MS_4_Tensiones_deformaciones_infinitesimales_V4_corta

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Mecánica de Sólidos 
Francisco Javier Montáns 
4. Tensiones y deformaciones infinitesimales 
(tema de repaso, 2horas aprox) 
 
Hay dos cosas infinitas: El Universo y la estupidez humana. 
Y del Universo no estoy seguro. 
 Albert Einstein 
Mecánica de Sólidos 
INDICE 
1. Tensiones: postulados y componentes 
2. El tensor de tensiones: tetraedro de Cauchy 
3. Tensiones principales y elipsoide de Lamè 
4. Círculos de Mohr 
5. Planos de tensión tangencial máxima 
6. Descomposición del tensor de tensiones 
7. Tensiones octaédricas 
8. Ecuaciones de equilibrio 
 
9. Deformaciones uniaxiales 
10. Deformaciones 2D y 3D infinitesimales 
11. Descomposición aditiva del gradiente de desplazamientos 
12. Ejemplos de deformación 
13. Ecuaciones de compatibilidad 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 2 
Mecánica de Sólidos 
TENSIONES: CONCEPTO 
• Postulados de Cauchy y componentes del vector tensión/tracción 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 3 
Mecánica de Sólidos 
EL TENSOR DE TENSIONES 
• Tetraedro de Cauchy 
 Naturaleza tensorial de las tensiones: tetraedro de Cauchy y componentes (repaso) 
ΣFx=0 
ΣFy=0 
ΣFz=0 
Componentes intrínsecas vector tensión 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 4 
Mecánica de Sólidos 
TENSIONES PRINCIPALES Y ELIPSOIDE DE LAMÉ 
• Tensiones principales 
 
 
 
 
 
 
• Direcciones principales 
 
 
 
 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 5 
Ecuación característica 
Ejemplo: ver tema de álgebra de tensores (es un tensor de segundo orden como otro 
cualquiera) 
Mecánica de Sólidos 
TENSIONES PRINCIPALES Y ELIPSOIDE DE LAMÉ 
• Invariantes principales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Elipsoide de Lamé 
 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 6 
Deberes: demostrar que los coeficientes de la ecuación característica son 
Mecánica de Sólidos 
TENSIONES PRINCIPALES Y ELIPSOIDE DE LAMÉ 
• Elipsoide de Lamé 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 7 
Mecánica de Sólidos 
DESCOMPOSICIÓN DEL TENSOR DE TENSIONES 
• Partes volumétrica y desviadora 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 15 
Visión como proyecciones: 
Mecánica de Sólidos 
TENSIONES OCTAÉDRICAS 
• Ejercicio: 
– Calcular el vector tensión y sus componentes normal y tangencial en el plano 
octaédrico (aquel que forma igual ángulo con las direcciones principales) 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 17 
Solución: 
 Deberes: 
+ Deberes: Escribir las representaciones matriciales en Xpr 
Mecánica de Sólidos 
TENSIONES OCTAÉDRICAS 
• Ejercicio: 
– Demostrar que las siguientes expresiones, frecuentemente usadas en plasticidad, 
son equivalentes: 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 18 
Solución: 
Por tanto 
Por tanto 
Mecánica de Sólidos 
ECUACIONES DE EQUILIBRIO 
• Ecuaciones de equilibrio 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 19 
Mecánica de Sólidos 
ECUACIONES DE EQUILIBRIO 
• Ecuaciones de equilibrio interno 
 
Ecuación de equilibrio interno 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 20 
Mecánica de Sólidos 
ECUACIONES DE EQUILIBRIO 
• Ecuaciones de equilibrio interno desde el teorema de localización 
Teorema de Gauss 
generalizado 
Teorema de localización 
Teorema de 
Gauss 
generalizado 
(Deberes) 
Teorema de localización 
Equilibrio de 
fuerzas 
Equilibrio de 
momentos 
Equilibrio de momentos resp. origen: 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 21 
Mecánica de Sólidos 
DEFORMACIONES UNIAXIALES 
• Ejemplo: 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 24 
¡Las deformaciones ingenieriles 
no son intuitivas! 
Mecánica de Sólidos 
DEFORMACIONES UNIAXIALES 
• Ejemplo: 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 25 
¡Las deformaciones logarítmicas o de Hencky (“true strains”) son mas intuitivas! 
Mecánica de Sólidos 
DEFORMACIONES UNIAXIALES 
• Ejemplo: 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 26 
¿Pero son realmente las “true”? 
¡Son simplemente diferentes formas de medir! (como los ºC y los ºF en temperatura) 
Conocida una, conocida la otra 
Mecánica de Sólidos 
DEFORMACIONES UNIAXIALES 
• Deformaciones UNIAXIALES 
Generalizadas de Seth-Hill: 
Deformaciones cuadráticas (Green-Lagrange) 
Deformaciones ingenieriles (lineales con increm. de longitud) 
Alargamiento unitario: 
Logarítmicas 
(“true”, Hencky): 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 27 
Mecánica de Sólidos 
DEFORMACIONES 2D y 3D INFINTESIMALES 
• Tensor de deformaciones infinitesimales (ingenieriles) 
Deformación ingenieril a cortante 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 28 
¡OJO (-)! 
Mecánica de Sólidos 
DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES 
• Componentes intrínsecas (desplazamientos unitarios) 
 Componentes sobre un plano del tensor de deformaciones infinitesimales 
Ejemplo: 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 29 
(proyector) 
(proyector) 
Mecánica de Sólidos 
DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES 
• Ejercicio 
Calcular las deformaciones uniaxiales y tangenciales en las diagonales a 45º en los tres 
casos de deformación homogénea (igual en todo el sólido) mostrados en las figuras 
(supóngase deformación plana). Comenta los resultados. 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 30 
1mm 
1m
m
 
0.
01
m
m
 
0.01mm 1mm 
1m
m
 
0.01mm 0.01mm 
0.01mm 
0.
01
m
m
 
x 
y 
Mecánica de Sólidos 
DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES 
• Solución: 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 31 
1mm 
1m
m
 
0.
01
m
m
 
0.01mm 
x 
y 
Mecánica de Sólidos 
DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES 
• Solución: 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 32 
0.01mm 
0.
01
m
m
 
“deformación 
angular ingenieril” Dibujarlas! 
Mecánica de Sólidos 
DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES 
• Deberes: 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 33 
0.1mm 
0.
1m
m
 
• Repetir los cálculos con 0.1mm en lugar de 0.01mm 
• Calcular la longitud final de las diagonales y restarle la inicial 
• ¿Es el resultado lógico? 
Mecánica de Sólidos 
DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES 
• Solución: 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 34 
1mm 
1m
m
 
0.01mm 
Alternativa: 
Mecánica de Sólidos 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 35 
Ejercicio (deberes) 
Nota: 
DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES 
 
Mecánica de Sólidos 
DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DEL GRADIENTE DE DESPLAZAMIENTOS 
• Cambio de volumen y de forma 
Dilatación/deformación media 
Dilatación 
Def. volumétricas 
Def. desviadoras 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 36 
Mecánica de Sólidos 
DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DEL GRADIENTE DE DESPLAZAMIENTOS 
• Descomposición de la transformación de un vector infinitesimal 
Original Cambio volumen Final = + Cambio forma Rotación + + 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 37 
Mecánica de Sólidos 
DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DEL GRADIENTE DE DESPLAZAMIENTOS 
• Ejercicio (DEBERES) 
Calcular las deformaciones volumétricas, las deformaciones desviadores y las rotaciones 
(todas infinitesimales) en los casos de deformación plana homogénea de las figuras 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 38 
1mm 
1m
m
 
0.
01
m
m
 
0.01mm 1mm 
1m
m
 
0.01mm 0.01mm 
0.01mm 
0.
01
m
m
 
x 
y 
Mecánica de Sólidos 
EJEMPLOS 
• Ejemplo 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 39 
Mecánica de Sólidos 
Original 
EJEMPLOS 
• Ejemplo (cont) 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 40 
Mecánica de Sólidos 
EJEMPLOS 
• Ejemplo (cont) 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 41 
Calcular desplazamientos, deformaciones y rotaciones infinitesimales 
Solución: 
(deberes: calcular el vector 
dual, comentar el signo) 
Mecánica de Sólidos 
EJEMPLOS 
• Ejemplo (cont) 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 42 
Calcular la trasformación de un vector en el eje X para los siguientes valoresde los 
parámetros. ¿La descomposición es matemáticamente correcta? ¿La interpretación física 
es siempre correcta? 
Solución: 
¡ojo! ¡ojo! 
Mecánica de Sólidos 
EJEMPLOS 
• Ejemplo (cont) 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 43 
Matemáticamente correcta 
Físicamente sólo aproximada 
Original dX 
Pequeñas def. dx 
 Real dx 
Mecánica de Sólidos 
EJEMPLOS 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 44 
Ejercicio (deberes) 
Mecánica de Sólidos 
ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 45 
• Ecuaciones de compatibilidad en un campo vectorial 
Obtención de la ecuación de compatibilidad: 
Consecuencias de la ecuación de compatibilidad: 
Mecánica de Sólidos 
ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 46 
• Ecuaciones de compatibilidad de deformaciones 
Deberes: 
Demostración alternativa: 
Deberes 
Compatible 
¡Incompatible! 
81 ecuaciones, sólo 6 distintas 
Mecánica de Sólidos 
ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 
 Tensiones y deformaciones infinitesimales - 47 
Ejercicio (deberes) 
	4. Tensiones y deformaciones infinitesimales�(tema de repaso, 2horas aprox) �
	INDICE
	TENSIONES: CONCEPTO
	EL TENSOR DE TENSIONES
	TENSIONES PRINCIPALES Y ELIPSOIDE DE LAMÉ
	TENSIONES PRINCIPALES Y ELIPSOIDE DE LAMÉ
	TENSIONES PRINCIPALES Y ELIPSOIDE DE LAMÉ
	DESCOMPOSICIÓN DEL TENSOR DE TENSIONES
	TENSIONES OCTAÉDRICAS
	TENSIONES OCTAÉDRICAS
	ECUACIONES DE EQUILIBRIO
	ECUACIONES DE EQUILIBRIO
	ECUACIONES DE EQUILIBRIO
	DEFORMACIONES UNIAXIALES
	DEFORMACIONES UNIAXIALES
	DEFORMACIONES UNIAXIALES
	DEFORMACIONES UNIAXIALES
	DEFORMACIONES 2D y 3D INFINTESIMALES
	DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES
	DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES
	DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES
	DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES
	DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES
	DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES
	DEFORMACIONES 2D y 3D INFINITESIMALES�
	DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DEL GRADIENTE DE DESPLAZAMIENTOS
	DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DEL GRADIENTE DE DESPLAZAMIENTOS
	DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DEL GRADIENTE DE DESPLAZAMIENTOS
	EJEMPLOS
	EJEMPLOS
	EJEMPLOS
	EJEMPLOS
	EJEMPLOS
	EJEMPLOS
	ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
	ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
	ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD