=
∂2u
∂x2
+ c
∂u
∂x
en (x , t) ∈ R×]0,+∞[
u(x , 0) = exp(−x2) para x ∈ R
Aplicando la transformada de Fourier, hallar la solución del
problema anterior.
Se buscan soluciones del problema de Cauchy tales que admitan
transformada de Fourier. Sea û(ω, t) ≡
∫ +∞
−∞ f (x) exp(−iωx)dx , es
decir, la transformada de Fourier de u(x .t)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Aplicando la transformada de Fourier a la ecuación diferencial
∂û
∂t
(ω, t) = −ω2û(ω, t) + iωcû(ω, t)
Integrando la ecuación anterior, que es una ecuación diferencial
ordinaria en la variable t, se obtiene
û(ω, t) = C1 exp(ω(c i− ω)t)
Imponiendo la condición de contorno
û(ω, 0) = F(exp(−x2)) =
√
π exp(−ω
2
4
),
se obtiene
û(ω, t) =
√
π exp(−ω
2
4
) exp(ω(c i− ω)t) =
√
π exp(−ω
2(1 + 4t)
4
) exp(iωct)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Teniendo en cuenta que
F−1(
√
π exp(−ω
2(1 + 4t)
4
) exp(iωct))(x) =
F−1(
√
π exp(−ω
2(1 + 4t)
4
))(x − ct)
y que
F−1(
√
π exp(−ω
2(1 + 4t)
4
))(x) =
√
1 + 4t exp(− x
2
√
1 + 4t
).
Por tanto,
u(x , t) =
√
1 + 4t exp(−(x − ct)
2
√
1 + 4t
).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
EJERCICIO 31.
Sea f : R→ R una función continua tal que
∫ +∞
−∞ |f (x)|dx es
convergente. Considérese el problema de Dirichlet y definido por
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0 en (x , y) ∈ R×]0,+∞[,
u(x , 0) = f (x) para x ∈ R.
Aplicando la transformada de Fourier, hallar la solución del
problema anterior.
Se buscan soluciones del problema de Dirichlet para la ecuación de
Laplace tales que admitan transformada de Fourier. Sea
û(ω, t) ≡
∫ +∞
−∞ f (x) exp(−iωx)dx , es decir, la transformada de
Fourier de u(x .t).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Aplicando la transformada de Fourier a la ecuación diferencial
−ω2û(ω, y) + ∂
2û
∂y2
= 0
Integrando la ecuación anterior, que es una ecuación diferencial
ordinaria en la variable y , se obtiene
û(ω, y) = C1 exp(−|ω|y)
Imponiendo la condición de contorno
û(ω, 0) = F(f (x))
se obtiene
û(ω, t) = F(f (x)) exp(−|ω|y)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Teniendo en cuenta que
F−1(exp(−|ω|y)) = y
π(x2 + y2)
(ver Ejercicio 2).
De las propiedades de la transformada de Fourier
u(x , y) =
1
π
∫ +∞
−∞
f (u)
y
(x − u)2 + y2
du. (17)
Es instructivo comprobar que la función definida por (17) es tal que
ĺım
y→0+
u(x , y) = f (x).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Transformadas de Fourier y de Laplace
Tranformada Laplace.
∫ +∞
0 f (z) exp(−sz)dz
Haciendo el cambio de variable
u − x
y
= s en la integral del
segundo miembro de (17) se obtiene
u(x , y) =
1
π
∫ +∞
−∞
f (x + sy)
1
s2 + 1
ds =
f (x)
π
∫ +∞
−∞
1
s2 + 1
ds +
1
π
∫ +∞
−∞
f (x + sy)− f (x)
s2 + 1
ds. (18)
Tomando ĺımites en la igualdad (18) se obtiene
ĺım