MdCA_07 02_TEORIA - Medios Continuos Elásticos2

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Mecánica del Medio Continuo 1
66-- El problema elEl problema eláástico lineal stico lineal 
77-- SoluciSolucióón del problema eln del problema eláástico linealstico lineal
V- Medios Continuos Elásticos
88-- Unicidad de la soluciUnicidad de la solucióón del Problema Eln del Problema Eláástico Linealstico Lineal
99-- Elasticidad plana .Estados elElasticidad plana .Estados eláásticos bidimensionalessticos bidimensionales
Elasticidad lineal
Mecánica del Medio Continuo 2
--formular el modelo fformular el modelo fíísicosico--matemmatemáático representativo del tico representativo del 
objeto continuo elobjeto continuo eláástico solicitado por acciones externas stico solicitado por acciones externas 
determinadas determinadas 
--establecer el sistema de ecuaciones diferenciales resestablecer el sistema de ecuaciones diferenciales res--
pectopecto de espacio y tiempo que relacionen a los campos de espacio y tiempo que relacionen a los campos 
de tensiones y deformaciones correspondientes , de tensiones y deformaciones correspondientes , sujesuje--
tos a condiciones iniciales en el tiempo y condiciones de tos a condiciones iniciales en el tiempo y condiciones de 
frontera en el espacio especfrontera en el espacio especííficas ficas 
Consiste en : Consiste en : 
6- El problema elástico lineal
Mecánica del Medio Continuo 3
),X(ob 0
 ),( txb o 

Acciones actuantes sobre el objetoAcciones actuantes sobre el objeto
 
superficie de fuerzas 
 volumende fuerzas 
 



)0,(
)0,(
xt
xb
iniciales 

 
superficie de fuerzas ),(
 volumende fuerzas ),(
 



txt
txb
ttiempoal 

Ecuaciones de gobierno del medio material Ecuaciones de gobierno del medio material 
Las ecuaciones de gobierno resultan de Las ecuaciones de gobierno resultan de 
1)1) Balance de la cantidad de movimientoBalance de la cantidad de movimiento
2)2) RelaciRelacióón constitutiva del Sn constitutiva del Sóólido ellido eláásticostico
3)3) RelaciRelacióón geomn geoméétrica desplazamientostrica desplazamientos--deformacionesdeformaciones
Mecánica del Medio Continuo 4
1)1) Balance de la cantidad de movimiento (ecuaciones Balance de la cantidad de movimiento (ecuaciones 
de movimiento de Cauchy)de movimiento de Cauchy)
2
2
t
ub
X
i
o
o
io
j
ji







2
2 ),(
),(),(~.
t
txu
txbtx o
o
o 



 
Resultan 3 ecuaciones (Resultan 3 ecuaciones (ii=1,2,3) =1,2,3) con nueve con nueve incincóógg
nitasnitas (seis componentes de y tres componen(seis componentes de y tres componen--
testes de de 
~
u
Mecánica del Medio Continuo 5
2)2) RelaciRelacióón constitutiva del Sn constitutiva del Sóólido de Hooke (ecuacilido de Hooke (ecuacióón n 
constitutiva lineal isconstitutiva lineal isóótropa)tropa)
3)3) RelaciRelacióón geomn geoméétrica lineal desplazamientostrica lineal desplazamientos--deformadeforma--
cionesciones
3,2,1, 2  jiijkkijij 
),(~ 2)),(~(~ ),(~ txtxTrItx   
se obtienen seis ecuaciones con seis incse obtienen seis ecuaciones con seis incóógnitas gnitas 
(las componentes de ) (las componentes de ) ),(~ tx

  3,2,1, 
2
1
,,  jiuu ijjiij
 ),(),(
2
1),(~ txutxutx xx
  tensor tensor eulerianoeuleriano lineal lineal 
seis ecuaciones sinseis ecuaciones sin
nuevas incnuevas incóógnitasgnitas
Mecánica del Medio Continuo 6
Se establece un sistema de ecuaciones diferenciales a Se establece un sistema de ecuaciones diferenciales a 
derivadas parciales (quince ecuaciones y quince derivadas parciales (quince ecuaciones y quince incincóógg--
nitasnitas funciones del espacio y tiempo) . funciones del espacio y tiempo) . 
Su soluciSu solucióón debe obtenerse en n debe obtenerse en RR33xRxR
Problema bien planteado cuando se formulan Problema bien planteado cuando se formulan condiciocondicio--
nesnes de frontera y condiciones iniciales adecuadas para de frontera y condiciones iniciales adecuadas para 
el modelo establecidoel modelo establecido
Condiciones de frontera (contorno) para el problema Condiciones de frontera (contorno) para el problema 
eleláástico lineal stico lineal 
Se puedenSe pueden
formular formular 
1)1) Condiciones de frontera en desplazamientos Condiciones de frontera en desplazamientos 
2)2) Condiciones de frontera en tensiones Condiciones de frontera en tensiones 
3)3) Condiciones de frontera en Condiciones de frontera en desplazamiendesplazamien--
tos y tensiones (mixta)tos y tensiones (mixta)
Mecánica del Medio Continuo 7
Se puede dividir el contorno Se puede dividir el contorno SS≡≡∂∂VV del objeto sdel objeto sóólido elido e--
lláásticostico : : SSuu , , SSσσ , , SSuuσσ en tres partes con las siguientes en tres partes con las siguientes 
caractercaracteríísticassticas
-- en el contorno en el contorno SSuu , en desplazamientos, en desplazamientos
),(),( txutxu S


con esta distincicon esta distincióón se definen las condiciones de n se definen las condiciones de frontefronte--
rara en base a las mismas, las que afectan a las variables en base a las mismas, las que afectan a las variables 
espaciales de las incespaciales de las incóógnitas gnitas , )( t,x~

, )t,x(~  )t,x(u

StnS

 ˆ.~:
Su uuS
 : St

uS
 VSSSS uu   
  SSSSSS uuuu 
),(),( txutxu Sii 
 
 
)
tSx uS 


 
Mecánica del Medio Continuo 8
StnS

 ˆ.~:
Su uuS
 : St

uS
-- en el contorno en el contorno SSσσ , en tensiones , en tensiones 
-- en el contorno en el contorno SSuuσσ , mixtas , en desplazamientos y ten, mixtas , en desplazamientos y ten--
sionessiones
txuntxu Sii

 ),( ˆ ).,(
 

),(),(
),( ˆ ).,(~
txtntx
txtntx S


 

),(),( txtntx Sijij 
 )
tSxS 





txtntx Sjkjk 
 ),(),( 
tSxjikji uS 



 (1,2,3) ,, 
) 

Mecánica del Medio Continuo 9
Condiciones de frontera temporales , condiciones Condiciones de frontera temporales , condiciones iniini--
cialesciales para el problema elpara el problema eláástico lineal stico lineal 
Para el objeto sPara el objeto sóólido ellido eláástico , en general , en el instante stico , en general , en el instante 
inicial o de referencia inicial o de referencia ttoo=0 =0 se conocen los se conocen los desplazamiendesplazamien--
tos y la velocidad de las parttos y la velocidad de las partíículas culas 
 
 




0)(
0)(
2
1
s
s
u xu
xt
S 


 
  Sxt
xt
s
s





0)(
0)(
2
1


 
 




Pxt
xt
S
s
s
2
1
)(
0)(



 
 




0)(
0)(
2
1
s
s
u xu
xu
S 

 
  Sxt
xt
s
s





0)(
0)(
2
1


2x
1x
--EjemploEjemplo
00
u
),x(u





 

)()0(
0
xv,xut
u
o
t







 Vx





Mecánica del Medio Continuo 10
Se puede resolver en general en base a dos planteos Se puede resolver en general en base a dos planteos 
-- en desplazamientos en desplazamientos 
-- en tensiones en tensiones 
El planteo en desplazamientos prevalece actualmente . El planteo en desplazamientos prevalece actualmente . 
En En éél estl estáán basados la mayorn basados la mayoríía de los ma de los méétodos de todos de resoreso--
lucilucióón numn numéérica rica 
Planteo en desplazamientos Planteo en desplazamientos –– Ecuaciones de Ecuaciones de NavierNavier
7- Solución del problema elástico lineal
Mecánica del Medio Continuo 11
condiciones de contorno e inicialescondiciones de contorno e iniciales
Conjunto de Conjunto de EDPEDP correspondientes al correspondientes al Prob.ElProb.Eláásticostico LinealLineal





S
Su
tn̂~:S
uu:S
espacioelenfronteradescondicione . 


 
 
v,xu
,xu
tiempoeleninicialesscondicione
o





 

)0(
0)0(
 
 ub~Cauchymovimientodeecuación o
o
o.    )( 
  uu~ndeformacióentodesplazamiecuación 
2
1 - 
 ~)~(TrI~~HookedeSólidovaconstitutiecuación 2 ) ( 
Mecánica del Medio Continuo 12
Para la soluciPara la solucióón , es conveniente reducir el sistema de n , es conveniente reducir el sistema de 
ecuaciones diferenciales para obtener una ecuaciecuaciones diferenciales para obtener una ecuacióón din di--
ferencialferencial para los desplazamientos para los desplazamientos úúnica incnica incóógnita gnita 
considerando queconsiderando que
En primer tEn primer téérmino : se puede eliminar las incrmino : se puede eliminar las incóógnitas de gnitas de 
tensitensióón , sustituyendo a en la ecuacin , sustituyendo a en la ecuacióón de n de movimovi--
miento mediante la ecuacimiento mediante la ecuacióón constitutiva , resultando n constitutiva , resultando 
)( t,x~ 
  


 u
t
t,xu
b~.)~(TrI~.b~. oo
o
o
o
o



 2
2 )(
2 
   uuuu~. ..  2)(2121  
solucisolucióón del problema eln del problema eláástico : Determinar el campostico : Determinar el campo
de desplazamientos (deformaciones y tensiones)de desplazamientos (deformaciones y tensiones)
en un objeto segen un objeto segúún un conjunto de acciones externas y n un conjunto de acciones externas y 
condiciones de frontera especificados condiciones de frontera especificados 
)( t,xu 
Mecánica del Medio Continuo 13
eses
    ubuuu ooo   .212)( .
sistema de EDP de 2sistema de EDP de 2ºº orden en los desplazamientos orden en los desplazamientos 
( debe ser integrado en ( debe ser integrado en RR33xRxR) ) 
Se denominan Se denominan ecuaciones de ecuaciones de NavierNavier de la elasticidadde la elasticidad
)( t,xu 
resultan las resultan las 
 Navierdeecuaciones 
 ubuu o
o
o



 2)()( .
}3,2,1{ )( ,, 

iubuu io
o
iojjijij 
y comoy como     )( uêêuxê~TrI
~ ... lkklj,j
i
i







 
Mecánica del Medio Continuo 14
Para un problema especPara un problema especíífico , las condiciones de fico , las condiciones de frontefronte--
rara se pueden expresar tambise pueden expresar tambiéén en tn en téérminos de los desrminos de los des--
plazamientosplazamientos
Para la condiciPara la condicióón en n en SSσσ
las condiciones de frontera en el espacio en tlas condiciones de frontera en el espacio en téérminos de rminos de 
desplazamientos quedan entonces desplazamientos quedan entonces 
),(),(
txutxu
txutxu S






    ~n̂~Trn̂~~TrI~n̂~Sn̂t ...s 2)( 2)( )(
   uun̂un̂ ..   21 2)( 
),(),( txutxu Sii 
 
 tSx uS 


 
Mecánica del Medio Continuo 15
condiciones iniciales temporales inalteradascondiciones iniciales temporales inalteradas
SoluciSolucióón de ecuaciones de n de ecuaciones de NavierNavier  campo de campo de despladespla--
zamientoszamientos  campo de deformaciones (relacicampo de deformaciones (relacióón n geogeo--
mméétrica deformacitrica deformacióónn--desplazamiento) , desplazamiento) ,  campo de campo de 
tensiones mediante relacitensiones mediante relacióón constitutivan constitutiva
  )()( )( )( t,xtuuS n̂Sn̂u S..  


y y 
)()()( )( t,xtSnuSnuSnu Siji,jjj,iij,j 
 )
t Sx S 





Mecánica del Medio Continuo 16
Ecuaciones de compatibilidad obtenidas ; se sustituyen Ecuaciones de compatibilidad obtenidas ; se sustituyen 
deformaciones mediante relacideformaciones mediante relacióón constitutiva inversa . n constitutiva inversa . 
En ecuaciEn ecuacióón resultante se sustituye mediante la en resultante se sustituye mediante la e--
cuacicuacióónn de equilibrio de equilibrio 
 ~.
Planteo en tensiones Planteo en tensiones –– Ecuaciones de BeltramiEcuaciones de Beltrami--MichellMichell
Planteo solamente aplicable en el caso Planteo solamente aplicable en el caso cuasiestcuasiestááticotico
(fuerzas de inercia despreciables)(fuerzas de inercia despreciables)
Punto de partida : de relaciPunto de partida : de relacióón geomn geoméétrica trica desplazamiendesplazamien--
toto--deformacideformacióón , se eliminan los desplazamientos men , se eliminan los desplazamientos me--
diantediante doble derivacidoble derivacióón n 
Mecánica del Medio Continuo 17
condiciones de contorno condiciones de contorno 
La ecuaciLa ecuacióón (simbn (simbóólica) resultante es el conjunto de lica) resultante es el conjunto de 
  MichellBeltramideecuaciones

SoluciSolucióón de ecuaciones de n de ecuaciones de BMBM  . Con . Con tensiotensio--
nesnes y ecuaciy ecuacióón constitutiva inversa se obtiene . n constitutiva inversa se obtiene . 
Para determinar se deben integrar finalmente las Para determinar se deben integrar finalmente las 
ecuaciones geomecuaciones geoméétricas con condiciones de contorno tricas con condiciones de contorno 
en en SSuu
)x(~ 
)x(~ 
)x(u 
 ( 0 )equilibriodeEcuaciónb~ o. 


)SencontornodeCondiciónSentn̂~ S.  ( 
0)()()(
11
1
,
2 



 i
o
joj
o
ioj
o
ioijijllij bbb 



Mecánica del Medio Continuo 18
Inicialmente se cumplen las ecuaciones de equilibrio en Inicialmente se cumplen las ecuaciones de equilibrio en 
la configuracila configuracióón de referencia . Esta hipn de referencia . Esta hipóótesis excluye tesis excluye 
situaciones de pandeo elsituaciones de pandeo eláástico bajo mismas cargas estico bajo mismas cargas e--
lláásticassticas . Posibilidad de configuraciones m. Posibilidad de configuraciones múúltiples de eltiples de e--
quilibrioquilibrio eleláástico corresponde a teorstico corresponde a teoríía de la estabilidad , a de la estabilidad , 
con EDP no lineales .con EDP no lineales .
Existe una funciExiste una funcióón energn energííaa--deformacideformacióón , definida n , definida posiposi--
tivativa , funci, funcióón homogn homogéénea cuadrnea cuadráática de las tica de las deformaciodeformacio--
nesnes con coeficientes adecuadamente simetrizados con coeficientes adecuadamente simetrizados 
Teorema : soluciTeorema : solucióón del PEL en desplazamientos es n del PEL en desplazamientos es 
úúnica para y , para fuerzas mnica para y , para fuerzas máásicas y sicas y 
condiciones de frontera determinadascondiciones de frontera determinadas
)( t,x)( t,x~ 
8- Unicidad de la solución del
Problema Elástico Lineal
Mecánica del Medio Continuo 19
tal que tal que 
comocomo
definida positiva si definida positiva si E >E >0 y 0 y ½½>>νν>>--11
ij
ij
W





 
2112
2
ijijGe))((
EW 





 2
1
ijijW  2
1
klijijklCW  
Por ser relaciPor ser relacióón lineal n lineal  superposicisuperposicióón de n de 
soluciones es posible soluciones es posible 
ijijW 2
1
Para sPara sóólido de Hooke siempre funcilido de Hooke siempre funcióón dada por n dada por 
Mecánica del Medio Continuo 20
integrando sobre la frontera integrando sobre la frontera 
Si hubiese dos soluciones diferentes y Si hubiese dos soluciones diferentes y 
para las mismas condiciones de frontera para las mismas condiciones de frontera y y 
mismas fuerzas de volumen , entonces ,mismas fuerzas de volumen , entonces ,
, tambi, tambiéén es solucin es solucióón para n para 
)()()( u,~,~ 222 
)()()( u,~,~ 111 
)()( uuu 12   0b
)()( ~~~ 12  
)()( ~~~ 12 
satisfaciendo condiciones de contorno tales que satisfaciendocondiciones de contorno tales que 
ya que en cada punto y para cada componente ya que en cada punto y para cada componente kk es o es o 
uukk=0 o =0 o ttkk=0=0
0tu.
como , como , por el por el equiequi--
libriolibrio y y 
)()(  ~u~:u~u ....  0 ~.
W~:u ijij 2 

  VSS dV
~udSn̂~udStu ..... )()(0 
Mecánica del Medio Continuo 21
porque porque WW definida positiva y continua en todo el volumen definida positiva y continua en todo el volumen 
No puede haber dos estados de tensiNo puede haber dos estados de tensióón , deformacin , deformacióón n 
correspondientes a las mismas cargas mcorrespondientes a las mismas cargas máásicas y missicas y mis--
mas condiciones de frontera y que satisfagan las mas condiciones de frontera y que satisfagan las ecuaecua--
cionesciones de elasticidad de elasticidad linealizadaslinealizadas
resultaresulta 002~:.   WWdVdVudStu VVS 

Esto implica que , y Esto implica que , y por por (1)(2)0  ~~~  )()( ~~ 12 
la ecuacila ecuacióón constitutiva n constitutiva 
Mecánica del Medio Continuo 22
Problema elProblema eláástico lineal stico lineal –– Ejemplo Ejemplo 
Sea un cilindro de material Sea un cilindro de material 
ssóólido deformable , de larlido deformable , de lar--
gogo LL , con secci, con seccióón n transtrans--
versal versal AA==ctecte , y densidad , y densidad 
ρρoo suspendido en suspendido en z z = 0 = 0 
en el campo gravitatorio en el campo gravitatorio 
terrestre .terrestre .
Determinar el estado de Determinar el estado de 
deformaciones por su prodeformaciones por su pro--
piopio pesopeso
Por conformaciPor conformacióón n geomgeoméé--
tricatrica del objeto , campo de del objeto , campo de 
tensiones asumidotensiones asumido
0z
Lz 
zx 3
kgb ˆ












zz
ij


00
000
000
}{~
Mecánica del Medio Continuo 23
úúnica ecuacinica ecuacióón de equilibrio no trivialn de equilibrio no trivial
solucisolucióón n 
0,  gozzz 
)( zLgozz  
la constante de integracila constante de integracióón se ha determinado con la n se ha determinado con la 
condicicondicióón de frontera , n de frontera , )( 0 Lzzz 
como , la condicicomo , la condicióón de frontera n de frontera 0 zxyzxyyyxx 
ce directamente . Con en las paredes latece directamente . Con en las paredes late-- 0,,ˆ yx nnn 
en en z z = 0 , = 0 , la tensila tensióón normal es independienten normal es independientegLozz  
, paredes laterales no sujetas a fuerza alguna se , paredes laterales no sujetas a fuerza alguna se satisfasatisfa--
0 )n̂(ijij tnralesrales las componentes las componentes 
de de xx e e yy ( la soluci( la solucióón es correcta sn es correcta sóólo si la forma de suslo si la forma de sus--
pensipensióón permite una distribucin permite una distribucióón de tensiones uniforme n de tensiones uniforme 
como la indicada esquemcomo la indicada esquemááticamente )ticamente )
Mecánica del Medio Continuo 24
Las ecuaciones de tensiLas ecuaciones de tensióónn--deformacideformacióón , conjuntamente n , conjuntamente 
con las ecuaciones geomcon las ecuaciones geoméétricas desplazamientotricas desplazamiento--defordefor--
macimacióónn dan dan 
las seis EDP las seis EDP  sistema para sistema para uuxx, u, uyy, , uuzz
sistema sobredeterminado ; no se puede afirmar que esistema sobredeterminado ; no se puede afirmar que e--
xistaxista conjunto de funciones {conjunto de funciones {uuxx, u, uyy, , uuzz} } que satisfagan que satisfagan 
este sistema y las condiciones de frontera este sistema y las condiciones de frontera 
 ; (a) zzzzE σ
(d) ; (c) ; (b) )zL(
E
g
x
u)zL(
E
g
y
u
)zL(
E
g
z
u oxoyoz 







 
 (g) 0 ; (f) 0 ; (e) 0 

















z
u
x
u
y
u
z
u
x
u
y
u xzzyyx
Mecánica del Medio Continuo 25
Resulta instructivo resolver las ecuaciones anteriores en Resulta instructivo resolver las ecuaciones anteriores en 
forma directa forma directa 
Integrando (Integrando (bb) ,() ,(cc) ,() ,(dd) se obtiene ) se obtiene 
en las cuales en las cuales ff11 , f, f22 , f, f33 ,, son funciones arbitrarias de las son funciones arbitrarias de las 
variables argumento variables argumento 
con sustitucicon sustitucióón de estos resultados en (n de estos resultados en (ee) ,() ,(ff) ,() ,(gg))
)y,xfzLz
E
g
u oz ( )2
1( 3
2 

)z,yfzLx
E
g
u ox ( )( 1

)z,xfzLy
E
g
u oy ( )( 2




 )( zL
E
g
z
u oz 



 )( zL
E
g
y
u oy 



 )( zL
E
g
x
u ox 
(d) ; (c) ; (b) )zL(
E
g
x
u)zL(
E
g
y
u
)zL(
E
g
z
u oxoyoz 







 
Mecánica del Medio Continuo 26
resultan las siguientes ecuaciones diferenciales para resultan las siguientes ecuaciones diferenciales para ff11 , , 
ff22 , f, f3 3 , , 
se simplifican escribiendose simplifican escribiendo
y se obtiene y se obtiene 
(m) 0 ; (l) 0 ; (k) 0 133221 

















z
f
x
F
y
F
z
f 
x
f
y
f
(j) 0 ; (i) 0 ; (h) 0 133221 
















 x
E
g
z
f
x
f
y
E
g
y
f
z
f
x
f
y
f oo 
 
2
( 3
22
3 ),()(), yxFyxE
gyxf o  
 (g) 0 ; (f) 0 ; (e) 0 

















z
u
x
u
y
u
z
u
x
u
y
u xzzyyx
Mecánica del Medio Continuo 27
sustituyendo en (sustituyendo en (mm))
resultaresulta
en la ecuacien la ecuacióón anterior , n anterior , MIMI independiente de independiente de y ,y , el deel de--
rechorecho funcifuncióón lineal de n lineal de yy  inconsistencia resoluble sinconsistencia resoluble sóólo lo 
si si 
como es independiente de como es independiente de xx y es y es indepenindepen--z
f

 2
y
f

 1
(o) (x) ; (n) ( 2321  





z
fyyxFz
x
fyzyf ),()(),
 (q) 0 ; (p) (x) 



xz
fz 2
2
0)(
 2 (x) 2
2
xz
fyz


 )(
diente de diente de yy , , (h)(h) e e (l) (l) se pueden integrar en la forma se pueden integrar en la forma 
(j) 0 ; (i) 0 ; (h) 0 133221 
















 x
E
g
z
f
x
f
y
E
g
y
f
z
f
x
f
y
f oo 
(m) 0 13 





z
f
x
F
Mecánica del Medio Continuo 28
integrando separadamente integrando separadamente 
cc11 y y cc33 nuevas constantes arbitrariasnuevas constantes arbitrarias
((qq) se integra respecto de ) se integra respecto de zz y y xx dando dando 
nuevamente en (nuevamente en (pp) , es independiente de ) , es independiente de zz yy(x)  )(z 
cteazax  22 )()( 
(s) ; (r) )( 1232 czazcxax  )(
)()(), xzxzf   (2
siendo y funciones arbitrarias de siendo y funciones arbitrarias de z z yy xx)(z )(x
de de xx , entonces , entonces (p) 0 (x)  )z(
 (q) 0 2
2



xz
f
Mecánica del Medio Continuo 29
De (De (n) , () , (o) , () , (q) , () , (rr) y () y (ss) ) 
como como ff11 es independiente de es independiente de x x yy FF33 independiente de independiente de zz
, , ´́(x(x)) y y ´́(z(z)) deben ser constantesdeben ser constantes
y finalmentey finalmente
1231
 )(),(
 ),(
czaxanmzaxazxf
czayazyf


mxaxax  33 )()( 
121)(), czaxyzyf  ( 
(n) ( 


 z
x
fyzyf 21 )(),
 (q) 0 


xz
f2
2
(s) 
 (r) )( 32
)( czaz
cxax




 
(o) (x) 




z
fyyxF
x
2
3 ),(
(s) 12)( czaz 
2 )()(), zxzxf  ( 
323 ),( cxayyxF  (z) 
nzazaz  11 )()(  
213132 )(),( czaxanmzaxazxf


3213
213132
 ),( cxayayxF 
Mecánica del Medio Continuo 30
La expresiLa expresióón para el campo de desplazamientos resulta n para el campo de desplazamientos resulta 
en forma vectorial se escribe en forma vectorial se escribe 
 123 czaya)zL(xE
gu ox 

k̂)yx(
E
g
)zLz(
E
g
ĵ)zL(y
E
g
î)zL(x
E
g
u oooo





















2
 2
1 222 
y son vectores arbitrarios y son vectores arbitrarios c a

 czaxa)zL(y
E
gu oy 213 

321
222 )(
2
 )2
1( cxayayx
E
g
zLz
E
g
u ooz 

 k̂)xaya(ĵ)zaxaî)zaya(xak̂cĵcîcc 211323321 ( ; 

 xac
EEEE



 
2
Mecánica del Medio Continuo 31
rara todo el cuerpo .todo el cuerpo .
En el presente ejemplo el eje En el presente ejemplo el eje z z pasa por el CM de la pasa por el CM de la baba--
rrarra , entonces , entonces uuxx= u= uyy= 0= 0 parapara x=y=x=y=0 , resulta 0 , resulta 
representa una traslacirepresenta una traslacióón rn ríígida arbitraria . Se degida arbitraria . Se de--
termina fijando un cierto punto del cuerpo . termina fijando un cierto punto del cuerpo . 
P.ejP.ej. Si el punto (0,0,0) es inm. Si el punto (0,0,0) es inmóóvil , vil , 
la traslacila traslacióón es nula n es nula 
c
0c
xaxaurot  )(2
1)(2
1 
Para un desplazamiento Para un desplazamiento es es xau  
es decir que es una rotacies decir que es una rotacióón de cuerpo n de cuerpo rríí--xau


0a
gidogido de pequede pequeñño o áángulo alrededor del eje ngulo alrededor del eje papa--aa 
Mecánica del Medio Continuo 32
La secciLa seccióón adopta forma de paraboloide circular ; n adopta forma de paraboloide circular ; 
Para los valores de Para los valores de E E normalesnormales es imperceptible es imperceptible 
Para Para L >> dL >> d , la contribuci, la contribucióón preponderante es la de n preponderante es la de LL2
La superficie en se deforma de manera semejanLa superficie en se deforma de manera semejan--Lz 
Sea en particular un cilindro circular . El punSea en particular un cilindro circular . El puntoto4
222 dyx 
222222
1
 )( yxrr L
E
g
u o
Lzz




Para , en cualquier punto de la secciPara , en cualquier punto de la seccióón el desn el des--0z
222
2
2
1
0
 yxr
E
rg 
u o
zz



central (0,0,0) de la seccicentral (0,0,0) de la seccióón suspendida se elige inmn suspendida se elige inmóóvilvil
plazamientoplazamiento es es 
te con desplazamiento te con desplazamiento 
Mecánica del Medio Continuo 33
Ejemplo : barra de acero ( Ejemplo : barra de acero ( E=E=22..101055 N / mmN / mm2 2 , , = = 8.108.1033
KgKg/m/m33)) de de L L = = 11m , con m , con gg = = 9,8 9,8 m/s m/s , el desplazamiento es , el desplazamiento es 
solamente solamente 22..1010--44 mmmm
NNóótese que siendo el peso de la barra , (contese que siendo el peso de la barra , (congLAP o
EA
PLL
E
grL
E
gu oo
Lzz 2
1 )( 22
1
222
1





el desplazamiento en el extremo inferior es la mitad del el desplazamiento en el extremo inferior es la mitad del 
que resultarque resultaríía si el a si el PP estuviese concentrado en estuviese concentrado en Lz 
el desplazamiento es soluciel desplazamiento es solucióón de la n de la ecuaecua--xacu  
  0 
2
1
,,  ijjiij uu
AA la seccila seccióón transversal ) es n transversal ) es 
cicióónn
Mecánica del Medio Continuo 34
por tanto debe representar el desplazamiento de un por tanto debe representar el desplazamiento de un 
cuerpo rcuerpo ríígido no deformado .gido no deformado .
Por ser las ecuaciones de elasticidad lineales , siempre Por ser las ecuaciones de elasticidad lineales , siempre 
es posible agregar una traslacies posible agregar una traslacióón y una rotacin y una rotacióón rn ríígida gida 
pequepequeñña , sin modificar el campo de tensiones .a , sin modificar el campo de tensiones .
En problemas en los cuales las condiciones de frontera En problemas en los cuales las condiciones de frontera 
se establecen mediante tensiones superficiales se establecen mediante tensiones superficiales especifiespecifi--
cadascadas sobre toda la superficie del objeto , el campo de sobre toda la superficie del objeto , el campo de 
desplazamientos queda indeterminado por un desplazadesplazamientos queda indeterminado por un desplaza--
miento rmiento ríígido de la forma establecida .gido de la forma establecida .
Si las condiciones de frontera son desplazamientos suSi las condiciones de frontera son desplazamientos su--
perficialesperficiales especificados en parte o en la totalidad de la especificados en parte o en la totalidad de la 
superficie , la indeterminacisuperficie , la indeterminacióón queda eliminada n queda eliminada 
Mecánica del Medio Continuo 35
Estado plano de deformaciones
Un cuerpo continuo elUn cuerpo continuo eláástico se encuentra en un estado stico se encuentra en un estado 
eleláástico bidimensional cuando se puede especificar el stico bidimensional cuando se puede especificar el 
campo de tensiones y el campo de campo de tensiones y el campo de dede--),( 21 xxijij  
),( 21 xxijij  
Es equivalente expresar siendo Es equivalente expresar siendo 0
3


x
P P
ConsidConsidéérese un cuerpo cilrese un cuerpo cilííndrico cuyo eje principal estndrico cuyo eje principal estéé
orientado segorientado segúún n xx33 como en el esquema adjuntocomo en el esquema adjunto
9- Elasticidad plana . Estados elásticos
formaciones formaciones 
cualquier variable de propiedades fcualquier variable de propiedades fíísicas relacionadas sicas relacionadas 
con ambos campos . con ambos campos . 
bidimensionales 
Mecánica del Medio Continuo 36
HipHipóótesis : fuerzas tesis : fuerzas supersuper--
ficialesficiales y de volumen (y de volumen (mmáá--
sicassicas) , si existen, ) , si existen, indepenindepen--
dientes de dientes de xx33
se dice que el cuerpo esse dice que el cuerpo es--
ttáá en un en un estado plano de estado plano de 
deformacionesdeformaciones si se vesi se ve--
rificarifica que los desplazaque los desplaza--
mientosmientos son nulos segson nulos segúún n 
xx33 ((uu33=0=0)) y las otras dos y las otras dos 
componentes componentes uu22 , , uu1 1 indeinde--
pendientes de pendientes de xx33
Ejemplo, barra prismEjemplo, barra prismáática con extremos empotrados tica con extremos empotrados 
entre dos planos paralelos satisface estas condiciones entre dos planos paralelos satisface estas condiciones 
2x
1x
3x b

t

Mecánica del Medio Continuo 37
En En Elasticidad planaElasticidad plana conviene indicar los subconviene indicar los subííndices de ndices de 
las direcciones ( las direcciones ( 1,21,2 ) , con letras griegas p. ej. () , con letras griegas p. ej. ( ))
Estado plano de deformacionesEstado plano de deformaciones definido por definido por 
deformaciones deformaciones 
de ley de Hooke resulta de ley de Hooke resulta 
  0
2
1
3,,  iuu   
 0 {1,2}),( 321  uxxuu 







}21{ 
 2 
 2 
33 ,,,
ijkkijij 




desplazamientos desplazamientos 
Mecánica del Medio Continuo 38
entonces entonces 
contrayendo en ecuacicontrayendo en ecuacióón constitutiva subn constitutiva subííndices ndices ,, , , 
y con la anterior se obtieney con la anterior se obtiene
  0 ),( 33321  xx
  ) 2(2 22 
conociendo el estado de deformaciones, el estado de conociendo el estado de deformaciones, el estado de 
tensionestensiones correspondiente queda totalmente correspondiente queda totalmente deterdeter--
  

 

 
) 2(
 33
minadominado
Mecánica del Medio Continuo 39
ecuaciones de equilibrio en un estado plano de ecuaciones de equilibrio en un estado plano de defordefor--
macionesmaciones
las las ecuaciones de ecuaciones de NavierNavier ((elastoestelastoestááticasticas)) para estado plano para estado plano 
de deformacionesde deformaciones son (segson (segúún las relaciones precedentes)n las relaciones precedentes)
finalmente , por la forma del tensor de deformaciones finalmente , por la forma del tensor de deformaciones 
para este caso , las ecuaciones de compatibilidad se para este caso , las ecuaciones de compatibilidad se 
reducen a reducen a 
121211222211 2 ,,,  
 EPDenNavierdeecuaciones 
0,    b
0
)21)(1(2)1(2
2 


 


buEuE ,
Mecánica del Medio Continuo 40
Estado plano de tensiones
Otro posible problema elOtro posible problema eláástico plano ; el objeto es estico plano ; el objeto es e--
sencialmentesencialmente delgado segdelgado segúún n xx33 ;; es una placa delgada es una placa delgada 
paralela al plano paralela al plano xx1 1 xx22 , , de tal forma que sde tal forma que sóólo hay lo hay tensiotensio--
nesnes paralelas al plano paralelas al plano xx1 1 xx2 2 como se muestra como se muestra esquemesquemáá--
ticamenteticamente en el adjuntoen el adjunto
1x
3x
2x
De este modo De este modo 
resulta un estado resulta un estado 
plano de tensiones plano de tensiones 
, en el cual , en el cual i3i3=0=0
2x
3x 1x
)ˆ(nt

)ˆ(nt

Mecánica del Medio Continuo 41
De la ley de HookeDe la ley de Hooke
ademademáás de la ecuacis de la ecuacióón constitutiva inversan constitutiva inversa
en tensien tensióón planan plana



 2  ijkkijij 
 
 
 


233 

ijkkijij EE
  1
 

EE
  1



 
 

 


 0 con 33


 0 2 33kk
Mecánica del Medio Continuo 42
resultaresulta
entonces entonces 
combinando las deformaciones en funcicombinando las deformaciones en funcióón de los desn de los des--
plazamientosplazamientos , las ecuaciones de equilibrio y la , las ecuaciones de equilibrio y la ecuaecua--
cicióónn constitutiva (ley de Hooke) , resultan las constitutiva (ley de Hooke) , resultan las ecuaciones ecuaciones 
de de NavierNavier ((elastoestelastoestááticasticas) ) para estado plano de tensionespara estado plano de tensiones
 






EEE




121 
 
 



E



233
 EPTenNavierdeecuaciones 
0
)21(2)1(2
2 


 


buEuE ,
Mecánica del Medio Continuo 43
Para estado plano de tensiones , finalmente , las Para estado plano de tensiones , finalmente , las ecuaecua--
cionesciones de compatibilidad se reducen a una de compatibilidad se reducen a una úúnica nica ecuaecua--
cicióónn ididééntica a la correspondiente al estado plano de ntica a la correspondiente al estado plano de dede--
formacionesformaciones
Elasticidad plana – Ejemplos
Estados de tensiEstados de tensióón planan plana : estados de tensi: estados de tensióónn--defordefor--
macimacióónn en sen sóólidos que tengan lidos que tengan una dimensiuna dimensióón mucho n mucho 
menor que las otras dosmenor que las otras dos (determinan el plano de an(determinan el plano de anáálisis lisis 
((xx11,x,x22))≡≡((x,yx,y)))) y con acciones contenidas en dicho planoy con acciones contenidas en dicho plano
121211222211 2 ,,,  
Mecánica del Medio Continuo 44
Estados de deformaciEstados de deformacióón planan plana : s: sóólidos cuya lidos cuya conforconfor--
macimacióónn geomgeoméétrica puede obtenerse como resultado del trica puede obtenerse como resultado del 
desplazamiento desplazamiento de una de una secciseccióón generatriz planan generatriz plana en en 
una una direccidireccióón perpendicularn perpendicular a la misma a la misma , con acciones , con acciones 
contenidas en el planocontenidas en el plano correspondiente correspondiente ( plano de ( plano de ananáá--
lisis (lisis (xx11,x,x22))≡≡((x,yx,y)) .)) . La hipLa hipóótesis de deformacitesis de deformacióón plana n plana 
, debe ser verificable, debe ser verificable0 3 i
x
y
z
e
Mecánica del Medio Continuo 45
--La longitud del objeto en la direcciLa longitud del objeto en la direccióón n zz es muy grande es muy grande 
--La longitud del objeto no es mayor que las otras dos , La longitud del objeto no es mayor que las otras dos , 
pero estpero estáá impedido su desplazamiento en las secciones impedido su desplazamiento en las secciones 
extremas extremas 
Mecánica del Medio Continuo 46
A
A
AA
-- otro ejemplo de deformaciotro ejemplo de deformacióón planan plana