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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2006
MAT 1503 ∗ GUIA N◦5
PARTE I
1. Ejercicios del texto gúıa:
• caṕıtulo 2, Sección 2.2, página 99:
Del 1 hasta el 10,del 12 hasta el 14, del 21 hasta el 30.
• caṕıtulo 2, Sección 2.3, página 109:
Del 1 hasta el 27,del 31 hasta el 58.
• caṕıtulo 2, Sección 2.4, página 120:
Del 1 hasta el 42.
• caṕıtulo 2, Sección 2.5, página 131:
Del 1 hasta el 61.
• caṕıtulo 2, Sección 2.6, página 144:
Del 1 hasta el 8,del 11 hasta el 33, del 35 hasta el 65.
PARTE II: ejercicios complementarios
1. Demuestre que lim
x→1
|x− 1|
1− x no existe.
2. Demuestre por definición que:
a) lim
x→−2
(3x + 5) = −1 b) lim
x→2
x
x + 1
=
2
3
c) lim
x→ 3
2
[x] = 1 d) lim
x→a
cos x = cos a
1
3. Demuestre que los siguientes ĺımites no existen:
a) lim
x→1
√
x(x− 1) b) lim
x→0
sen2
1
x
c) lim
x→2
x
x− 2 d) limx→0 tg
1
x
4. Aplicando la definición de ĺımite demuestre que:
(a) lim
x→ 3
2
4x2 − 9
2x− 3 = 6
(b) lim
x→2
(x2 − 1) = 3
(c) lim
x→3
f(x) = 6
siendo f(x) =



2x si x < 3
8 si x = 3
3x− 3 si x > 3
Dibuje un gráfico en cada caso.
2
5. Calcular los siguientes ĺımites y justificar su respuesta:
lim
x→2
x2 + 5
x2 − 3 limx→1
x2 − 2x + 1
x3 − x
lim
x→1
(x− 1)√2− x
x2 − 1 limx→1(
1
1− x −
3
1− x3 )
lim
x→1
xm − 1
xn − 1 (m,n ∈ N) limx→0
√
1 + x− 1
x
lim
x→0
sen 5x
x
lim
x→a
√
x− b−√a− b
x2 − a2 (a > b)
6. Calcular los siguientes ĺımites:
lim
x→0
1− cos x
x2
lim
x→0
tg 2x
sen 3x
lim
x→0
(
1
sen x
− 1
tg x
) lim
x→π
sen 3x
sen 2x
lim
x→π
4
cos x− sen x
cos 2x
lim
x→0
√
2−√1 + cos x
sen2x
lim
x→0
1
x
(
1
3 + x
− 1
3
) lim
x→0
(3 + x)3 − 27
x
lim
x→0
1
x
(
√
3 + x−√3
x
) lim
x→0
√
1 + 2x−√1− 3x
x
lim
x→0
√
x2 + 1
x + 1
lim
x→0
√
x2 + p2 − p√
x2 + q2 − q
7. Si lim
x→3
f(x) = 2 calcular:
lim
x→3
f 2(x) ; lim
x→2
f(x2 − 1) ; lim
x→4
f(2x− 5)
8. Si f(x) =



x− 4 −1 < x < 2
x2 − 6 2 < x < 5
Calcular lim
x→2
f(x)
3
9. Si f(x) =



x3 − 1
x− 1 si x < 1
sen 3x
x
si x > 1
Calcular lim
x→1
f(x)
10. Si f(x) =



x2 x 6= 2
0 x = 2
encuentre lim
x→2
f(x)
Dado ε = 0.001 determine δ > 0 de manera que |f(x)− 1| < ε cuando
0 < |x− 2| < δ.
11. Calcule:
a) lim
x→ 3
2
4x3 + 8x2 − 3x− 9
10x3 + 9x2 − 5x + 6 b) limx→a
xm − am
xp − ap , m, p ∈ Z
+
c) lim
x→1
[
2
1− x2 −
3
1− x3 ]
12. Calcule:
a) lim
x→a
x3 − a3√
x−√a , a ∈ R
+ b) lim
x→a
n
√
x− n√a
m
√
x− m√a, n,m ∈ Z
+
c) lim
x→1
3x− 2−√4x2 − x− 2
x2 − 3x + 2
13. a) lim
x→a
2a− 3
√
4(a3 + x3)
3
√
4(a3 + x3)− 2x b) limx→1
√
x− 4√x
3
√
x− 5√x
14. Sean x1 < x2 las ráıces de la ecuación x
2 − 2ax + b2 = 0, a, b ∈
R+, a > b. Encuentre los siguientes ĺımites:
a) lim
b→a
x2 − x1√
a− b b) limb→a
ax2 − b2
ax1 − b2
c) lim
b→a
ax2 − bx1
ax1 − bx2
4
15. Calcule:
a) lim
x→0
sen 4x
sen 3x
b) lim
x→0
7x− sen 3x
2x + 3 sen 4x
c) lim
x→0
Arc sen x
x
16. Calcule:
a) lim
x→a
sen x− sen a
senx
2
− sena
2
b) lim
x→π
senx
2
+ cos x
1 + sen2x + cos x
c) lim
x→π
4
cos(x + π
4
)
tg x− 1
17. a) lim
x→0
tg(x− π
4
)− 1
sen x
b) lim
x→π
2
tg x(1− tgx
2
)
18. a) lim
x→0
2x − 3x
x
b) lim
x→0
4x − 2x
5x − 3x
19. Calcule los siguientes ĺımites:
a) lim
x→0
(1 + x)
1
2x b) lim
x→1
x
1
1−x c) lim
x→∞
x( x
√
a− 1)
20. Dadas las funciones:
f(x) =
x2 − x− 6
x− 3 g(x) =



x2 − x− 6
x− 3 si x 6= 3
3 si x = 3
h(x) =



x2 − x− 6
x− 3 x 6= 3
5 x = 3
(a) Dibuje el gráfico de cada función
(b) Analice su continuidad en x = 3
(c) Redefina aquellas funciones en x = 3 cuando la discontinuidad sea
evitable.
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21. Localice los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones.
Clasifique la discontinuidad en evitable o esencial:
a) f(x) =
x
x3 − 4x b) g(x) =
1
sen 2x
c) h(x) = [x]
22. Determine los intervalos donde son cont́ınuas las siguientes funciones:
a) f(x) =
1
x2 − 9 b) g(x) =
4
x2 + x
c) h(x) =
√
x− 5
x + 6
23. Encuentre los valores de p y q de manera que la función:
f(x) =



−2sen x si x ≤ −π
2
p sen x + q si −π
2
< x < π
2
cos x si π
2
≤ x
sea cont́ınua en todo R. Haga el gráfico de f .
24. Demuestre que si f es una función cont́ınua en [a, b] tal que f(a) <
a y f(b) > b, entonces existe un punto c en [a, b] donde f(c) = c.
(Propiedad del punto fijo). Ilustre esta propiedad gráficamente con
una función adecuada.
25. Bosqueje los gráficos de las siguientes funciones señalando sus puntos
de discontinuidad y el caracter de éstos
a)
x3 − 1
x2 − 1 b)
3
√
1 + x− 1
x
c)
cos x
|cos x| d) Arc tg
1
x− 4
e) sen
1
x
f) x sen
1
x
g)
sen x
x
h)
sen 2x
x− x2
6
i) x[
1
x
] j)
√
x− [x]
k) [x] sen πX
26. Localice los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y cons-
truya su gráfico:
(a) lim
n→∞
1
1 + xn
con x ≥ 0
(b) lim
n→∞
x2n − 1
x2n + 1
(c) lim
n→∞
n
√
1 + x2n
27. ¿Es obligatoriamente discontinua en un punto dado la suma de dos
funciones f(x) + g(x) si:
(a) f es continua pero g es discontinua en x = a?
(b) f y g son discontinuas en x = a?
28. Demuestre que si f(x) es una función continua en un punto a y f(a) >
0, entonces existe una vecindad de a donde f es positiva.
29. Demuestre que si f(x) es un polinomio de grado n tal que el primer y
último coeficiente tiene signos opuestos, entonces f tiene al menos una
ráız positiva.
30. Demuestre que si una función f(x) monótona está definida en [a, b] y
toca todos los valores comprendidios entre f(a) y f(b), entonces f es
continua en [a, b].
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31. Demuestre que si un veh́ıculo recorre un camino de 500 Km. con ve-
locidad promedio de 50 km
h
, entonces debe existir un tramo de 50 km.
que fue recorrido exactamente en 1 hora.
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