Ayudantía 10

Vista previa del material en texto

Ayudantía 10
VIERNES 18 DE JUNIO
PROBABILIDADES 2021-01
1
Ejercicios Sección 4.3
Ejercicio 35
Suponga que el diámetro a la altura del pecho (pulgadas) de árboles de un tipo está 
normalmente distribuido con μ = 8.8 y σ = 2.8 como se sugiere en un artículo.
A) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea por lo 
menos de 10 pulgadas? ¿Mayor de 10 pulgadas? 
2
Ejercicios Sección 4.3
Ejercicio 35
A) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea por lo menos de 
10 pulgadas? ¿Mayor de 10 pulgadas? 
𝑃 𝑋 ≥ 10 = 𝑃 𝑍 ≥ (10 − 8.8)/2.8) = 𝑃(𝑍 ≥ 0.43 = 1 − Φ 0.43 = 1 − 0.6664 = 0.33
Solución en R:
1 - pnorm(q = 10, mean = 8.8, sd = 2.8) = 0.33
1 - pnorm(q = (10 - 8.8)/2.8, mean = 0, sd = 1) = 0.33 o 1 – pnorm(q=0.43, mean=0, sd =1)
3
Ejercicio 35
B) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea de más de 
20 pulgadas?
𝑃 𝑋 > 20 = 𝑃 𝑍 > (20 − 8.8)/2.8 = 𝑃(𝑍 > 4) ≈ 0
Solución en R:
1 - pnorm(q = 4, mean = 0, sd = 1)
Ejercicios Sección 4.3
4
Ejercicio 35
C) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar esté entre 5 y 10 
pulgadas? 
𝑃 5 ≤ 𝑋 ≤ 10 = 𝑃 −1.36 ≤ 𝑍 ≤ 0.43 = Φ 0.43 − Φ −1.36 = 0.6664 − 0.0869 = 0.5795
Solución en R:
pnorm(q = 10, mean = 8.8, sd = 2.8) – pnorm(q = 5, mean = 8.8, sd = 2.8)
Ejercicios Sección 4.3
5
Ejercicio 35
D) ¿Qué valor c es tal que el intervalo (8.8 - c, 8.8 + c) incluya 98% de todos los valores de diámetro?
𝑃 8.8 − 𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 8.8 + 𝑐 = 0.98,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 8.8 − 𝑐 𝑦 8.8 + 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙 1 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙 99 𝑑𝑒 𝑙𝑎
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎, 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.
Entonces:
8.8 – c = qnorm(0.01, mean = 8.8, sd = 2.8) → 8.8 - qnorm(0.01, mean = 8.8, sd = 2.8) = c
c = 6.51
Ejercicios Sección 4.3
6
Ejercicio 35
E) Si se seleccionan cuatro árboles al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno 
tenga un diámetro de más de 10 pulgadas? 
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝐴) 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑃 𝑋 > 10 = 0.33. 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴:
Evento A: Diámetro mayor a 10, es decir, X > 10.
Evento 𝐴𝑖: Árbol i tiene diámetro mayor que 10, i = 1, 2, 3, 4.
N = número de árboles con diámetro mayor a 10 pulgadas, de entre los 4 árboles 
seleccionados.
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑃 𝑖=1ڂ
4 𝐴𝑖 = 𝑃 𝑁 ≥ 1 = 1 − 𝑃 𝑁 = 0 = 1 − 𝑃 𝑁 < 1 = 1 − 𝑃(𝐴
𝑐)4
= 1 − 1 − 0.33 4 = 1 − 0.2015 = 0.798
Ejercicios Sección 4.3
7
Ejercicios Sección 4.4
Ejercicio 61
La amplia experiencia con ventiladores de un tipo utilizados en motores diesel ha sugerido que 
la distribución exponencial proporciona un buen modelo del tiempo hasta la falla. Suponga que 
el tiempo medio hasta la falla es de 25000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que
A) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20000 horas? ¿Cuándo mucho 30000 
horas? ¿Entre 20000 y 30000 horas?
8
Ejercicio 61
A) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20000 horas? ¿Cuándo mucho 30000 horas? ¿Entre 
20000 y 30000 horas?
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 =
1
𝜆
= 25000, 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝜆 = 0.00004
𝑃 𝑋 > 20000 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 20000 = 1 − 𝐹 20000; 0.00004 = 𝑒− 0.00004 20000 = 0.449
𝑃 𝑋 ≤ 30000 = 𝐹 30000; 0.00004 = 1 − 𝑒−(0.00004)(30000) = 0.699
𝑃 20000 ≤ 𝑋 ≤ 30000 = 0.699 − 0.551 = 0.148
Solución en R:
1 - pexp(q = 20000, rate = 0.00004)
pexp(q = 30000, rate = 0.00004)
pexp(q = 30000, rate = 0.00004) - pexp(q = 20000, rate = 0.00004)
Ejercicios Sección 4.4
9
Ejercicio 61
B) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un ventilador exceda el valor medio por más 
de dos desviaciones estándar? ¿Más de tres desviaciones estándar?
𝜎 =
1
𝜆
= 25000, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃 𝑋 > 𝜇 + 2𝜎 = 𝑃 𝑥 > 75000 = 1 − P(x ≤ 75000)
= 1 − 𝐹 75000; 0.00004 = 𝑒− 0.00004 75000 = 0.05
Similar es: 𝑃 𝑋 > 𝜇 + 3𝜎 = 𝑃 𝑥 > 100000 = 1 − 𝑃 𝑥 ≤ 100000 = 0.018
Solución en R:
1 - pexp(q=75000,rate=0.00004) = 0.05
1 – pexp(q=100000, rate=0.00004) = 0.018.
Ejercicios Sección 4.4
10
Ejercicio 61
C) Obtenga el valor de k tal que el 25% de todos los ventiladores duren al menos k horas.
0.25 = 𝑃 𝑋 > 𝑘 = 1 − P 𝑋 ≤ 𝑘 = 1 − 𝐹 𝑘; 1/25000 = 𝑒− 1/25000 𝑘
𝑘 = −25000 ∗ log(0.25) = 34657.36
Solución en R:
qexp(p = 1 - 0.25, rate = 1/25000) = 34657.36. 
Ejercicios Sección 4.4
11
Ejercicios Complementarios
Ejercicio 1 → Ejemplo 4.9
La distribución de la cantidad de grava (en toneladas) vendida por una compañía de materiales 
para la construcción particular en una semana dada es una variable aleatoria continua X con 
función de densidad de probabilidad:
La función de distribución acumulativa de las ventas para cualquier x entre 0 y 1 es:
12
Ejercicios Complementarios
Ejercicio 1 → Ejemplo 4.9
A) Programe en R la función F(X)
F.X <- function(x) {return(3/2 * (x - x^3/3)}
13
Ejercicios Complementarios
Ejercicio 1 → Ejemplo 4.9
B) Buscar el cuantil de orden 0.5 usando valores tentativos de eta. En esta búsqueda es útil 
tener presente que F(X) es estrictamente creciente.
F.X(x = 0.5) # 0.6875
F.X(x = 0.45) # 0.6294375
F.X(x = 0.35) # 0.5035625
F.X(x = 0.34) # 0.490348
F.X(x = 0.345) # 0.4969682
F.X(x = 0.3475) # 0.5002686
F.X(x = 0.34725) # 0.4999389
F.X(x = 0.347275) # 0.4999718
F.X(x = 0.3472775) # 0.4999751
F.X(x = 0.3472964) # 0.5000001
F.X(x = 0.3472963) # 0.4999999
F.X(x = 0.34729635) # 
0.5
14