Ayudantía con pauta (1)

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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
AYUDANTÍA 1
DINÁMICA INDUSTRIAL
PRIMER SEMESTRE 2018
Profesores: Pelayo Herraiz y Alejandro Saenz.
Oligopolios
Suponga 2 firmas que compiten a la Cournot, las cuales enfrentan una demanda igual a
P = 12Q. Las firmas son idénticas, y producen un bien homogéneo, sus costos marginales
son cmg1 = cmg2 = 3. Ademas usted sabe que la cantidad total del mercado Q es producida
en su totalidad por las 2 rmas existentes, de tal manera que q1 + q2 = Q.
1. Calcule las cantidades que produce cada firma, la cantidad total de mercado, el precio,
y los benecios de cada rma.
R: Entonces comenzamos por plantear el problema de maximización que enfrenta la
firma 1 y encontramos su función de reacción:
maxΠ = (p− c)q1 = (12− q1 − q2 − c)q1
Derivando lo anterior e igualando a 0 :
∂Π
∂q1
= 12− 2q1 − q2 − c→ q1(q2) =
12− q2 − c
2
De manera análoga se llega a:
q2(q1) =
12− q1 − c
2
Ahora reemplazamos la función de reacción de la firma 2 dentro de la de la firma 1:
q1(q2) =
12− (12−q1−c
2
)− c
2
Despejando q1 se llega a:
q1 =
12− 3
3
= 3→ q2 = 3
Esto implica que Q = q1 + q2 = 6, p = 6 y que Π1 = Π2 = 9
1
2. Ahora suponga que existen n firmas, ¿ cuánto seŕıa la cantidad producida por cada
una? ¿Qué ocurre con los benecios a medida que aumenta el numero de rmas?
R: planteamos el problema de maximización de cada empresa para encontrar sus fun-
ciones de reacción:
maxΠi = (p− c)qi = (12− qi −
n−1∑
j 6=i
q−i − c)
Maximizando con respecto a la cantidad de la firma i:
∂Π
∂qi
= 12− c− 2qi −
n−1∑
j 6=i
q−i → qi =
12− c−
∑n−1
j 6=i q−i
2
Como todas las firmas son iguales producirán la misma cantidad, entonces tendremos
que
∑n−1
j 6=i q−i = (n− 1)qi:
2qi = 12− c− (n− 1)qi → qi =
12− c
n+ 1
=
9
n+ 1
Puede mostrarse que en este caso:
Π = q2i =
81
(n+ 1)2
Tomando el ĺımite:
lim
n→∞
81
(n+ 1)2
= 0
3. Suponga ahora que solo compiten 3 firmas que presentan costos marginales diferentes,
cmg1 = c1, cmg2 = c2, cmg3 = c3, encuentre las funciones de reacción de cada rma,
que puede decir respecto a como reaccionan estas a incrementos en los costos marginales
de las rmas oponentes?
R: Ahora la firma 1 maximiza:
maxΠ1 = (12− q1 − q2 − q3 − c1)q1
Derivando e igualando a cero tendremos:
∂Π1
∂p1
= 12− 2q1 − q2 − q3 − c1 = 0
q1 =
12− q2 − q3 − c1
2
De manera analoga es fácil ver que:
2
q2 =
12− q1 − q3 − c2
2
q3 =
12− q1 − q1 − c3
2
Para analizar lo que sucede con la cantidad producida de una firma si aumenta el costo
de un rival, derivemos la funciónd de reacción de la firma 1 con respecto al costo de la
firma 2 (notar uso de regla de la cadena):
∂q1
∂c2
=
∂q1
∂q2
∂q2
∂c2
=
−1
2
−1
2
=
1
4
> 0
Por ende si sube el costo de un competidor, sube la cantidad producida por la firma.
4. Suponga el mismo mercado caracterizado en la sección anterior,cuando hay 2 firmas,
salvo que ahora la competencia es a la Bertrand. Calcule los precios y cantidades de
mercados, los benecios y cantidades de cada rma.
R: Dado que en este caso las firmas tienen costos marginales iguales se llega a la
paradoja de Bertrand, por lo tanto, tendremos p = c = 3, Q = 9, q1 = q2 = 4, 5 y
Π1 = Π2 = 0
5. ¿Que ocurriŕıa si ahora son 3 firmas compitiendo a la Bertrand? Asuma cmg1 =
cmg2 = cmg3 = 3.
R: ocurre exactamente lo mismo, con la salvedad de que q1 = q2 = q3 = 3.
6. Finalmente asuma que la empresa entrante tiene cmg3 = 1. Vuelva a calcular las
cantidades de equilibrios.
R: En este caso la empresa más eficiente cobra un precio infinitesimalmente menor al
costo marginal de las otras empresas, llevandose todo el mercado. Por ende p = 3−ε ≈
3, esto implica Q = 9 = q3, Π3 = 9 ∗ (3− 1) = 18, Π1 = Π2 = 0 y q1 = q2 = 0.
Hotelling
Hay dos firmas que producen un bien homogeneo y que compiten en precios ubicadas en
los extremos de una linéa de largo L. Ambas tienen un costo marginal y unitario igual a c.
Es importante notar que venden productos iguales pero que existe diferenciación horizontal
debido a que las firmas están ubicadas en lugares distintos.
Existen consumidores uniformemente distribuidos a lo largo de la linea y estos se ubican en
posiciones x. Además cada uno consume solamente una unidad del bien. Por último, los con-
sudmidores incurren en un costo t por unidad de distancia que recorren para comprar el bien.
Básicamente, si la linéa mide L de largo los consumidores incurren en un costo de transporte
(pecunario o no pecunario) t por cada unidad de distancia que recorren para comprar el bien.
3
Dado esto, los consumidores minimizarán la distancia que deben de recorrer para comprar
el bien, por lo tanto, tendremos:
δ(xi) = min(|xi − 0|, |L− xi|)
Dado esto y asumiendo que v corresponde a la valoración que tienen los consumidores por
el bien y que está es suficientemente grande y que cada firma cobra un precio igual a pi, la
utilidad de los consumidores tiene la siguiente forma:
u(xi, pi) = v − pi − tδ(xi)
1. Encuentre la demanda que enfrentan ambas firmas.
R: El primer paso para poder encontrar el equilibrio de este mercado consiste en encon-
trar la demanda que enfrenta cada firma. Mientras los precios que cobran las firmas no
sean muy distintos, podremos encontrar un consumidor en la linéa que está indiferente
entre comprar los bienes de la firma 1 o los bienes de la firma 2, el cual se encuentra
en x̃. Tendremos entonces que para este consumidor necesariamente se cumple:
u(x̃, p1) = u(x̃, p2)
v − p1 − tx̃ = v − p2 − t(L− x̃)
Donde podemos llegar a que la ubicación del consumidor indiferente se encuenta en:
x̃ =
p2 − p1
2t
+
L
2
Entonces, todos los consumidores que se encuentren a la izquierda del consumidor
indiferente compran su bien a la firma 1 y los que están a la derecha compran el bien
a la firma 2. Por lo tanto las demanda que enfrentan las firmas son:
q1 = (x̃) =
(
p2 − p1
2t
+
L
2
)
q2 = (L− x̃) =
(
p1 − p2
2t
+
L
2
)
2. Encuentre las funciones de reacción de ambas empresas.
R: Dado que ambas firmas son iguales, nos basta con encontrar una sola función de
reacción. Por lo tanto, buscaremos la de la firma 1:
maxΠ1 = q1(p1 − c) =
(
p2 − p1
2t
+
L
2
)
(p1 − c)
∂Π1
∂p1
=
−1
2t
(p1 − c) +
(
p2 − p1
2t
+
L
2
)
= 0
4
(p1 − c)
2t
=
(
p2 − p1
2t
+
L
2
)
p1 − c = p2 − p1 + tL→ p1 =
p2 + c+ tL
2
Entonces:
p2 =
p1 + c+ tL
2
3. Encuentre los precios que fija cada empresa. ¿Hay poder de mercado? ¿En que casos
no habŕıa?
R: Como los costos son iguales y ambas firmas están en las esquinas, los precios de los
bienes serán iguales, por lo tanto tendremos:
p1 − c = p1 − p1 + tL→ p1 = c+ tL
Como podemos ver hay poder de mercado ya que p > c. Esto ocurre debido a que
existe difetenciación en los bienes, debido a que para los individuos es distinto comprar
a las firmas dependiendo de donde se encuentra esto. En este caso, como las firmas
ya están en las esquinas, vamos a tener que el único caso en que no habŕıa poder de
mercado es cuando no es costoso trasladarse.
Colusión
En su páıs acaban de pasar una ley que condena a las firmas que incurran en prácticas
anticompetitivas (como la colusión). La ley estipula que, si un cartel es descubierto, las
firmas pertenecientes al mismo deberán pagar una multa de M . En este caso, la entidad
reguladora, luego del descubrimiento, fiscalizará dicho mercado garantizando que las firmas
compitan leǵıtimamente. En otras palabras, una firma perteneciente a un cartel que es
descubierto tendrá que pagar una multa M y tendrá que dejar de cooperar de ah́ı en adelante.
Dos firmas que se encuentran coludidas estiman que la probabilidad de no ser descubiertas
es p y tienen un factor de descuento δ.
1. Sin resolver, escriba la condición que se tiene que cumplir para que las firmas per-
manezcan coludidas.
R: Para que las firmas permanezcan coludidas, se tiene que cumplir que el valor de
coludirse (V M) sea mayor o igual al valor de desviarse (V D). Escribamos V M y V D.
Como ahora existe la posibilidadde ser descubierto en caso de estar coludido, el valor
futuro de coludirse va a depender de si la firma es descubierta de la siguiente manera:
si la firma es descubierta, tiene que pagar una multa ΠM y de aqúı en adelante gana
la utilidad del equilibrio no cooperativo (ΠC); si la firma no es descubierta gana la
utilidad monopólica que le corresponde (ΠM) y al siguiente periodo vuelve a enfrentar
5
el mismo riesgo que enfrentó hoy. Por lo tanto, el valor de coludirse hay que escribirlo
de forma recursiva.
V M = p(ΠM + δV M) + (1− p)(−M + ΠC + δΠC + ...)
V M(1− δp) = pΠM + (1− p)
(
−M + Π
C
1− δ
)
V M =
p
1− δp
ΠM +
1− p
1− δp
(
−M + Π
C
1− δ
)
Por otro lado, V D = ΠD + δ
1−δΠ
C
La condición que se tiene que cumplir para que las firmas se coludan, entonces, es:
V M ≥ V M
p
1− δp
ΠM +
1− p
1− δp
(
−M + Π
C
1− δ
)
≥ ΠD + δ
1− δ
ΠC
2. ¿Cómo la nueva ley cambió esta condición? ¿Cómo debeŕıa haber cambiado el factor
de descuento necesario para coludirse respecto del escenario sin ley?
R: la ley hizo que coludirse fuera menos rentable tanto por la multa, como por la prob-
abilidad de seguir jugando el equilibrio no cooperativo (antes podŕıan seguir jugando
el equilibrio cooperativo para siempre, en caso de coludirse). Por lo mismo, el factor
de descuento necesario para coludirse debeŕıa ser mayor al del escenario sin ley. En
otras palabras, hay menos factores de descuento para los cuales la colusión es rentable
o, equivalentemente, es más dif́ıcil coludirse.
3. Demuestre que, a diferencia de antes, la colusión ya no es rentable para algún factor
de descuento lo suficientemente alto (Esta parte del problema es dif́ıcil y no apareceŕıa
en una prueba o control. Sin embargo, quizás si en una gúıa, ya que existen softwares
y herramientas online que los pueden ayudar con el álgebra y el calculo de ĺımites). Si
no puede resolver matemáticamente, plantee el problema y explique cómo lo resolveŕıa.
R: Sabemos que sin ley, para que haya colusión, se debe cumplir que:
δ ≥ Π
D − ΠM
ΠD − ΠC
(Este resultado lo conocemos de clases y no es necesario derivarlo). A su vez, sabemos
que, como ΠM > ΠC , el lado derecho de la inecuación siempre será menor a 1. Por
lo tanto, siempre existe un factor de descuento (menor o igual a 1) lo suficientemente
alto como para que coludirse sea rentable.
Una manera para ver si esta conclusión se mantiene en el caso con ley, es escontrar el
ĺımite cuando δ tiende a 1 de la condición encontrada en la pregunta 1. Si logramos
mostrar que V M ≥ V M cuando δ tiende a 1, entonces siempre existe un δ lo suficiente-
mente alto para sostener colusión (NOTA: esta fue la respuesta que plantea el problema
y explica cómo resolverlo)
6
Buscamos el ĺımite cuando δ −→ 1 de
p
1− δp
ΠM +
1− p
1− δp
(
−M + Π
C
1− δ
)
≥ ΠD + δ
1− δ
ΠC
Podemos ver que los términos que acompañan a ΠC en ambos lados de la inecuación
se van a infinito cuando δ −→ 1, por lo que tenemos que hacer algo de álgebra para
resolver esos ĺımites.
p
1− δp
ΠM ≥ ΠD + 1− p
1− δp
M +
δ
1− δ
ΠC +
(
1− p
1− δp
)(
ΠC
1− δ
)
Juntamos los términos ΠC
p
1− δp
ΠM ≥ ΠD + 1− p
1− δp
M +
δ(1− δp)− (1− p)
(1− δp)(1− δ)
ΠC
Como el ĺımite aún no es claro (al reemplazar δ = 1 en este estado, el númerador y el
denominador se van a 0), tenemos que seguir simplificando la expresión. Refactorizando
el númerador, tenemos
p
1− δp
ΠM ≥ ΠD + 1− p
1− δp
M +
(δp+ p− 1)(−δ)
(1− δp)(1− δ)
ΠC
Simplificanto los términos
p
1− δp
ΠM ≥ ΠD + 1− p
1− δp
M +
(δp+ p− 1)
(1− δp)
ΠC
Ahora podemos tomar el ĺımite cuando δ −→ 1, lo que nos da
p
1− p
ΠM ≥ ΠD + 1− p
1− p
M +
(p+ p− 1)
(1− p)
ΠC
p
1− p
ΠM ≥ ΠD +M + (2p− 1)
(1− p)
ΠC
De esta expresión podemos ver que si M es lo suficientemente grande o p es lo suficien-
temente pequeño, no existe factor lo suficientemente grande para sostener la colusión,
lo que se contrapone al resultado cuando no hab́ıa ley (si no le queda claro, reemplace
en la inecuación un M muy grande o un p = 0 y se dará cuenta que no se cumple).
4. Propuesto: encuentre el δ cŕıtico (esto es, aquel delta sobre el cual la colusión es
rentable) si las firmas compiten a la Bertrand.
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	Colusión