S11 s1 - LA TRANFORMADA DE LAPLACE

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LA TRANFORMADA DE LAPLACE
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión el estudiante podrá encontrar 
la Transformada de Laplace de una función”
TRANSFORMADA DE LAPLACE
TRANSFORMADA 
DE LAPLACE
Definición y 
Propiedades
1Definición
TRANSFORMADA DE LAPLACE
𝓛 𝑓(𝑡) = න
0
∞
𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑠 = 𝐹(𝑠)
Sea 𝑓 una función definida para 𝑡 > 0. Entonces se dice 
que la integral 
Es la transformada de Laplace de 𝑓, siempre que la integral 
sea convergente. Cuando la integral converge, el resultado 
es una función de 𝑠.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
¿Cuál es su utilidad?
La transformada de Laplace, sirve para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
✓ Sistemas mecánicos, circuitos eléctricos.
✓ Ecuaciones diferenciales que modelan la evolución de algún situación.
✓ Procesos de automatización
Entre otras.
Ejemplo 1. Hallar la transformada de la función 𝑓 𝑡 = 𝑡.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
𝓛 𝑓 𝑡 = 𝑡 = න
0
∞
𝑡𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
• 𝑢 = 𝑡 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
• 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 → 𝑣 = −𝑒
−𝑠𝑡
𝑠
𝓛 𝑓 𝑡 = 𝑡 = න
0
∞
𝑡𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑏→∞
න
0
𝑏
𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
lim
𝑏→∞
න
0
𝑏
𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = lim
𝑏→∞
−
𝑡𝑒−𝑡𝑠
𝑠
− lim
𝑏→∞
න
0
𝑏
−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
𝑑𝑡
= 0 − lim
𝑏→∞
1
𝑠
න
0
𝑏
𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = −
1
𝑠
lim
𝑏→∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
Siempre que 𝑠 > 0. Para el caso cuando 𝑠 < 0 no hay convergencia. Por tanto la transformada 
de Laplace es:
𝓛 𝑓 𝑡 = 𝑡 =
1
𝑠2
, 𝑠 > 0
𝑏
0
= −
1
𝑠
lim
𝑏→∞
𝑒−𝑠𝑏 − 1
𝑠
=
1
𝑠2
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo 2. Hallar la transformada de Laplace de la siguiente función.
𝑓 𝑡 = ቊ
0, 𝑠𝑖 𝑡 ∈ (0,2)
𝑡, 𝑠𝑖 𝑡 ∈ [2,∞)
Ejemplo 3. Hallar la transformada de Laplace de la función 𝑓 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡).
𝓛 𝑓(𝑡) = න
0
2
0𝑑𝑡 + න
2
∞
𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 𝑒2𝑠
1 + 2𝑠
𝑠2
; s > 0
𝓛 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = න
0
∞
𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑢 = 𝑒−𝑠𝑡 , 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒−𝑠𝑡; 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 𝑣 = − cos 𝑡
𝓛 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = lim
𝑏→∞
−cos 𝑡 𝑒−𝑠𝑡 − lim
𝑏→∞
න
0
𝑏
𝑠 cos 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
𝓛 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 1 − 𝑠 lim
𝑏→∞
න
0
∞
cos 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 1 − 𝑠2න
0
∞
𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝓛 𝑓 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) =
1
1 + 𝑠2
; s > 0
.
LA TRANFORMADA DE LAPLACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUNAS 
FUNCIONES
𝒇(𝒕) 𝓛 𝒇(𝒕) = 𝑭(𝒔)
𝑘 𝑘
𝑠
𝑡 1
𝑠2
𝑡𝑛(𝑛 = 1,2,3, … ) 𝑛!
𝑠𝑛+1
𝑒𝑎𝑡 1
𝑠 − 𝑎
cos(𝑎𝑡) 𝑠
𝑠2 + 𝑎2
𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) 𝑎
𝑠2 + 𝑎2
𝒇(𝒕) 𝓛 𝒇(𝒕) = 𝑭(𝒔)
cosh(𝑎𝑡) 𝑠
𝑠2 − 𝑎2
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) 𝑎
𝑠2 − 𝑎2
𝑡𝑛𝑒𝑎𝑡(𝑛 = 0,1,2, … ) 𝑛!
𝑠 − 𝑎 𝑛+1
𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 − 𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) 2𝑎3
𝑠2 + 𝑎2 2
Datos/Observaciones
Propiedades de la Transformada de 
Laplace
Sea 𝑓 𝑡 , 𝑔(𝑡) funciones y 𝛼, 𝛽 números reales.
• Linealidad
• Contracción.
• Traslación en el 
eje "𝑆"
Propiedades de la Transformada de Laplace
TRANSFORMADA DE LAPLACE
¿En todos estos 
casos, cuál es el 
dominio de “s”?
• Multiplicación por 
𝑡.
• Integral de la 
Transformada.
• Transformada de un 
derivada.
• Transformada de 
una integral.
Ejemplo 4. Calcular la transformada de Laplace de las siguiente función.
➢ 𝑓 𝑡 = 4𝑡2 − 5𝑠𝑒𝑛(3𝑡)
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
¿Aquí aplicamos las 
propiedades de la
Transformada de 
Laplace ?
𝓛 𝑓(𝑡) = න
0
∞
4𝑡2 − 5𝑠𝑒𝑛(3𝑡) 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
𝓛 𝑓(𝑡) = 4න
0
∞
𝑡2𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 − 5න
0
∞
𝑠𝑒𝑛(3𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
𝓛 𝑓(𝑡) = (4)
2
𝑠3
− (5)
3
𝑠2 + 9
𝓛 𝑓(𝑡) = 4𝓛 𝑡2 − 5𝓛 𝑠𝑒𝑛(3𝑡)
𝓛 𝑓(𝑡) =
8
𝑠3
−
15
𝑠2 + 9
Ejemplo 5. Hallar la transformada de Laplace de las siguiente función.
➢ 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑡𝑠𝑒𝑛2(𝑡)
TRANSFORMADA DE LAPLACE
𝓛 𝑓(𝑡) = 𝓛 𝑒−𝑡
1 − cos(2𝑡)
2
=
1
2
𝓛 𝑒−𝑡 −
1
2
𝓛 𝑒−𝑡cos(2𝑡)
𝓛 𝑓(𝑡) =
1
2
1
𝑠 + 1
−
1
2
𝓛 cos(2𝑡) 𝑠→𝑠+1
𝓛 𝑓(𝑡) =
1
2
1
𝑠 + 1
−
1
2
(𝑠 + 1)2
(𝑠 + 1 )2+4
𝓛 𝑓(𝑡) =
1
2
1
𝑠 + 1
−
1
2
𝑠
𝑠2 + 4 𝑠→𝑠+1
𝓛 𝑓(𝑡) =
1
2
1
𝑠 + 1
−
𝑠2 + 2𝑠 + 1
𝑠2 + 2𝑠 + 5
𝓛 𝑓(𝑡) =
1
2
𝑠2 + 2𝑠 + 5 − 𝑠2 − 2𝑠 − 1
(𝑠 + 1) 𝑠2 + 2𝑠 + 5
𝓛 𝑓(𝑡) =
1
2
4
𝑠 + 1 𝑠2 + 2𝑠 + 5
𝓛 𝑓(𝑡) =
2
𝑠 + 1 𝑠2 + 2𝑠 + 5
Ejemplo 6. Calcular la transformada de Laplace de la siguiente función.
➢ f t = t sen(5t)
➢ 𝑓 𝑡 = 𝑡 ׬
0
𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝑟 𝑑𝑟
Aplicamos la propiedad de multiplicación
por un 𝑡.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
= −
𝑑
𝑑𝑠
5
𝑠2 + 25
𝓛 𝑡 𝑠𝑒𝑛(5𝑡) = −
𝑑
𝑑𝑠
𝐹 𝑠
=
10𝑠
𝑠2 + 25 2
= − −
5(2𝑠)
𝑠2 + 25 2
𝓛 𝑡 න
0
𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝑟 𝑑𝑟 = −
𝑑
𝑑𝑠
𝓛 න
0
𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝑟 𝑑𝑟
= −
𝑑
𝑑𝑠
1
𝑠
∙
1
𝑠2 + 1
= −
𝑑
𝑑𝑠
1
𝑠3 + 𝑠
= − −
3𝑠2 + 1
𝑠2 𝑠2 + 1 2
=
3𝑠2 + 1
𝑠2 𝑠2 + 1 2
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Saber identificar y 
aplicar las 
propiedades de la 
Transformada.
2. Recordar como 
calcular integrales 
impropias.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia en la vida 
cotidiana de las 
ecuaciones 
diferenciales.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO
RESPUESTA: 
𝟏
(𝒔−𝟑)
(𝒔−𝟑)𝟐−𝟏𝟔
𝒔−𝟑 𝟐+𝟏𝟔
𝟐
Hallar la transformada de Laplace de:
𝑓 𝑡 = 𝑒3𝑡න
0
𝑡
𝑡 ∙ cos 4𝑡 𝑑𝑡
EJERCICIOS ADICIONALES.
5. Hallar la transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑡 ∙ cos 3𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛(3𝑡).
SOLUCION.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
𝓛 𝑓(𝑡) = 𝓛 cos 3𝑡 𝑠𝑒𝑛(3𝑡)
𝑠→𝑠−1
𝓛 cos 3𝑡 𝑠𝑒𝑛(3𝑡) =
1
2
𝓛 𝑠𝑒𝑛(6𝑡)
=
1
2
6
𝑠2 + 36
=
3
𝑠2 + 36
𝓛 𝑓(𝑡) =
3
𝑠 − 1 2 + 36
=
3
𝑠2 − 2𝑠 + 37
EJERCICIOS ADICIONALES.
6. Si 𝓛 𝑓(𝑡) =
𝑒
−
3
𝑠
𝑠2−4
, hallar 𝓛 𝑓(2𝑡) .
SOLUCIÓN.
• PROPIEDAD(Cambio de escala).
LA TRANFORMADA DE LAPLACE
𝑆𝑖 𝓛 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑠 𝑦 𝑎 > 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝓛 𝑓(𝑎𝑡) =
1
𝑎
𝐹
𝑠
𝑎
Datos/Observaciones