Guía 1 (Funciones)

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2014.
MAT 210E ∗ GUIA N◦1
Dominio. Recorrido. Álgebra de funciones.
1. Sea f : A −→ R tal que f(x) =
3
√
x + 1
(2x2 − x− 1)(3x2 + x + 1)
. Determine el máximo
conjunto A ⊆ R de modo que f sea una función.
2. Dadas las funciones f : [0; +∞[−→ R, donde f(x) = 3 +
√
x + 2 y g : [−3 , +∞[−→ R
con g(x) = (x− 2)2 + 1.
Determine:
a) Rec(f).
b) Rec(g).
c) f + g , f · g , f
g
. Indique claramente el dominio.
3. Sea f : A −→ R , tal que f(x) =
[
x
x− 1
− 1
]
( [ ] : parte entera)
a) Determine Dom(f).
b) Grafique f(x).
c) Resuelva f(x) = 4.
4. Dadas las funciones: f(x) = |x + 2| − 1 y g(x) = 5− (x + 2)2
a) Graf́ıquelas.
b) Determine los x ∈ R tales que f(x) = g(x).
c) Determine (g ◦ f)(x), para x < −3.
5. Considere la función
f(x) =

1
|x|
si |x| ≥ 1
x2 + 2 si |x| < 1
Determine Rec(f) y el conjunto
S =
{
x ∈ Dom(f) / f(x) < 1
2
}
6. Si f : R− {2} −→ R y f(x) = x
x− 2
g : [−3,∞ [−→ R, g(x) = 1−
√
x + 3
Determine f ◦ g y g ◦ f.
7. Dada las funciones f : R→ R y g : R→ R, f(x) = x2 + 3x + 1, g(x) = 2x− 3.
a) Determine (f ◦ g)(4), (g ◦ f)(4) y (f ◦ f)(4).
b) Demuestre que, en general, f ◦ g(x) 6= g ◦ f(x).
c) ¿Existe algún x ∈ R tal que f ◦ g(x) = g ◦ f(x) ?
8. Dadas las funciones reales de variable real definidas por:
f(x) =
x + |x|
2
y g(x) =

x si x < 0
x2 si x ≥ 0
Demuestre que f ◦ g = g ◦ f .
9. Dadas las funciones f : R→ R donde f(x) = 2x2 + 1 y g : R→ R con g(x) = x− 3
Determine x ∈ R de modo que f ◦g(x) = g◦f(x). Defina donde sea posible f ◦g y g◦f.
10. Sea f(x) =
1
1− x
con x 6= 1. Calcule f ◦ f ◦ f .