MdCA_07 01_TEORIA - Medios Continuos Elásticos

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Mecánica del Medio Continuo 1
1- Tensores de tensión de Piola-Kirchoff . 
Otras medidas de tensión 
2- Ecuaciones de movimiento en referencia lagrangiana
V- Aplicación de la Mecánica del
3- Hipótesis básicas para los medios continuos elásticos
4- Ecuación constitutiva del sólido elástico lineal
5- Determinación de las constantes elásticas de Lamé
Teoría lineal de Elasticidad
Continuo a los Sólidos Deformables
Mecánica del Medio Continuo 2
1- Tensor de tensiones de Piola Kirchoff
tensiones en referencia lagrangiana 
Las tensiones en un medio continuo se obtienen en ba-
se a la relación entre fuerzas y superficies 
En un medio deformado , en configuración actual , el
tensor de tensiones de Cauchy relaciona fuerzas ac-
tuantes sobre superficies consideradas en estado defor-
mado
También deben determinarse tensiones respecto de su-
perficies materiales en la configuración inicial (referen-
cia lagrangiana) 
Mecánica del Medio Continuo 3
x3
x2
x1
x3
x2
Tensor de Tensiones de Cauchy 
dS1
x1
t1
x1
x2x3
t3
x3
x1
x2
t2
-t2
-t3
t(n)
n
-t1
dS2
dS3
dS
332211)ˆ( dStdStdStdSnt

++=
3
2
1
333231
232221
131211
321
)(
ˆ
n
n
n
nt
nttt



=


nPnPt
T
ˆ)(
~
),( •=

ti=ijnj
Equilibrio local de Fuerzas
Mecánica del Medio Continuo 4
No es simplemente un cambio de variables en ecuacio-
nes involucradas . 
Se deben expresar fuerzas por unidad de área no defor-
mada . 
Primer tensor de Piola-Kirchoff → fuerza actual 
en elemento dS , referido por área unitaria de dSo , ele-
mento no deformado ; 
expresa la fuerza en términos de normal a dSo en 
Pd
o
T
~
X

N̂
Mecánica del Medio Continuo 5
Entonces 
resulta 
PdXP
~
d .x

=
Segundo tensor de Piola Kirchoff → fuerza ficticia en 
elemento relacionada con 0dS
P
~
d

misma relación entre en con en Xd

X

x

xd

dSX
~
.n̂dS
~
.n̂XPdXP
~
ddST
~
.N̂ xxxo
s ...

==== )())( (
xdXXd .x

=
dS
~
.n̂PddST
~
.N̂ o
o
)()( ==

dSXndSTN xo
s

= .)~.ˆ()
~
.ˆ(
Mecánica del Medio Continuo 6
relacionados según
Son tensores de pseudotensión ; se definen y 
vectores de pseudoesfuerzo 
t
~

o
t

dStXP
~
ddSt
~ )n̂(
xo .

 ==dStPddSt )n̂(o
o

==
o
x
s tXT
~
.N̂t
~ .

==t
~
XT
~
.N̂t .x
oo

==
esfuerzo actuante en elemento de área actual 
por unidad de área inicial . 
vector resultante de producto contractivo del gra-
diente con esfuerzo sobre elemento deformado 
por unidad de área inicial 
xX

odS
t
~

o
t

dSot

Mecánica del Medio Continuo 7
tensores de Piola-Kirchoff se expresan mediante el
tensor de tensiones de Cauchy
de donde

~
ox
o dSXN̂dSn̂Sd . ==


ox
o
o
o
dS
~
)XN̂(dS)T
~
.N̂( .. =



rirJrirJ
oo
Ji XJXT 

,
1
,
−==
para cualquier versor arbitrario N̂
resulta 
0=








− )
~
.
x
X(o
o
T
~
N̂ .



ox
o
o
o
dS)
~
XN̂dST
~
.N̂ ..( =



=
~~ .xo
o
XT



Mecánica del Medio Continuo 8
tensor de Piola-Kirchoff simétrico 
s
T
~
X.T
~
T
~
x
os

=X
~
XT
~
xx
os ..

=


Se verifica rápidamente simétrico si simétrico sT
~

~
tensor función de dos puntos , componentes 
relaciona componentes de la fuerza en posición 
actual con componentes de vector área en 
posición inicial 
o
JiT
Pd

oJdSN
X
x

o
T
~
idP
Mecánica del Medio Continuo 9
2- Ecuaciones de movimiento en referencia
Ecuaciones de movimiento para un objeto continuo defor-
mable , obtenidas en referencia euleriana
Estas ecuaciones son expresables en referencia lagran-
giana con estado de tensiones en base a tensor de Pio-
la-Kirchoff
Ecuaciones de movimiento en referencia lagrangiana , 
se obtienen del balance de cantidad de movimiento en 
referencia lagrangiana
 t Vx
~
.b
Dt
vD
+=


 =+ Vo ooVo o
o
o
So
o
o dV
Dt
xDdVbdST
~
.N̂ 2
2 

lagrangiana
Mecánica del Medio Continuo 10
el primer término corresponde a las fuerzas superficia-
les . El segundo a las de volumen .
Con teorema de la divergencia o
o
VoSo
o
o
dVT
~
.dST
~
.N̂  =
So ,Vo y o son superficie , volumen y densidad referidas 
a configuración material . El supraíndice o indica que 
la variable como función está expresada en la configu-
ración inicial . es fuerza de volumen.)( )(Xxbb oo

=
2
2
Dt
xD
b
X
T i
o
o
io
J
o
Ji  =+


2
2
Dt
xD
bT
~
o
o
o
o.

 =+ ;
como Vo es arbitrario 
 =+ Vo ooVo o
o
o
Vo
o
o dV
Dt
xDdVbdVT
~
. 2
2 

 
Mecánica del Medio Continuo 11
forma semejante a ecuaciones de movimiento de Cauchy 
en referencia euleriana 
En ecuaciones en referencia lagrangiana , MD igual a 
, derivada parcial de 2do.orden respecto de t con 
coordenadas iniciales constantes , 
Es una ecuación a derivadas parciales “lineal” . 
2
2
t
ui
o



Linealidad formal , desaparece cuando se sustituyen las 
componentes para obtener ecuaciones de movi-
miento con el tensor de tensiones de Cauchy como fun-
ción de y t
o
JiT
JX
Esta sustitución se hace mediante la relación rir,Jo
o
Ji XT 

=
2
2
Dt
xD
bT
~
o
o
o
o.

 =+ 
Dt
vD
b
~
.

 =+
Mecánica del Medio Continuo 12
y
Al sustituir o / resulta un sistema de ecuaciones no li-
neales debida a la no linealidad del reemplazo de com-
ponentes de tensión 
o
JiT




+


+


+


+= )u(O
x
u
x
u
x
u
i
o 2
3
3
2
2
1
11


 
x
u
x
u
)
x
u
(T oo






−


−


−= 31
3
1
21
2
1
11
1
1
11 1 

ejemplo ( ) 





−=
~
uxT
~ .xo
o )(









−


−+


−= 31
3
2
21
2
2
11
1
2
21 1 

x
u
)
x
u
(
x
u
T oo
 
x
u
x
u
)
x
u
(T oo






−


−


−= 32
3
1
22
2
1
12
1
1
12 1 

Mecánica del Medio Continuo 13
La linealización completa requiere despreciar términos 
como 
si se desprecian y 
en comparación con la unidad se simplifica el conjunto 
de ecuaciones 
ijx
j
i )u(
x
u
=

 
iJ
j
i )u(
X
u
=

 
Esto es posible , sólo si en orden de magnitud 
no sean mayores que 
, 21
1131
21
2
1 )( 
X
u


31
3
1 )( 
X
u


y o ≈  , aunque debe considerarse que son 
funciones de o y de la posición inicial
o
bb


X

en relación con ,11
Mecánica del Medio Continuo 14
Para formular una teoría de elasticidad , estas ecuacio-
nes deben complementarse con formas linealizadas de 
las relaciones desplazamiento-deformación (tensores de 
deformación lineales) y de la relación constitutiva para 
sólidos deformables .
Con estas suposiciónes →
En este grado de precisión se expresan ecuaciones de 
movimiento en coordenadas materiales 
ji
o
JiT 
2
2
t
u
b
X
i
o
o
io
j
ji


=+




2
2
t
x
b
X
T i
o
o
io
J
o
Ji


=+



Mecánica del Medio Continuo 15
Teoría lineal de la elasticidad , es una simplificación de 
la teoría de la elasticidad para medios deformables .
En teoría de la elasticidad se consideran en general de-
formaciones finitas . 
Teoría lineal : teoría simplificada ; suficientemente apro-
ximada para la mayoría de aplicaciones en ingeniería 
Constituye límite para resultados obtenidos con la teoría 
general para casos de pequeñas deformaciones 
3- Hipótesis básicas para los medios continuos
elásticos 
Mecánica del Medio Continuo 16
Teoría lineal de la elasticidad - Hipótesis simplificativas :
1- Deformaciones infinitesimales
a) desplazamientos de partículas y gradientes 
pequeños ()
desplazamientos pequeños → configuración 
actual o instántanea configuración 
material de referencia , referenciales material y 
espacial equivalentes 
u

1, ; ,  xuUxXu

u

),(),( tXtx


cualquier propiedad en referencia espacial o 
en referencia material es 
asimismo 
),(),(),(),( txtXtXtx

=== 
=


=







=


=
k
k
k
kii
ki
k
i
i
ix
X
ê
X
ê
Xx
X
ê
x
ê 
,
Mecánica del Medio Continuo 17
Conceptos asociados con derivada material , local , etc. 
equivalentes pues
b) Gradientes de desplazamientos pequeños → ten-
sor lagrangiano ≡ tensor euleriano de deformaciones en 
forma lineal 
1


=
j
i
X
x
J )( ) 0( t,xJ,Xoo

 ===I
~
Xx x =

),(),(~),(
~
),(
~
1, txEtxtXltXLuu x

 
)3,2,1(, 
2
1
 ; )(
2
1 










+


=+= ji
x
u
x
u
uu
i
j
j
i
ij

Mecánica del Medio Continuo 18
2- Existencia de estado neutro
Estado inicial neutro , libre de tensiones y deforma-
ciones . 



nteelásticame deformado estadoy neutro inicial Estado
0)( =ot,x
~ 
0( =)t,x~ o


configuración de referencia 
Mecánica del Medio Continuo 19
3- proceso de deformación adiabático e isotérmico
proceso adiabático : no se produce intercambio de calor 
, no hay generación de calor localmente
procesos de deformación suficientemente lentos : adia-
báticos 
proceso isotérmico : temperatura constante para todo 
tiempo
),x()t,x( 0 

 =→
txqr 0 . =−


Mecánica del Medio Continuo 20
Ecuación constitutiva del sólido elástico lineal
Ecuación constitutiva : expresión matemática de respues-
ta interna del medio a acciones externas actuantes 
Respuesta íntrínseca de la naturaleza del material 
Solicitaciones mecánicas sobre medio continuo deforma-
ble → campo de tensiones interno → medio se deforma 
de manera característica . 
Ecuación constitutiva mecánica :relación de tensiones de 
origen mecánico con deformaciones generadas . 
Sólido elástico lineal ≡ sólido de Hooke : ecuación cons-
titutiva generalización en R3 de la ley de Hooke unidimen-
sional para materiales elásticos
Mecánica del Medio Continuo 21
Ley de Hooke generalizada : ecuación constitutiva del 
sólido elástico lineal .
Ley de Hooke de resistencia de materiales (ensayos u-
nidimensionales) , tensión aplicada 
, deformación medida ; constante de pro-
porcionalidad E : módulo de elasticidad (Young) 
 
ol
l=
 
S
F=  E=
Teoría de elasticidad lineal admite relación lineal gene-
ral entre componentes de tensor de tensiones y ten-
sor de deformaciones 

~
~


 t,x~:C
~~
t,x
~
 )()(

=
}321{ ,,l,k,j,iC klijklij = 
Mecánica del Medio Continuo 22
Tensor de 4º orden en R3 , 34 = 81 componentes 
Tensor : tensor constitutivo elástico o de constantes 
elásticas , tensor de 4º orden .
C
~~
Esta ley permite modelizar el comportamiento mecánico 
bajos cargas suficientemente pequeñas , virtualmente 
de todos los materiales sólidos ( metales, cerámicas y 
mayoría de polímeros )
y simétricos → simétrico en índices co-
rrespondientes ; igualdad de componentes 
reduce a 32 x 22 = 36 componentes distintas (máximo)
C
~~

~ ~
ijlkjiklijkl CCC ==
Mecánica del Medio Continuo 23
conviene remplazar designación con doble subíndice , 
por una con índice único , con rango 6 . 
Así
Ley de Hooke entonces
4322311143223111 22 ; ; ;  ======
)6,....,2,1,( == MKC MKMK 
en este caso a se lo denomina “vector tensión ” y a 
“vector deformación”
K M
5311322253113222 22 ; ; ;  ======
6211233362112333 22 ; ; ;  ======
Mecánica del Medio Continuo 24
Potencial elástico . La ecuación de la energía (balance 
energético) , sin fenómenos térmicos , es
aquí la energía interna es de origen exclusivamente me-
cánico : Energía de deformación específica (por uni-
dad de masa)
En una evolución infinitesimal dt 
como u es función de las deformaciones 
ij
ij
d
u
du 


=
ijijijij D
Dt
Du •
== 



11
ijijijij ddtdudt
Dt
Du




11
===
•
Mecánica del Medio Continuo 25
comparando ambas expresiones para du 
ijij
ij
Wu




=


=
con pequeñas deformaciones se asume )( ijf  
Energía de deformación específica (densidad de ener-
gía) definida por W =  u ; W es energía mecánica por 
unidad de volumen
ij
ij
u


 

=
1
Mecánica del Medio Continuo 26
Energía del estado de deformación inicial (referencia) se 
elige arbitrariamente 
por la relación constitutiva también
con redesignación de subíndices
 
2
1
ijijW =
 
2
1 
2
1
MKKMMM CW  == MKKM CC =
 
2
1
klijijklCW =
Estado de referencia : estado libre de tensiones y defor-
maciones . La forma más simple para W para relación 
lineal tensiones-deformaciones , es cuadrática 
Mecánica del Medio Continuo 27
Si existe una función energía , simetría de CKM → can-
tidad de constantes elásticas independientes para mate-
rial elástico general (anisótropo) máximo 21 distintas 
Resulta 
=+=


)(
2
1
R,MKMR,KKM
R
C
W


W es un potencial elástico
=+= )(
2
1 R,MKMR,KKMC 
 CC KKRMRM =+= )(2
1 
 C RMRM  == 
Mecánica del Medio Continuo 28
Isotropía : material isótropo es si sus propiedades
mecánicas son descriptibles sin referencia direccional , 
independientemente del sistema considerado 
todo tensor isótropo de 2º orden I
~
A
~
=
En medio elástico isótropo , componentes del tensor 
constitutivo deben ser invariantes ante rotaciones 
del referencial → ijklijkl CC ' =
ijklC
Tensor isótropo de 2º orden }{ ijI
~
=
Tensor isótropo de 3º orden }{ ijk
~  =
}{ ijkB
~
=todo tensor isótropo de 3º orden 
Mecánica del Medio Continuo 29
Tensores isótropos de 4º orden 
Cualquier tensor isótropo de 4º orden 
Para material elástico lineal isótropo la relación consti-
tutiva resulta 
 D
~~
B
~~
A
~~~~
 ++=
 ; }{ I
~
I
~
A
~~
klij == 
 ~D
~~
B
~~
A
~~~
 :) ( ++=
para que haya simetría debe ser  =n)( ijlkjiklijkl CCC ==
klijklijklijklij DBA  ) ( ++=
; }{ I
~~
B
~~
jlik ==  }{
T
jkil I
~~
D
~~
== 
Mecánica del Medio Continuo 30
vale 
forma simbólica de la ley de Hooke para objeto material 
elástico isótropo
arriba  y  constantes de Lamé
=++= kljkiljlikijijij  ) (
 ~ 2)~(
~
 
~
+= TrI
dimensionalmente [Fuerza/L2] ( adimensional )ij
 ijkkij  2 +=
Mecánica del Medio Continuo 31
El tensor constitutivo se representa matricialmente , por 
reasignación de índices hecha 
resulta 




















+
+
+







00000
00000
00000
0002
0002
0002
}{ KMC
así a se lo denomina “vector tensión ” y a 
“vector deformación”
 M K
}6,..,1{, == MKCC MKMK 
se escribe 
Mecánica del Medio Continuo 32
Ecuación constitutiva en componentes esférica y des-
viadora
tomando traza en
y remplazando en
Descomponiendo y en parte esférica y desviadora 
~ ~
DD ~~TrI
~~;
~~
TrI
~~
 +=+= )(
3
1 )( 
3
1
 ~~TrI
~~
 2)( +=
 ~~TrI
~~
 2)( +=
) 2 3(
)(
)()() 2 3()(


+

=→+=
~
Tr~Tr~Tr
~
Tr
Mecánica del Medio Continuo 33
se obtiene
notar proporcionalidad entre tensión media y defor-
mación volumétrica de los tensores de tensión y 
deformaciones , también entre partes desviadoras 
y de ambos tensores 
m
e
D
~
D~
Mecánica del Medio Continuo 34
5- Determinaciónde las constantes elásticas de
Lamé 
Ecuación constitutiva en función de tensiones 
se obtiene invirtiendo la ley de Hooke 
Para un material específico ,  y  se obtienen de ensa-
yos adecuados 






+
−=
+

−=
 
)32(2
 
2
1
)32(2
)(
2
1
ij
kk
ijij
I
~
~
Tr~~










Mecánica del Medio Continuo 35
 y  se determinan de las constantes elásticas de inge-
niería mediante un conjunto de ensayos pensados . 
En ensayos se asume ρ=cte 
a) Tracción uniaxial en cilindro circular
el tensor de tensiones
en toda la probeta es 










=
000
000
00
}{
~
N
ij
Probeta cilíndrica longitudinal traccionada en sus extre-
mos en un ambiente ingrávido ( ), con F/S=N0=b

2x
1x
3x
N
N
Mecánica del Medio Continuo 36
al ser la traza no nula , debe haber deformaciones en 
las otras dos direcciones 
en ensayo de tracción de materiales se determina 
; es y 
11== SFN11 =EN =
Según relación constitutiva debe ser ( con )NTr =
~
(1) 
)32(
 


+
+
=E
comparada con se deduceEN =
)32(
)(
 
)32(2
 
2
1
1111







+
+
=
+
−=
NN
)32(2
 3322



+
−==
N
Mecánica del Medio Continuo 37
experimentalmente se define el módulo de Poisson según 
entonces
dos ecuaciones para  y  , de donde 
asimismo 
11
33
11
22




n −=−=
 
)1(2
 ; 
)21)(1( n

nn
n

+
=
−+
=
EE
)32(2
 

n
+
=
E
Mecánica del Medio Continuo 38
la ecuación constitutiva inversa se escribe en términos 
de las constantes elásticas de ingeniería 
para el ensayo imaginado entonces 
La deformación por tracción en una dirección está com-
puesta por elongación debida a tracción en esa direc-
ción menos contracción debida a tracciones en las 
direcciones ortogonales 
 
1 3322
1111 





+−=
EEE

n






−
+
=

−
+
=
 
1
~)
~
(~1~
ij
kk
ijij
EE
I
E
Tr
E

n

n

nn

Mecánica del Medio Continuo 39
b) Cizallamiento en barra rectangular
Este ensayo ima-
ginario correspon-
de a un estado de 
corte puro en in-
gravidez
una barra de sec-
ción rectangular y 
longitud infinita so-
licitada como en el 
esquema 
Por simple inspección se 
propone tensor de tensio-
nes para este objeto 









=
00
000
00
}{
~


 ij
1x
3x
2x





Mecánica del Medio Continuo 40
En ensayos de torsión de tubos delgados se establece
En el contorno , se satisfacen las ecuaciones de equili-
brio y frontera )0( , =jji
únicos componentes de no nulos (conside-
rar ecuación constitutiva) . 
3113  =
~
 G=
En geometría de deformaciones se vió que 
, la sección se deforma a un paralelogramo 
213
 =
er
M
22
 =
r
e
rMF /=2x
1x
la relación entre ten.
sión de corte y ángu-
lo de torsión es
Relación constitutiva da  =→=== 1313 2
Mecánica del Medio Continuo 41
por comparación 
de tres constantes elásticas de ingeniería , sólo dos son 
independientes !!
Según experiencias G , E > 0 → ν > -1 , pero una elon-
gación genera contracción lateral → ν > 0
c) Compresión de paralelepípedo rectangular 
Objeto prismático en cámara 
bárica de alta presión o en el 
fondo del mar a gran profundi-
dad 
)1(2 n

+
==→ EG
ambientepresiónp 
p
p
1x
p
2x
3x
Mecánica del Medio Continuo 42
El peso despreciable , también variación de p con h
Tensor de tensiones 
la dilatación cúbica (contracción)










−
−
−
=
p
p
p
ij
00
00
00
}{
~ 
satisface condiciones de frontera y ecuaciones de equili-
brio )0( , =jji
por relación constitutiva y 
p
E
12
332211
−
===
n

jisiij = 0
p
E
)(~Tr
V
V
kk
o
n

213 −
−====
 
Mecánica del Medio Continuo 43
En Ciencia de materiales se define módulo 
de compresibilidad 
con el otro límite establecido por tracción → 0 ≤ ν ≤ ½
−
= 
p

para medio incompresible 2
1 , , 0 →→→ n


n

3
2
)21(3
+=
−
=
E
(nunca se ha observado material que se dilate 
por compresión) , → ν ≤ ½
0
remplazando →−

en general se observa ¼ ≤ ν ≤ ½ , 
valores típicos : hierro forjado ν =0,25 , dural ν =0,25 ,
acero C ν =0,29 . bronce ν =0,33 , cobre ν =0,35 , vidrio 
ν =0,23
Mecánica del Medio Continuo 44
5- Límites de propiedades elásticas 
Tensor constitutivo elástico es definido positivo (consi-
deraciones termodinámicas) , se cumple 
potencial elástico 
0~ 0~:
~~
:~   C







potencial elástico mínimo en estado neutro )0~( =
0 ~:
~~
:~
2
1 =  CW
)extremo~si
~
C
~~
:~~:C
~~
~
)~(W
( 0 0
2
1
===



 +=





 mínimopositivodefinidoC
~~
~~
)~(W
→=


) ( 


Mecánica del Medio Continuo 45
con ecuación constitutiva el potencial elástico del sólido 
de Hooke es 
resulta
Ecuación que debe cumplirse para cualquier proceso de 
deformación 
 ~:~)~(
2
1 ~:
~~
:~
2
1)~( 2 +== TrCW
como (esférico + desviador) 
DD ~I
~
e~I
~
)~(Tr~  +=+= 
3
1
3
1
DD ~:~e~:~  += 2
3
1 
( ) DD ~:~e)~(W  ++= 2
3
2
2
1 
 ~:~e)~(W
DD  += 2
2
1 
Mecánica del Medio Continuo 46
a) proceso de deformación puramente esférico
de estas relaciones se obtiene 
00
2
1 ) 
0
3
1
2
2
=→




=
=



e~(W
~
I
~
e~
)e(
D
)e(
b) proceso de deformación puramente desviador
00 ) 
0
2
=→



=
=


DD)d(
D)d(
~:~~(W
e
~~
0)21(3 −= nE)1(2 n +==→
EG