Guía 10 (Continuidad)

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer semestre 2014.
MAT 210E ∗ GUIA N◦10
Continuidad de funciones.
1. Para cada una de las funciones siguientes, analice su continuidad en R y de ser necesario
redefina las funciones de modo que sean continuas en todo R.
i) f(x) =
x2 − x− 6
x− 3
ii) g(x) =
sen(2x)
x− x2
iii) j(x) =
1− cos
(
(1 + x) π
2
)
1− x2
iv) k(x) =

x2 − x− 6
x− 3
, x 6= 3
3 , x = 3
v) h(x) =
√
x2 + 1 sen
(π
x
)
2. Determine los valores de a y b para que la función :
f(x) =

ax+ 2 , x ≤ 1
x2 + bx , 1 < x ≤ 2
3x , 2 < x
, sea continua en todo R.
3. Encuentre los valores de p y q de manera que la función:
f(x) =

−2 sen(x) si x ≤ −π
2
p sen(x) + q si −π
2
< x < π
2
cos(x) si π
2
≤ x
, sea continua en todo R.
4. Determine el valor de a ∈ R de modo que la función :
f(x) =

1− cos(x)
x2
, x 6= 0
a , x = 0
, sea continua en todo R.
5. Determine los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
a)
1
sen(2x)
b)
cos(x)
|cos x|
c) sen
(
1
x
)
d) x
[
1
x
]
e) [x] f)
x
x3 − 4x
g)
sen(x)
x− x2
h) arctan
(
1
x− 4
)
i)
√
x− [x]
6. Demuestre que la función f(x) = [x] +
√
x− [x] , es continua en R.
7. Demuestre que las funciones dadas no son continuas en los puntos que se indican. Jus-
tifique.
a) f(x) =

|x|+ x2
x
, x 6= 0
1 , x = 0
, en x = 0
b) f(x) =

sen(|x− 1|)
x− 1
, x 6= 1
1 , x = 1
, en x = 1
8. Demuestre que si f es una función continua en [a, b] tal que f(a) < a y f(b) > b,
entonces existe un punto c en [a, b] donde f(c) = c. (Propiedad del punto fijo).
Ilustre esta propiedad gráficamente con una función adecuada y demuestre, usando este
resultado que la ecuación cos(x) = x tiene al menos una solución en [0, π]
9. Sea
f(x) =
( 3
√
x− 1)(1− cos(x))
(
√
x− 1)x sen(x)
Analice la discontinuidad de f(x) para x = 0 y x = 1 e indique el tipo de discontinuidad.
10. Sea f(x) una función continua en [1, a] tal que f(1) = −5 y f(a) > 0. ¿Podemos ase-
gurar que en estas condiciones la función g(x) = f(x) + 3 tiene al menos un cero en el
intervalo (1, a)? Razonar la respuesta.
11. Demostrar que la ecuación x3 − 3x+ 1 = 0 , tiene una ráız real en (1, 2) .
12. Demostrar que la ecuación sen(π x) + π − 4 = 0 , tiene una ráız real en (0, π
2
) .
13. Sea f(x) una función definida en [a, b] tal que:
f(a)− f(b) < 0
f(a) = h
f(x) es continua en x = a
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?
a) Existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0
b) f(x) es continua en (a, b)
c) ĺım
x→a+
f(x)− h = 0
d) Si existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0, entonces f(x) es continua en [a, b]