Solución C3 Cálculo I 2015

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemática
Primer Semestre de 2015
MAT 1610 – Cálculo I
Control 3
FILA A
Nombre:
Sección:
Tiempo: 55 minutos
Fecha: 29 de Mayo de 2015
1. Calcular las siguientes integrales
a)
∫ 2
−2
(2x2 − [x]) dx donde [x] es la función parte entera de x.
Solución∫ 2
−2
(2x2 − [x]) dx = 2
∫ 2
−2
x2 dx −
∫ 2
−2
[x] dx
= 2
x3
3
∣∣∣2
−2
−
∫ −1
−2
[x] dx −
∫ 0
−1
[x] dx −
∫ 1
0
[x] dx −
∫ 2
1
[x] dx
(0.5 pts)
= 2
x3
3
∣∣∣2
−2
− (−2x)
∣∣∣−1
−2
− (−x)
∣∣∣0
−1
− x
∣∣∣2
1
=
38
3
(0.5 pts)
b)
∫ 1
−2
x
√
1 + x2 dx
Solución
Sea u = (1 + x2)3/2 entonces du =
3
2
(1 + x2)1/22xdx.
Además si x = −2 ⇒ u = 5
√
5
y si x = 1 ⇒ u = 2
√
2.
(0.3 pts)
Por lo tanto
∫ 1
−2
x
√
1 + x2 dx =
∫ 2√2
5
√
5
1
3
du = −1
3
∫ 5√5
2
√
2
du = −1
3
u
∣∣∣5√5
2
√
2
=
1
3
(2
√
2 − 5
√
5).
(0.7 pts)
OBSERVACION: podŕıan utilizar otras substituciones
2. Un derrame de petróleo en el océano tiene una forma aproximadamente circular, con radio R(t)
metros, t minutos después del inicio del derrame. El radio crece a una tasa de
R′(t) =
21
0, 07t+ 5
metros/min
a) Determine una expresión para el radio R(t), suponiendo que R = 0 cuando t = 0.
Solución
Por el Teorema Fundamental del cálculo, tenemos que:
R(t) =
∫
R′(t) dt =
∫
21
0, 07t+ 5
dt.
Haciendo u = 0, 07t+ 5 tenemos du = 0, 07dt entonces:
R(t) =
21
0, 07
∫
du
u
= 300 ln |u| + C = 300 ln |0, 07t+ 5| + C.
(0.7 pts)
Como R(0) = 0 entonces C = −300 ln(5), por lo tanto
R(t) = 300 ln |0, 014t + 1|
(0.3 pts)
b) ¿Cuál es el área del derrame después de 1 hora?
Solución
El área del derrame depués de 1 hora es:
A = π(300)2(ln(1, 84))2.
(1.0 pts)
3. Si F (x) =
∫ x
1
f(t) dt, donde f(t) =
∫ t2
1
1− u2
1 + u2
du, entonces el valor de F ′′(2) es:
a)
15
17
b) 0
c) −15
17
d) −3
5
e) −60
17
Respuesta Correcta (2.0 pts)
No se considera el desarrollo
Solución
Dado que por T.F. C. F ′(x) = f(x) entonces F ′′(x) = f ′(x) es decir
F ′′(x) =
1− (x2)2
1 + (x2)2
2x
entonces
F ′′(2) = −60
17
Sin uso de calculadoras.
Recuerde escribir sólo con tinta indeleble y no usar corrector.
Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemática
Primer Semestre de 2015
MAT 1610 – Cálculo I
Control 3
FILA B
Nombre:
Sección:
Tiempo: 55 minutos
Fecha: 29 de Mayo de 2015
1. Calcular las siguientes integrales
a)
∫ 3
−1
(x2 − [x]) dx donde [x] es la función parte entera de x.
Solución∫ 3
−1
(x2 − [x]) dx =
∫ 3
−1
x2 dx −
∫ 3
−1
[x] dx
=
x3
3
∣∣∣3
−1
−
∫ 0
−1
[x] dx −
∫ 1
0
[x] dx −
∫ 2
1
[x] dx −
∫ 3
2
[x] dx
(0.5 pts)
=
x3
3
∣∣∣3
−1
− (−x)
∣∣∣0
−1
− x
∣∣∣2
1
− (2x)
∣∣∣3
2
=
22
3
(0.5 pts)
b)
∫ 2
−1
x2
√
1 + x3 dx
Solución
Sea u = (1 + x3)3/2 entonces du =
3
2
(1 + x3)1/23x2dx.
Además si x = −1 ⇒ u = 0
y si x = 2 ⇒ u = 27.
(0.3 pts)
Por lo tanto
∫ 2
−1
x2
√
1 + x3 dx =
∫ 27
0
2
9
du =
2
9
u
∣∣∣27
0
= 6.
(0.7 pts)
OBSERVACION: podŕıan utilizar otras substituciones
2. El valor de reventa de una cierta máquina industrial disminuye a una tasa que depende de su edad.
Cuando la máquina tiene t años, la tasa a la cual cambia su valor es V ′(t) = −960 · e−t/5 dólares
por año.
a) Exprese el valor de la máquina en términos de su edad y de su valor inicial.
Solución
Por el teorema Fundamental del cálculo, tenemos que:
V (t) = V (0) +
∫ t
0
V ′(x) dx = V (0) − 960
∫ t
0
e−x/5 dx.
(0.5 pts)
OBSERVACIÓN: también podŕıan hacerlo con integral indefinida y calcular la cons-
tante.
Haciendo u = −x/5, tenemos que du = −1
5
dx, y por lo tanto:
V (t) = V (0) + 4800
∫ −t/5
0
eu du = V (0) + 4800(e−t/5 − 1).
(0.5 pts)
b) Si originalmente la máquina vaĺıa $5.200 dólares, ¿cuánto valdrá cuando tenga 10 años?
Solución
Dado que V (0) = 5200, entonces dentro de 10 años el valor de reventa será
V (10) = 5200 + 4800e−2 − 4800 = 400 + 4800e−2.
(1.0 pts)
3. Si F (x) =
∫ x
1
f(t) dt, donde f(t) =
∫ t3
1
1− u
1 + u
du, entonces el valor de F ′′(2) es:
a)
1
3
b) 0
c) −1
3
d) −28
3
Respuesta correcta (2.0 pts)
e) −7
9
No se considera el desarrollo
Solución
Dado que por T.F.C. F ′(x) = f(x) entonces F ′′(x) = f ′(x) es decir:
F ′′(x) =
1− x3
1 + x3
3x2
Por lo tanto:
F ′′(2) = −28
3
.
Sin uso de calculadoras.
Recuerde escribir sólo con tinta indeleble y no usar corrector.