Clase N 1 Funciones

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Clase No1: Funciones. Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
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DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
 
CLASE Nº 1: FUNCIONES 
 
1. Funciones de una variable independiente. 
1.1. Definición. 
Una función f de un conjunto D en otro conjunto R, es una regla que asigna a cada elemento x de D 
exactamente un elemento y de R,. Diremos que y es la imagen de x bajo la función f, y escribimos 
y = f(x) 
También se define una función como un conjunto no vacío de pares ordenados (x, y) tales que dos 
pares ordenados distintos no tienen igual la primera componente. Esto es, una relación matemática 
es una función sí y sólo sí, 
 
Empleamos la notación, 
 
1.2. Dominio y rango. 
El conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de una función f se denomina 
dominio de la función. El conjunto D es el dominio de la función f. 
El conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de una función f se denomina 
rango o recorrido de la función. Es decir el rango de f es el conjunto de todas las imágenes f(x) de 
elementos x de D. En símbolos, es 
 
Diagrama de flechas. 
 
 Dominio f = D 
( ) ( ) 'yyf'y,xfy,x =ÛÎÙÎ
( ) ( ){ }xfy∧R∈y∃D∈x∀/y,xf ==
( ){ }Dx/xf ∈
 
 
 
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1.3. Variable dependiente e independiente. 
Variable: es un símbolo para representar a cualquier elemento de un conjunto dado. Es decir su 
universo es conocido. 
Variable independiente: es una variable cuyo universo es el dominio de la función dada. 
Variable dependiente: es una variable cuyo universo es el rango de la función dada. Es decir, el valor 
de y depende de la elección de x por lo que “y” es variable dependiente y “x” es variable 
independiente. 
Trabajaremos con funciones para las cuales D y R son conjuntos de números reales. Este tipo de 
funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales) de una variable real. 
Hay distintas formas de definir una función: por medio de una tabla, de un gráfico, en forma 
coloquial, mediante diagrama de flechas o como conjunto de pares ordenados. Trabajaremos con las 
dadas por una fórmula o ecuación que liga las variables dependientes y la independiente. 
Notación. Cuando una función está definida mediante una fórmula su usa la notación: 
f: y = f(x) 
donde f representa una expresión analítica. 
Otra forma de anotar una función real de una variable real: 
 
Ejemplos: 
a) Dar el dominio y rango de la función y = x2. 
El dominio, al no especificarse restricción, será: D = {x/x ϵ Re}.En consecuencia el rango: R= {y/y ϵ 
Re≥ 0} 
b) Si la función está definida por y = (4 – x)1/2, determine su dominio y rango. 
Como la raíz cuadrada de números negativos no existe en el campo real, entonces, para que el 
radicando no sea negativo, x debe tomar valores menores o iguales a cuatro, entonces su 
dominio será: D = {x/x ϵ Re ≤ 4} y en consecuencia el rango estará dado por: R= {y/y ϵ Re ≥ 0}. 
c) Si la función está definida por y = (1 + x)1/2 + (2 – x)1/4 + x, determine su dominio. 
Por las razones expuestas en el ejercicio anterior esta función estará definida, para las x tales que, en 
la primera raíz 1 + x ≥ 0 y para la segunda 2- x ≥ 0. En consecuencia, D = {x/x ϵ Re , -1 ≤ x ≤ 2}. 
Se acostumbra a abreviar una expresión como “la función f definida por f(x) = ln x” en la forma 
“la función f(x) = ln x” o mas generalmente se expresa como y = ln x. 
1.4. Funciones definidas por una ecuación. 
Si la función está definida por una fórmula el dominio de una función puede describirse 
explícitamente junto con la función o bien estar implícito en la ecuación que define a la función. El 
dominio implícito es el conjunto de todos los números reales para los cuales tiene sentido la fórmula 
y da como resultado un número real. 
 
 
{ }
{ }D∈x/)x(ffRango
y...,,y,yfRango n21
=
=
)x(fx
RRD:f
®
®Ì
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1.5. Gráfica de en una función de una variable independiente. 
Si f es una función cuyo dominio es D, su gráfica es el conjunto de pares ordenados; 
 
En virtud de la correspondencia biunívoca que existe entre los pares ordenados (x,y) de 
números reales y los puntos del plano, la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x,y) en el 
plano coordenado tales que y=f(x) y x está en el dominio de f. 
La gráfica de f en general es una curva en el plano. El dominio D de la función f se representa 
sobre el eje x y su rango sobre el eje y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Funciones de dos variables independientes. 
2.1. Definición. 
Sea . Una función f de dos variables independientes reales es una regla que asigna a cada 
par ordenado (x,y) de números reales en D un único número real denotado por f(x,y). 
Notación. Para hacer explícito el valor que toma f en el punto general (x,y) escribimos z =f(x,y), donde 
x e y son variables independientes y z variable dependiente. 
Una forma de visualizar una función es con el diagrama de flechas: 
Diagrama de Flechas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ){ }Dx,xf=y/R)x(f,x 2 ∈∈
2RD⊂
Dominio 
x x 
f(x) 
y 
f 
Rango 
o 
z1 
z2 
. 
. 
. 
zn 
 
 
 
D f 
(x1,y1) 
 (x2,y2) 
 . 
 . 
 . 
 (xn,yn) 
x 
y 
0 
R 
0 
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También se define una función como un conjunto no vacío de ternas ordenados (x,y,z) con la 
propiedad de que si: , 
empleamos la notación, 
Otra forma de anotar una función real de dos variables reales: 
 
 
 
2.2. Dominio y rango. 
El dominio de la función f es el conjunto de los pares ordenados (x,y) de números reales para los 
cuales está definida la función f. 
Las variables x e y para las cuales (x,y) pertenece a D se llaman independientes, su universo es el 
dominio de la función f. 
El rango de la función f es el conjunto de los valores que toma la función f. 
2.3. Variables independientes y variable dependiente 
Una variable cuyo universo es el rango de f se llama variable dependiente. 
Dominio de f: Es el conjunto D 
Variables independientes: x, y 
Variable dependiente: z 
Rango de f: 
Seguimos usando la convención de que si una función está definida por una fórmula y no se 
especifica el dominio, entonces este es el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) para los cuales 
la fórmula tiene sentido. 
Notación: f: z =f(x,y) donde f representa una expresión analítica. 
Ejemplos: 
a) Dada la función F por el conjunto de ternas: F={(2,1,7), (-3,4,6), ( 1,2,-5)}, determinar su dominio 
y rango. 
Por simple inspección serán: D ={(2,1), (-3,4),(1,2)} y R = {7, 6, -5} 
b) Definida la función mediante la regla: “a cada par de números reales se le asigna su suma”, 
determinar su dominio y rango. 
Traducida esta regla a una formula será: z = x + y. En consecuencia tendremos que D ={(x, y) / x 
ϵ Re, y ϵ Re} y R = {z / z ϵ Re} 
c) Sea la función definida mediante la fórmula z = x / y, determine su dominio y rango. 
Como la división por cero no existe, entonces esta operación está definida para todo (x, y) tal 
que y ≠ 0, en consecuencia serán; 
D ={(x, y) / x ϵ Re, y ϵ Re ≠ 0} y R = {z / z ϵ Re} 
d) Si se conoce que la función está definida por la formula: z = (x - y)1/2, indique cual es su dominio. 
La operación raíz cuadrada, en el campo real, no está definida para radicandosnegativos, 
entonces se sigue que x - y ≥ 0, o sea x ≥ y, entonces: 
( ) ( ) 21211111 zzfz,y,xfz,y,x =ÛÎÙÎ
( ) ( ){ }D)y,x(y,xf=z/z,y,x=f ∈∧
( ) ( ){ }Dy,x/y,xf ∈
f : R 
 (x,y) f(x,y) 
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D ={(x, y) / x ϵ Re, y ϵ Re , x ≥ y} 
Ejercicios. 
a).Determine si z es función de x e y. 
1) yz – xy + x2z = 10 3) xyz2 + 2 x y – y2 = 4 
2) 4) z + x ln y – 8 = 0 
Respuestas. 
En 1) y 4) z es función de x e y. En 2) y 3) z no es función de x e y. 
b) Evaluar las siguientes funciones según se indica. 
1) f(x,y) = x – 2y i)f(-1,2) ii) f(a,a2) 
2) i) ii) f(a, b+k) iii) 
c) Dada la función, encontrar el dominio y rango. Representar gráficamente el dominio. 
1) f : f(x,y) = x2 +y2. 
2) f : z = ln(1- x+y). 
3) f : z = x/y 
4) f : f(x,y) = (x – y)1/2 
5) f : z = (9 – x2 – y2)1/2 
6) f : f(x,y) = (4 – x2 – y2)1/2 
7) f : f(x,y) = arcsen (x+y) 
8) f : f(x,y) = ln(4 – x – y) 
9) f : f(x,y) = (x+y)/xy 
10) f : z = ex/y 
11) g: g(x,y) = 1/ (xy) 
Respuestas. 
1)Dominio: {(x,y)/ (x,y) ε R2} = R2 ; Rango: z ≥ 0 
2)Dominio: {(x,y)/ y > x - 1}; Rango: R 
6) Dominio: {(x,y)/x2+y2 ≤ 4}; Rango: 0≤ z ≤ 2 
7) Dominio: {(x,y)/ -1 ≤ x+y ≤ 1}; Rango: -π/2 ≤ z ≤ π/2 
8) Dominio: {(x,y)/ y <-x +4}; Rango: todos los números reales 
9) Dominio: {(x,y)/ x ≠ 0, y ≠ 0}; Rango: todos los números reales 
10) Dominio: {(x,y)/ y ≠ 0}; Rango: z > 0 
11) Dominio: {(x,y)/ x ≠ 0, y ≠ 0}; Rango: 
2.4. Gráfica de una función de dos variables. 
Para una función de dos variables, z = f(x,y), su dominio D (que consistente en pares ordenados de 
números reales) puede representarse geométricamente por una región en el plano. 
La gráfica de la función f es el conjunto de ternas ordenadas: 
 
1
94
2
22
=++ zyx
xyyxf -=),( ÷
ø
ö
ç
è
æ
4
1,
2
1f
k
bafkbaf ),(),( -+
0z >
( ) ( ){ }D∈)y,x(,y,xfz/R∈z,y,x 3 =
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En virtud de la correspondencia biunívoca que existe entre los ternas ordenadas (x,y,z) de números 
reales y los puntos del espacio tridimensional, la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) 
en el espacio de tres dimensiones tales que z = f(x,y) y (x,y) está en el dominio D de f. 
La gráfica de f en general es una superficie en el espacio. Tal gráfica se muestra en la figura 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Funciones de tres variables independientes. 
3.1. Definición. 
Sea . Una función f de tres variables independientes reales es una regla que asigna a cada 
terna ordenada (x,y,z) de números reales en D un único número real denotado por f(x,y,z). 
Notación. Para hacer explícito el valor que toma f en el punto general (x,y,z) escribimos u =f(x,y,z), 
donde x ,y,z son variables independientes y u variable dependiente. 
Una forma de visualizar una función es con el diagrama de flechas (ver figura siguiente). 
También se puede definir una función, usando la forma conjuntista, como un conjunto de cuaternas 
ordenadas de números reales cuya notación es la siguiente: 
 
 
3RD⊂
( ) ( ){ }Dzyxzyxfuuzyxf ∈),,(,,/,,, Ù==
Fig.5. Gráfica de una función de dos variables 
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3.2. Dominio y rango. 
El dominio de la función f es el conjunto de las ternas ordenados (x,y,z) de números reales para las 
cuales está definida la función f. Las variables x,y,z para las cuales (x,y,z) pertenece a D se llaman 
independientes, su universo es el dominio de la función f. 
El rango de la función f es el conjunto de los valores que toma la función f. 
Una variable cuyo universo es el rango de f se llama variable dependiente. 
Dominio de f: Es el conjunto D 
Variables independientes: x, y,z 
Variable dependiente: u 
Rango de f: 
Otra forma de anotar una función: 
 
 
Nuevamente si una función está definida por una fórmula y no se especifica el dominio, entonces 
este es el conjunto de todos los ternas ordenados (x,y,z) para las cuales la fórmula tiene sentido. 
Notación: f: u =f(x,y,z) donde f representa una expresión analítica. 
La gráfica de una función de tres variables estará en un espacio de cuatro dimensiones, y como no 
hay representación geométrica de dicho espacio, no podemos representar gráficamente esta 
función. Solamente podemos representar su dominio que estaría en el espacio de tres dimensiones. 
 
( ) ( ){ }Dz,y,x/z,y,xf ∈
f : R 
 (x,y,z) f(x,y,z) 
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Ejercicios: 
a) Dada la función, encontrar el dominio y rango. Representar gráficamente el dominio. 
1) f : f(x, y, z) = x2 +y2+z2. 
2) f : u = x + y + z. 
3) f : u = 1/( x2 + y2 + z2-1)1/2 
4) f : f(x, y, z) = (9 - x2 - y2 - z2)1/2 
5) f : u = x sen(y+z). 
6) f: f(x,y,z) = x/(yz) 
Respuestas. 
1) R3 ; 2) R3 ; R 3) ; 
4) 5) R3 ; R 6) ; R 
b) Aplicaciones. 
1)1Una caja rectangular abierta en su parte superior tiene longitud de x pies, ancho de y pies y altura 
de z pies. Hacer la base cuesta de $0.75 por pie cuadrado y hacer los lados cuesta $0.40 por pie 
cuadrado. Exprese el costo C de la fabricación de la caja en función de x, y, z. 
2) Se construye un tanque para propano soldando un hemisferio a cada extremo de un cilindro 
circular recto. Exprese el volumen V del tanque en función de r y l, donde r es el radio del cilindro y 
de los hemisferios y l es el largo del cilindro. 
3)2 Un sólido rectangular del primer octante, con tres caras en los ejes planos coordenados, tiene un 
vértice en el origen y el vértice opuesto en el punto (x,y,z) en el plano x + 3y + 2z = 6. I) Obtenga un 
modelo matemático que exprese el volumen del sólido como una función de las dimensiones de la 
base. Determine el dominio de la función. II) ¿Cuál es el volumen si la base es un cuadrado de lados 
1,25 unidades? 
4) Un almacén de artículos deportivos tiene dos tipos de raquetas de tenis, las marcas autografiadas 
M. Chang y B. Becker. La demanda de consumo de cada marca depende no sólo de su precio, sino 
también del precio de la marca competidora. Las cifras de ventas indican que si la marca Chang se 
vende a “x” dólares por raqueta y la Becker a “y” dólares por raqueta, la demanda de raquetas Chang 
será D1 = 300-20x+30y raquetas por año y las demandas de las raquetas Becker será D2 = 200+40x-
10y raquetas por año. Expresar el ingreso total anual del almacén de artículos deportivos 
provenientes de la venta de estas raquetas, como una función de los precios x y y. 
Respuestas. 
1) C = 0,75 xy + 0,8 yz + 0,8 zx 
 
1 Aplicaciones 1 y 2 adaptadas de Larson, R., Hostetler,R, Edwards, B. Cálculo Esencial, México, Cenagage learning, 
Mexico, p. 663, 2010. 
2 Aplicación adaptada de Leithold, L. El Cálculo, 7 ed., Oxford, México, 1998, p.926. 
[ )¥,0 { }1zyx/)z,y,x( 222 >++ ( )¥,0
{ } [ ]3,0;0zyx9/)z,y,x( 222 ³--- { }0yz/)z,y,x( ¹
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2) 
3) I) ; II) 0,78125 unidades cúbicas. 
4) R(x,y) = ( 300-20x + 30y).x + (200+40x-10y) y donde R es el ingreso total anual 
4. Funciones de “n” variables independientes. 
4.1 Definición. 
Sea . Una función f de n variables independientes reales es una regla que asigna a cada n-
ada ordenada (x1, x2,…, xn) de números reales en D un único número real denotado por f(x1, x2,…, xn). 
4.2 Dominio y rango. 
Dominio de f: Es el conjunto D 
Rango de f. El conjunto de los valores que toma la función es su rango, es decir 
 
Otra forma de anotar una función real de n variables reales: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32
3
4 rlrV p+p=
( ) 6,0,0;36
2
1
£+³³--= yxyxyxyxV
nRD⊂
( ) ( ){ }Dx.,..,x,x/x,...,x,xf n21n21 ∈
f : R 
 (x1 ,x2 ,…, xn) f(x1, x2,…, xn) 
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Resaltar
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Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Ejemplos 
 
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ℎ(#, %) = arccos(#%) + 2
!
"#$% 
2. Determine y grafique el dominio de la siguiente función: 
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