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Funciones de Múltiples Variables Cristián García-Campo Universidad de los Andes Optimización 2° semestre 2018 Optimización–Prof. Cristian García-Campo Funciones de Múltiples Variables Contexto Una función f es una regla de correspondencia que asigna exactamente un número de salida f(x1,x2,x3…) a cada «tupla» de entrada {x1,x2,x3…} . Al conjunto de elementos de entrada se le denomina dominio de la función, al conjunto de todos los números posibles de salidas se le llama recorrido o rango. Por lo tanto, para evaluar si una variable «Z» es una función de otras variables independientes x1,x2,x3…, es necesario saber si para cada tupla de entrada, en este caso, { x1, x2,x3…} , se asigna sólo un número de salida, en este caso, «Z» F(x2,x1) x1 z x2 Optimización–Prof. Cristian García-Campo Funciones de Múltiples Variables Ejemplo Una empresa minera puede vender X libras de refinados de cobre en el mercado local a un valor 2,0 usd/l . También puede vender Y libras de refinado al exterior a un valor de 1,9 usd/l. Por lo tanto los ingresos de la Minera se determina como Z=f(x,y) = 2x+ 1,9y Optimización–Prof. Cristian García-Campo Funciones de Múltiples Variables Pregunta Una tienda especializada en artículos deportivos vende dos tipos de raquetas Williams y Babolat. La demanda de cada raqueta depende no sólo de su propio precio, sino también del precio de la marca de la competencia. Las cifras de ventas indican que si la marca Williams se vende por «X» dólares por cada raqueta y la marca de Babolat por «Y» dólares por raqueta, la demanda anual de raquetas Williams será: D1= 300-20x+30y mientras que la demanda anual de raquetas Babolat será de D2 = 200+40x -10y. Exprese los ingresos anuales totales de la tienda por la venta de estas raquetas en función de los precios «X» e «Y». Optimización–Prof. Cristian García-Campo Funciones de Múltiples Variables Cierre Ingresos totales= D1*X+D2*Y =(300-20x+30y )x+ (200+40x -10y)*y = 300𝑥 − 20𝑥2 + 30𝑥𝑦 + 200𝑦 + 40𝑥𝑦 − 10𝑦2 = 300𝑥 − 20𝑥2 + 70𝑥𝑦 + 200𝑦 − 10𝑦2 La pregunta que nace naturalmente de este problema es ¿ Que valores de «X» y de «Y» debe usar la tienda para maximizar sus ventas? ¿ Existe un máximo teórico para este problema? 300𝑥 − 20𝑥2 + 70𝑥𝑦 + 200𝑦 − 10𝑦2 Optimización–Prof. Cristian García-Campo Gráficos de Funciones de dos Variables Contexto Un gráfico de dos variables es una colección de «3-tuplas» o puntos {x,y,z} donde la dupla {x,y} pertenece al dominio de la función f y z= f(x,y). Para dibujar un gráfico de 2 variables necesitamos construir un «espacio cartesiano» agregando el eje Z perpendicular al plano cartesiano { x,y} Optimización–Prof. Cristian García-Campo Gráficos de Funciones de dos Variables Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo Gráficos de Funciones de dos Variables Contexto Generalmente se utiliza una rama (¿Por qué?) quedando una ecuación de la forma: 𝒛 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒚𝟐 Optimización–Prof. Cristian García-Campo Gráficos de Funciones de dos Variables Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo Gráficos de Funciones de dos Variables Contexto Generalmente se utiliza una rama (¿Por qué?) quedando una ecuación de la forma: 𝒛 = −𝒂𝒙𝟐 +−𝒃𝒚𝟐 + 𝒄 Optimización–Prof. Cristian García-Campo Gráficos de Funciones de dos Variables Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo Curvas de Nivel Contexto Muchas veces no es fácil visualizar el gráfico de una función de 2 variables. Una forma de imaginarse estos gráficos es utilizando curvas de nivel. Una Curva de Nivel de la función z= f(x,y) es la región geométrica paralela al eje xy que satisface la ecuación f(x,y) = c, siendo c una constante … hay tantas curvas de nivel como valores de c en el recorrido de f(x,y) Optimización–Prof. Cristian García-Campo Curvas de Nivel Ejemplo … mapa topográfico) Optimización–Prof. Cristian García-Campo Curvas de Nivel Pregunta Comente las curvas de nivel de la función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 Optimización–Prof. Cristian García-Campo Curvas de Nivel Cierre Comente las curvas de nivel de la función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 Las curvas de nivel serían de la forma c = 𝑥2 + 𝑦2 Por lo tanto cada curva de nivel con c> 0 sería un circulo de radio 𝑐 y en el punto c=0 la curva de nivel es el punto ( 0,0). Es fácil ver que el radio de los círculos que forman las curvas de nivel crecen similar a la función raíz cuadrada. Por lo tanto podemos concluir que f(x,y) es un paraboloide. Optimización–Prof. Cristian García-Campo Curvas de Nivel Pregunta Dibuje en un plano las curvas de nivel de la siguiente función: Optimización–Prof. Cristian García-Campo Curvas de Nivel Cierre Dibuje en un plano las curvas de nivel de la siguiente función: Optimización–Prof. Cristian García-Campo Curvas de Nivel Pregunta Dibuje en un plano las curvas de nivel de la siguiente función: Optimización–Prof. Cristian García-Campo Curvas de Nivel Cierre Dibuje en un plano las curvas de nivel de la siguiente función: Optimización–Prof. Cristian García-Campo Curvas de Nivel Pregunta Dibuje 3 curvas de nivel para la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∗ y con x,y>0 Dibuje 3 curvas de nivel para la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + y con x, y > 0 Optimización–Prof. Cristian García-Campo Curvas de Nivel Pregunta Dibuje 3 curvas de nivel para la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∗ y asuma que x, y > 0 Dibuje 3 curvas de nivel para la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + y con x, y > 0 Derivadas Parciales Contexto Al analizar una función de varias variables a veces es necesario entender como se comporta cada una de las variables antes cambios pequeños. ( Análisis diferencial). Para estos efectos es común analizar dicha variable manteniendo las otras constantes. El análisis diferencial de una variable dejando el resto constante se conoce como Derivación Parcial y las derivadas obtenidas de este análisis se conocen como Derivadas Parciales. Optimización–Prof. Cristian García-Campo Derivadas Parciales Contexto Notación: La derivada parcial de una función z= f(x,y) con respecto a x se escribe: 𝜕𝑧 𝜕𝑥 Alternativamente puede escribirse como 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) y se obtiene derivando f(x,y) considerando y como una constante. De igual manera se calcula y escribe la derivada parcial con respecto a y Optimización–Prof. Cristian García-Campo Derivadas Parciales Pregunta Encuentre la derivadas parciales 𝜕𝑧 𝜕𝑥 y 𝜕𝑧 𝜕𝑦 para la siguiente función: 𝑧 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦2 + 2𝑦 3𝑥 Optimización–Prof. Cristian García-Campo Derivadas Parciales Cierre Calculamos fx(x,y) dejando «y» como si fuese una constante: Calculamos fy(x,y) dejando «x» como si fuese una constante: Optimización–Prof. Cristian García-Campo ¡Esto es interesante! 𝑧 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦2 + 2𝑦 3𝑥 Tenemos: Derivadas Parciales Pregunta Optimización–Prof. Cristian García-Campo Encuentre la derivadas parciales 𝜕𝑧 𝜕𝑥 y 𝜕𝑧 𝜕𝑦 para las siguientes función: 𝑧 = (𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦)5 𝑧 = 𝑥𝑒−2𝑥𝑦 Hint: Note que , para las derivadas parciales, también aplican la regla de la cadena y la regla del producto. Derivadas Parciales Cierre Optimización–Prof. Cristian García-Campo Tenemos: 𝑧 = (𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦)5 aplicando regla de la cadena: Tenemos: 𝑧 = 𝑥𝑒−2𝑥𝑦 aplicando regla del producto y regla de la cadena: Derivadas Parciales Contexto Recordemos que, geométricamente, una derivada representa la pendiente de la tangente a la curva en el punto evaluado y nos sirve, entre otras cosas, para conocer la razón de cambio de la curva en dicho punto. Así mismo, la derivada parcial 𝜕𝑧 𝜕𝑥 es la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x,y), «en la direcciónde x» . Mismas descripción aplica para 𝜕𝑧 𝜕𝑦 Optimización–Prof. Cristian García-Campo Derivadas Parciales Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo Derivadas Parciales Aplicaciones En economía , el análisis marginal es un término que se refiere a la práctica de utilizar una derivada para estimar el cambio en el valor de una función que resulta del aumento de 1 unidad en una de sus variables. Acá un ejemplo de cómo las derivadas parciales se puede utilizar de una manera similar. Se estima que la producción de cierta planta viene dada por la función Q(x, y) = 1200x +500y + x2y - x3 - y2 unidades. Donde «x» es el número de trabajadores capacitados e «y» el numero de trabajadores no capacitados. Actualmente la planta cuenta con 30 trabajadores capacitados y 60 trabajadores no capacitados. Usando análisis marginal determine la mejora en la producción al aumentar la dotación de trabajadores capacitados en 1 unidad. Optimización–Prof. Cristian García-Campo Derivadas Parciales Cierre Optimización–Prof. Cristian García-Campo La derivada parcial con respecto a x dQ/dx = 1200 + 2xy-3x2 Evaluando en Q(30,60) = 1200+2*30*60-3*900 = 2100 Considerando que el resultado que entrega hacer el análisis por el camino largo es Q(31,60)- Q(30,60) = 2069 el resultado anterior es una buena aproximación Derivadas Parciales Aplicaciones Si Q (K, L) es el resultado de un proceso de producción que implique el gasto de K unidades de capital y L unidades de mano de obra, entonces la derivada parcial dQ/dk se llama productividad marginal del capital y mide la velocidad con la que cambia la producción Q con respecto a los gastos de capital K cuando la fuerza de trabajo L se mantiene constante. Del mismo modo, dQ/dl se llama la productividad marginal del trabajo y mide la velocidad de cambio de la producción con respecto al nivel de trabajo L cuando el gasto de capital K se mantiene constante. Suponga que la producción de cierta fabrica viene dada por la función tipo cobb-douglas: 𝑄 𝑘, 𝑙 = 50𝑘0,4𝑙0,6 Encuentre la productividad marginal del capital y la productividad marginal del trabajo cuando k= 750 y l= 991. ¿ Cual de las dos deberíamos aumentar para mejorar la productividad? Optimización–Prof. Cristian García-Campo …Cobb Duglas -> 𝑄 𝐾, 𝐿 = 𝐴𝐾𝑎𝐿𝑏 con a+b=1 Derivadas Parciales Cierre Optimización–Prof. Cristian García-Campo La derivada parcial con respecto a k y l Al analizar las derivadas parciales evaluadas en los niveles actuales de «k» y «l» vemos que dQ/dl > dQ/dk por lo que un incremento en una unidad de la mano de obra ( de 991 a 992 ) nos entrega mejores resultados que un incremento en el capital ( de 750 a 751 ). …Este es un caso particular de «Aproximación por incrementos» Derivadas Parciales Aplicaciones Se dice que dos ( o + ) productos son sustitutos si un aumento en la demanda de uno resulta en una disminución de la demanda del otro. Por otra parte se dice que dos ( o + ) productos son complementarios si una disminución en la demanda de cualquiera de ellos resulta en una disminución en la demanda del otro. Matemáticamente y considerando las funciones de demanda D1(p1,p2) y D2(p1,p2) para los precios p1 y p2 tenemos: 𝜕𝐷1 𝜕𝑝1 < 0 𝑦 𝜕𝐷2 𝜕𝑝2 < 0 Para productos Sustitutos: 𝜕𝐷1 𝜕𝑝2 > 0 𝑦 𝜕𝐷2 𝜕𝑝1 > 0 Para productos Complementarios: 𝜕𝐷1 𝜕𝑝2 < 0 𝑦 𝜕𝐷2 𝜕𝑝1 < 0 Optimización–Prof. Cristian García-Campo Derivadas Parciales Aplicaciones Considere que en cierta comunidad la demanda por harina «D1» y pan «D2» depende del precio de la harina «p1» y del Pan «p2» según la formula: 𝐷1 𝑝1, 𝑝2 = 500 + 10 𝑝1 + 2 − 5𝑝2 𝐷2 𝑝1, 𝑝2 = 400 + 7 𝑝2 + 3 − 2𝑝1 Determine si pan y Harina son sustitutos, complementarios o ninguno. Optimización–Prof. Cristian García-Campo Derivadas Parciales Cierre Optimización–Prof. Cristian García-Campo Las derivadas parciales son: Esto quiere decir que al aumentar el precio de un producto disminuye la demanda del Otro. Por lo tanto son productos Complementarios Regla de la cadena DP Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo Regla de la cadena DP Pregunta Optimización–Prof. Cristian García-Campo Regla de la cadena DP Cierre Optimización–Prof. Cristian García-Campo Regla de la cadena DP Cierre Optimización–Prof. Cristian García-Campo Aproximación por Incrementos Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo Aproximación por Incrementos Problema Optimización–Prof. Cristian García-Campo Aproximación por Incrementos Cierre Optimización–Prof. Cristian García-Campo Aproximación por Incrementos Cierre Optimización–Prof. Cristian García-Campo Derivadas Parciales de Segundo Orden Contexto Las Derivadas Parciales pueden ser a su vez derivables. La derivada parcial de una derivada parcial se conoce como Derivada parcial de segundo Orden. Para una funcion de dos variables existen cuatro posible derivadas parciales de segundo orden. La notación es la siguiente: 𝜕2𝑧 𝜕𝑥2 , 𝜕2𝑧 𝜕𝑦2 , 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 y 𝜕2𝑧 𝜕y𝜕𝑥 Las Derivadas Parciales 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 y 𝜕2𝑧 𝜕y𝜕𝑥 se conocen como derivadas parciales cruzadas (o mixtas ) de segundo orden y por lo general 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕2𝑧 𝜕y𝜕𝑥 . Optimización–Prof. Cristian García-Campo …Teorema de Schwarz Derivadas Parciales de Segundo Orden Pregunta Encuentre la derivadas parciales de segundo orden de: Optimización–Prof. Cristian García-Campo Derivadas Parciales de Segundo Orden Cierre Encuentre la derivadas parciales de segundo orden de: Optimización–Prof. Cristian García-Campo Tenemos que: Optimización de Funciones Multivariables Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo Se dice que la función f (x, y) tiene un máximo local ( o máximo relativo) en el punto P (a, b) en el dominio de f si f (a, b) ≥ f (x, y) para todos los puntos (x, y) en un disco circular centrado en P conocido como vecindad de P. Del mismo modo , si f(c, d)≤ f (x, y) para todos los puntos (x, y) en la vecindad de P , entonces f (x, y) tiene un mínimo local en P (c, d). Optimización de Funciones Multivariables Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo Un punto (a, b) en el dominio de z=f (x, y) para los que las derivadas parciales 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 existen y son iguales a 0 se llama un punto crítico. Si las derivadas parciales de primer orden de z=f(x,y) existen y son continuas, tanto los extremos locales como los extremos globales de z=f(x,y) ( i.e: Los Máximos y los Mínimos ) deben ocurrir sólo en los puntos críticos. Optimización de Funciones Multivariables Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo …Volveremos sobre esto más adelante en el curso Optimización de Funciones Multivariables Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo A pesar de que todos los extremos aparecen en Puntos Críticos ( ie: Donde todas las derivadas parciales son 0 ) no todos los Puntos Críticos son extremos. Un punto critico puede ser: Un Máximo ( Local, Global, Estricto o No estricto) Un Mínimo ( Local, Global, Estricto o No estricto) O un punto de Inflexión o Punto de Silla. …Condición necesaria pero no suficiente. Optimización de Funciones Multivariables Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo El test de las segunda derivadas Considere la función z=f(x,y) cuyas derivadas parciales de primer y segundo orden : Existen. Se define D ( Determinante o Hessiano) como : 𝜕𝑧 𝜕𝑥 , 𝜕𝑧 𝜕𝑦 , 𝜕2𝑧 𝜕𝑥2 , 𝜕2𝑧 𝜕𝑦2 y 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕2𝑧 𝜕y𝜕𝑥 𝑫 = 𝝏𝟐𝒛 𝛛𝒙𝟐 * 𝝏𝟐𝒛 𝛛𝒚𝟐 - 𝝏𝟐𝒛 𝝏𝒙𝝏𝒚 𝟐 Recordar: ¿Determinantes de una Matriz ? Optimización de Funciones Multivariables Contexto Optimización–Prof.Cristian García-Campo El test de las segunda derivadas Para todo punto crítico P = a,b tal que : 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 0 Se tiene que: D(a,b) < 0 P es punto silla o de inflexión D(a,b) = 0 El test no entrega información sobre P D (a,b) >0 P es un mínimo o máximo local 𝜕2𝑧 𝜕𝑥2 > 0 P es un mínimo local 𝜕2𝑧 𝜕𝑥2 < 0 P es un máximo local 𝑫 = 𝝏𝟐𝒛 𝛛𝒙𝟐 * 𝝏𝟐𝒛 𝛛𝒚𝟐 - 𝝏𝟐𝒛 𝝏𝒙𝝏𝒚 𝟐 Optimización de Funciones Multivariables Pregunta Optimización–Prof. Cristian García-Campo Encuentre todos los puntos críticos de la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 12𝑥 − 𝑥3 − 4𝑦2. Clasifíquelos en máximos, mínimos o puntos de silla. ¿Podemos decir que existe un extremo absoluto? Optimización de Funciones Multivariables Cierre Optimización–Prof. Cristian García-Campo Tenemos que: Para encontrar los puntos críticos resolvemos el sistema de ecuaciones de 2x2 trivial: Que entrega los puntos críticos ( -2,0 ) y (2,0 ) . Las segunda derivas parciales por su parte son: Y por lo tanto: Optimización de Funciones Multivariables Cierre Optimización–Prof. Cristian García-Campo Evaluando en los puntos críticos (2,0) y (-2,0) tenemos: Al no tener otros máximos relativos y un dominio definido en R, podemos decir que (2,0 ) es un máximo absoluto de la función. Extremo Relativo Máximo Relativo Punto Silla Optimización de Funciones Multivariables Pregunta Optimización–Prof. Cristian García-Campo Encuentre todos los puntos críticos de la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 6𝑦𝑥 + 𝑥3 − 𝑦3. Clasifíquelos en máximos, mínimos o puntos de silla. ¿Podemos decir que existe un extremo absoluto? Optimización de Funciones Multivariables Cierre Optimización–Prof. Cristian García-Campo Tenemos que: Para encontrar los puntos críticos resolvemos el sistema de ecuaciones de 2x2: Que entrega los puntos críticos ( 0,0 ) y (2,-2) . Las segunda derivas parciales por su parte son: Y por lo tanto: Optimización de Funciones Multivariables Cierre Optimización–Prof. Cristian García-Campo Evaluando en los puntos críticos (0,0) y (2,-2) tenemos: Al no tener otros mínimos relativos y un dominio definido en R, podemos decir que (2,-2) es un mínimo absoluto de la función. Extremo Relativo Mínimo Relativo Punto Silla Funciones de Múltiples Variables Cristián García-Campo Universidad de los Andes Optimización 2° semestre 2018 Optimización–Prof. Cristian García-Campo Recordatorios: Derivadas Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo Recordatorios: Derivadas Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo Recordatorios: Sumatorias Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo Propiedades de las Sumatorias 𝒄𝒊 = 𝒄 ∗ 𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒊 = 𝒊 + 𝒉 𝒊=𝟏 𝒊 𝒏 𝒊=𝒉 𝒏 𝒊=𝟏 𝒌𝒊 − 𝒌(𝒊−𝟏) = 𝒌𝒏 − 𝒌𝟎 𝒏 𝒊=𝟏 𝒌+ 𝒋 = 𝒋 + 𝒏 𝒊=𝟏 𝒌 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 Recordatorios: Sumatorias Contexto Optimización–Prof. Cristian García-Campo Algunas Sumatorias notables: 𝑖 = 𝑛(𝑛 + 1) 2 (𝑆𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎) 𝑛 𝑖=1 𝑎𝑘 = 𝑎 ∗ (𝑎𝑛 − 1) 𝑎 − 1 (𝑆𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎) 𝑛 𝑖=1 𝑖2 = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6 𝑛 𝑖=1 𝑐 = 𝑛𝑐 𝑛 𝑖=1 Matemáticas para Economía y Administración de Empresas –Prof. Cristian García-Campo Recordatorios: Matrices Contexto El determinante de una Matriz A de 2x2 Det A= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 Matemáticas para Economía y Administración de Empresas –Prof. Cristian García-Campo Recordatorios: Matrices Contexto El determinante de una Matriz A de 3x3 Es (−𝟏)𝒋+𝟏𝒂𝟏𝒋 ∗ 𝐝𝐞𝐭 (Â𝟏𝒋) 𝟑 𝒋=𝟏 O equivalentemente: Para matrices de orden superior ( 3x3 o más ) se utiliza el método de entradas Funciones de Múltiples Variables Cristián García-Campo Universidad de los Andes Optimización 2° semestre 2018 Optimización–Prof. Cristian García-Campo
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