MS_5_Repaso_Elasticidad_lineal_v8_corta

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Mecánica de Sólidos 
Francisco Javier Montáns 
5. Elasticidad lineal 
(la mayor parte, repaso 3 horas) 
 
“At the end of the year 1820 the fruit of all the ingenuity expended on elastic 
problems might be summed up as – an inadequate theory of flexure, an 
erroneous theory of torsion, an unproved theory of the vibrations of bars and 
plates, and the definition of Young’s modulus” 
Augustus Edward Hough Love (1863-1940) en 1927 
Augustin Louis 
Cauchy 1789-
1857 
Mecánica de Sólidos 
INDICE 
1. El problema de contorno: ecuación de comportamiento 
2. Ecuación de comportamiento de la elasticidad lineal 
3. Ecuación de comportamiento de la termo-elasticidad lineal 
4. Analogía de Duhamel-Neumann 
5. El problema de contorno: métodos de resolución 
6. Planteamiento del problema de contorno por potenciales 
7. Principios de superposición y de unicidad de la solución elástico-
lineal 
8. Elasticidad bidimensional: deformación y tensión plana 
9. Elasticidad bidimensional: ecuaciones unificadas 
10. Elasticidad bidimensional: ecuaciones en coordenadas polares 
11. Resolución del problema por potenciales 
12. Ecuaciones de comportamiento en elasticidad lineal anisótropa: 
Módulos de elasticidad aparentes. Coeficientes de Lekhnitskii y de 
Chentov 
Elasticidad lineal 2 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA 
• El problema de contorno 
Elasticidad lineal 3 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA 
Elasticidad lineal 4 
• El problema de contorno: planteamiento 
Caso estático: 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA 
• Motivaciones 1D 
– El comportamiento real es general y difícil de interpretar al incluir multitud de 
variables de carácter tensorial. Con frecuencia no existen ni siquiera suficientes 
ensayos experimentales que caractericen adecuadamente el material. Por ello: 
• Se crean “modelos” basados en observaciones experimentales, generalmente 
unidimensionales, generalizándolos a 3D (generalizaciones no obvias) de 
forma que, al menos, se reproduzcan los ensayos existentes de manera 
satisfactoria (es decir, como mejor se pueda) 
• Se desprecian aquellas variables que en un problema o material determinado 
no influyen (o se cree que no influyen) de manera relevante en el 
comportamiento observado (¡hace falta experiencia y entendimiento físico!) 
Ecuación constitutiva general 
Forma alternativa de ecuación constitutiva general 
Elasticidad lineal 5 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA 
• Modelos de ecuación de comportamiento o constitutiva (“constitutive equation”) 
Ecuación constitutiva general 
Ecuación constitutiva de un fluido 
Ecuación constitutiva de un sólido elástico 
Ecuación constitutiva de un sólido termoelástico 
Ecuación constitutiva de un sólido viscoelástico 
Ecuación constitutiva de un sólido elastoplástico 
Ecuación constitutiva de un sólido termo-elastoplástico 
Ecuación constitutiva de un sólido viscoplástico 
Structural engineering is the art of modelling materials we do not wholly understand 
into shapes we cannot precisely analyse so as to withstand forces we cannot properly 
assess in such a way that the public at large has no reason to suspect the extent of our 
ignorance. 
 A. R. Dykes in the 1946 Chairman’s Address to the Scottish Branch of the IStructE 
Elasticidad lineal 6 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA 
• Ejemplos 
𝜎 
𝜀 
 
𝜎 
𝜀 
 
𝜎 
𝜀 
 
𝜀1̇ 
𝜀2̇ 
𝜀3̇ 
𝜎 
𝜀 
 
𝜀1̇ 
𝜀2̇ 
𝜀3̇ 
𝜎 
𝜀 
 
𝜎 
𝜀 
 
(Hiper-)Elasticidad Viscoelasticidad Plasticidad 
Daño Viscoplasticidad 
Elasticidad 
Lineal 
Elasticidad lineal 7 
Mecánica de Sólidos 
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL 
• Comportamiento en elasticidad lineal (repaso) 
– Ley de Hooke uniaxial 
 
 
 
– Ley de Hooke tridimensional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Elasticidad lineal 8 
S S 
E= módulo de Young, 𝜈 = coef. Poisson 
Mecánica de Sólidos 
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL 
• Ejercicio: 
– Escribir la representación matricial de los tensores , 
 donde 
Comportamiento en elasticidad lineal isótropa (repaso) 
Deberes: 
hacerlo en 
pseudovectorial 
Solución (Voigt): 
 Elasticidad lineal 9 
Mecánica de Sólidos 
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL 
• Formas alternativas (descomposición en parte volumétrica y desviadora) 
Tensor de flexibilidades 
elásticas isótropo 
 Elasticidad lineal 10 
Mecánica de Sólidos 
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL 
• Ecuaciones en notación de Voigt 
36 -> 21 const. Hiperelasticidad (sólidos de Green) 
 
Tensor de constantes elásticas o de rigidez 
Simetrías mayores y menores 
 Elasticidad lineal 11 
Mecánica de Sólidos 
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL 
• Ecuaciones en notación pseudovectorial 
 Elasticidad lineal 12 
Mecánica de Sólidos 
ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL 
• Relación entre las constantes elásticas isótropo-lineales más habituales 
 Elasticidad lineal 13 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 
• El problema de contorno elástico-lineal isótropo 
 
 
 
 
 
 
• El problema de contorno termoelástico-lineal isótropo 
 Elasticidad lineal 17 
Igual Sistema de EDPs 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 
• Métodos de resolución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– Métodos analíticos: resuelven problemas fundamentales, importantes, de forma exacta, 
pero para geometrías y cargas sencillas. Normalmente problemas lineales. Poco habitual 
actualmente en la práctica ingenieril. Las soluciones más importantes están en los manuales. 
El más usado es el de funciones de Airy. 
– Métodos numéricos: muy generales, se resuelve cualquier geometría y cargas, cualquier 
comportamiento (lineal o no-lineal), aproximados pero con errores numéricos despreciables. 
El mas usado es el Método de los Elementos Finitos. Extensivamente usado en las ingenierías. 
 Elasticidad lineal 18 
El adecuado 
depende de las 
condiciones de 
contorno 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 
• Ejemplo por integración directa 
– Calcular las tensiones y deformaciones de un depósito esférico de pared gruesa y 
comparar la solución con la obtenida por la teoría de Resistencia de Materiales (pared 
delgada) 
 Elasticidad lineal 19 
Solución: 
Resistencia de Materiales: 
Teoría de la elasticidad: 
• Fuerzas de volumen: se desprecian frente a las demás 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 
 Elasticidad lineal 20 
• Ejemplo por integración directa (cont) 
• Hipótesis sobre la forma de la solución (i.e. método semi-inverso) 
 
 
• Fuerzas de volumen: se desprecian frente a las demás 
• Condiciones de contorno: Sólo condiciones cont. de Neumann 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 
 Elasticidad lineal 21 
• Ejemplo por integración directa (cont) 
• Ecuaciones de compatibilidad sobre deformaciones no nulas 
(en coordenadas cilíndricas por geometría del problema): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Deformaciones nula por geometría del problema 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 
 Elasticidad lineal 22 
• Ejemplo por integración directa (cont) 
• Ecuaciones de comportamiento 
 
 
 
 
• Ecuaciones de equilibrio (en coordenadas cilíndricas por 
geometría del problema). La única que no se cumple 
idénticamente es la radial: 
 
 
 
• Ecuación de campo Sustituyendo las tensiones en la ecuación 
de equilibrio se obtiene la ecuación de campo (en este caso 
también recibe el nombre de ecuación de Navier) 
 
E.D. ordinaria tipo Euler 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 
 Elasticidad lineal 23 
• Ejemplo por integración directa (cont) 
• Resolución de la EDO 
 
E.D. coef.ctes 
Condiciones 
de contorno 
Ecuación de comportamiento 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 
 Elasticidad lineal 24 
• Ejemplo por integración directa (cont) 
• Imposición de las c.c. en la solución 
 
Deberes: verificar que converge a la solución de R.M. cuando con 
Deberes: Calcular los valores extremos de la tensión circunferencial 
(*) 
(*) 
Mecánica de Sólidos 
EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 
 Elasticidad lineal 25 
• Solución de un problema usando la de otro similar 
Oclusión en un medio infinito bajo presión 
Efecto concentrador de tensiones de una oclusión: 
Mecánica de Sólidos 
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES 
• Ecuaciones de Navier: planteamiento del problema en desplazamientos 
 Elasticidad lineal 26 
como 
Forma alternativa: 
Problema de 
contorno: 
Equilibrio 
Mecánica de Sólidos 
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES 
• Ejercicio: Obtener las ecuaciones de Navier para el caso incompresible 
 
 Elasticidad lineal 27 
Solución: 
Para el caso incompresible la presión no viene determinada por la ecuación de 
comportamiento, sino directamente por equilibrio (ojo criterio de signos de la presión) 
Forma alternativa (deberes) 
Mecánica de Sólidos 
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES 
• Ecuaciones de Beltrami-Michell: planteamiento del problema en tensiones 
 Elasticidad lineal 28 
Tomando el gradiente de la ecuación de Navier 
Traspuesta 
Sumándolas 
Usando compatibilidad cinemática y 
Ecuaciones de compatibilidad 
en deformaciones 
Ec. comportamiento 
Mecánica de Sólidos 
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES 
• Ecuaciones de Beltrami-Michell (cont) 
 Elasticidad lineal 29 
Usando 
Extrayendo 
la traza 
Ecuaciones de compatibilidad 
en tensiones (Ec. Michell) 
Caso habitual: 
Ecuaciones de Beltrami 
Mecánica de Sólidos 
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES 
• Ecuaciones de Beltrami-Michell (cont) 
 Elasticidad lineal 30 
Compatibilidad 
en tensiones 
Equilibrio en 
tensiones 
Fáciles de cumplir 
Difíciles de cumplir 
Problema de contorno en tensiones 
Mecánica de Sólidos 
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL 
• Elasticidad bidimensional: Una gran parte de problemas se pueden resolver, al menos de 
forma aproximada en el plano. En estos casos, si se resuelve el problema analíticamente, el 
número de ecuaciones a resolver se reduce considerablemente (así como su dificultad), y si se va a 
resolver numéricamente, el coste computacional se reduce en un orden de magnitud. Existen dos 
casos: 
 Deformación plana (y axisimétrico) y Tensión plana. 
 
 Elasticidad lineal 34 
Se desacoplan los análisis 
en el plano XY y en la 
dirección Z, despreciándose 
él cambio en Z 
Mecánica de Sólidos 
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA 
• Deformación plana: 
 
 
 
– Hipótesis, deformaciones 
 
 
– Ecuaciones de comportamiento, tensiones 
 
 
 
 
 
– Equilibrio 
 Elasticidad lineal 35 
Mecánica de Sólidos 
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA 
• Deformación plana (cont) 
– Reducción de las ecuaciones de comportamiento al plano de interés 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Elasticidad lineal 36 
(las tensiones en z no son nulas y se deben calcular) 
Mecánica de Sólidos 
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA 
• Deformación plana (cont) 
– Ecuaciones de Navier en el plano de interés: No cambian 
 
 
– Ecuaciones de Beltrami (compatibilidad en tensiones) en el plano de interés 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Elasticidad lineal 37 
Ecuación de compatibilidad no nula 
± ± (sumando y restando y agrupando términos) 
(Deberes) 
Mecánica de Sólidos 
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA 
• Deformación plana (cont) 
– Reducción de las ecuaciones de comportamiento al plano de interés 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Elasticidad lineal 38 
Mecánica de Sólidos 
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA 
• Tensión plana: 
– Hipótesis 
 
 
 
 Elasticidad lineal 39 
Aprox. 
En el contorno, por tanto 
Mecánica de Sólidos 
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA 
• Tensión plana (cont) 
– Reducción de las ecuaciones de comportamiento al plano de interés 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Elasticidad lineal 40 
sumando 
sumando 
sustituyendo 
Comportamiento 3D: 
(inmediato porque 
 ) 
Mecánica de Sólidos 
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA 
• Tensión plana (cont) 
– Ecuaciones de Navier en el plano de interés: deberes 
 
 
– Ecuaciones de Beltrami (compatibilidad en tensiones) en el plano de interés 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Elasticidad lineal 41 
Ecuación de compatibilidad en el plano 
Ecuaciones de compatibilidad fuera del plano, sólo se cumplen si 
Normalmente no se cumplirán (salvo en distribuciones lineales de tensiones), 
pero se despreciará su incumplimiento (espesores pequeños), 
por lo que la tensión plana es una hipótesis aproximada (a diferencia de la def. plana) 
Mecánica de Sólidos 
ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA 
• Tensión plana (cont) 
– Ecuaciones de Beltrami (cont) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Elasticidad lineal 42 
En tensión plana (deberes): 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
• Ecuaciones generales en notación de Voigt 
sym 
sym 
• Deberes: expresar las ecuaciones en notación pseudovectorial 
 Elasticidad lineal 63 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
• Cambio de sistema de representación 
Nuevo sistema X’ Viejo sistema X 
Matriz de cambio de base del X al X’ 
(la representación matricial de la operación no es obvia) 
• Deberes: Demostrar que el cambio de sistema de representación se puede expresar como 
• Deberes: expresar la matriz de cambio de base en notación pseudovectorial, verificando 
que en este caso es la misma para tensiones y deformaciones 
 Elasticidad lineal 64 
Mecánica de Sólidos 
Anisotropía • Deberes: Demostrar que el cambio de sistema de representación se puede expresar como 
En el caso de deformaciones el 2 está en la caja 
donde 
tal que 
• Deberes: Demostrar que en el caso isótropo, el cambio de base no afecta a la representación 
matricial de la ecuación constitutiva (es invariante) 
 Elasticidad lineal 65 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
Anisotropía • Significado físico de los coeficientes 
Comportamiento uniaxial 
Comportamiento a 
cortante 
Acoplamiento a tracción entre 
direcciones (efecto Poisson) 
Acoplamiento entre extensión y cortante 
Acoplamiento 
cortante-cortante 
Sym 
 Elasticidad lineal 66 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
Anisotropía 
• Significado físico de los coeficientes 
 Elasticidad lineal 67 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
Tipos de anisotropía 
• Materiales monoclínicos: tienen un plano de simetría en el comportamiento (p.e. Z) 
13 constantes 
independientes 
 
Deben ser cero para 
que exista esa simetría, 
ya que la deformación 
o tensión no sería 
simétrica 
 Elasticidad lineal 68 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
• Materiales ortótropos: tienen dos (es decir, tres) planos de simetría ortogonales en el 
comportamiento (p.e. X,Y,Z) 
9 constantes 
independientes 
(materiales 
compuestos) 
Deben ser cero para 
que exista esa simetría, 
ya que la deformación 
o tensión no sería 
simétrica 
 Elasticidad lineal 69 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
Interpretación de los 
coeficientes que 
producen deformaciones 
simétricas y no simétricas 
 Elasticidad lineal 70 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTOEN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
Tipos de anisotropía 
• Materiales transversalmente isótropos: tienen un plano de comportamiento isótropo 
(p.e. Z), caso particular de ortotropía 
5 constantes 
independientes 
(materiales 
compuestos de 
una fibra) 
Deben ser iguales para 
ser isótropo en el plano 
 Elasticidad lineal 71 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
• Materiales isótropos: tienen los tres planos de comportamiento isótropo 
2 constantes 
independientes 
(hipótesis mas 
habitual) 
Deberes: Hacer un cambio a 45º de un ensayo uniaxial y demostar que para obtener 
comportamiento isótropo el término a cortante debe ser 
 Elasticidad lineal 72 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
Ortotropía • Determinación de los coeficientes de flexibilidad en ortotropía 
Dirección de la carga uniaxial 
Por simetría: 
Ensayos uniaxiales en direcciones 1 y 2: 
 Elasticidad lineal 73 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
Ortotropía 
• Determinación de los coeficientes de rigidez en ortotropía 
Restricciones en las constantes: 
(energía elástica siempre positiva) 
Usando las ecuac. anteriores 
 Elasticidad lineal 74 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
Ortotropía en tensión plana • Tensión plana (chapas de metal, materiales compuestos laminados, etc) 
 Elasticidad lineal 75 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
Ortotropía en tensión plana 
• Cambio de sistema de representación: anisotropía aparente 
 Elasticidad lineal 76 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
• Cambio de sistema de representación: Constantes aparentes 
Coeficientes de acoplamiento de Lekhnitskii 
(anisotropía aparente /ortotropía “general”) 
Constantes aparentes 
(más fáciles de medir: ensayo a tracción) 
 Elasticidad lineal 77 
Mecánica de Sólidos 
EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA 
• Cambio de sistema de representación: Constantes aparentes 
 Elasticidad lineal 78 
	5. Elasticidad lineal�(la mayor parte, repaso 3 horas)�
	INDICE
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: ECUACIÓN CONSTITUTIVA
	ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL
	ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL
	ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL
	ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL
	ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL
	ECUACIÓN DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
	EL PROBLEMA DE CONTORNO: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
	PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES
	PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES
	PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES
	PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES
	PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE CONTORNO POR POTENCIALES
	ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL
	ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA
	ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA
	ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA
	ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: DEFORMACIÓN PLANA
	ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA
	ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA
	ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA
	ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL: TENSIÓN PLANA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA
	EC. DE COMPORTAMIENTO EN ELASTICIDAD LINEAL ANISÓTROPA