Ayudanta 7 - Auffarth

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CÁLCULO 1-MAT1503 
Ayudantía 7 
Robert Auffarth 
 
 
1. Calcule , donde 
1
n
k
k
a
=
∑
0
1
3
k
k k j
j
k
a
j−=
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ . 
 
Solución: Debemos calcular 
1 0
1
3
n k
k j
k j
k
j−= =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑∑ . Empecemos a trabajar primero 
con la sucesión { } . ka
 
Vemos que: 
 
0 0 0
1 1 3
3 3 3 3
jk k k
k j k j k
j j j
k k k
j j j− −= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ 
 
Como 3 no influye en la sumatoria, lo podemos sacar para afuera para 
que quede 
k
0
1 3
3
k
j
k
j
k
j=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ . 
 
Recordemos ahora el teorema del binomio, lo cual dice que 
0
( )
n
n n
j
n j jx y x
j
−
=
⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ y . Eligiendo en particular 1x = e 3y = , tenemos que 
0 0
(3 1) 4 1 3 3
n n
n n n j j
j j
n jn
j j
−
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ , y es precisamente lo que tenemos 
arriba: 
 
0
1 13 4
3 3
kk
j k
k k k
j
k
a
j=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ 43 
 
Reemplazando esto en nuestra sumatoria original, queda: 
 
1 0 1
1 4
3 3
kn k n
k j
k j k
k
j−= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
∑∑ ∑ 
 
Esta sumatoria es la sumatoria de la progresión geométrica, con , y 
entonces: 
1 1a =
( ) ( )
1
1
4 44 3 3 44 1343 1 3
n
kn n
k
+
=
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠−⎝ ⎠
∑ 
 
 
 
 
PROPIEDAD TELESCÓPICA 
 
Sea { una sucesión. Entonces: }na
 
1 1 2 2 3 1 1
1
( ) ( ) ( ) ... ( )
n
k k n n n
k
a a a a a a a a a a+ +
=
− = − + − + + − = −∑ 1+
1a+
 
y 
 
1 2 1 3 2 1 1
1
( ) ( ) ( ) ... ( )
n
k k n n n
k
a a a a a a a a a+ +
=
− = − + − + + − = −∑ 
 
 
 
2. Calcule 
1
1
( 1)
n
k k k= +
∑ . 
 
Solución: Este ejercicio requiere de un pequeño truco que facilita el 
cálculo. Para poder usar la propiedad telescópica, vamos a reescribir esto 
usando fracciones parciales. 
 
Sea 1
( 1) 1
A B
k k k k
= −
+ +
. Si encontramos A y B tal que esto se cumple, 
podremos usar la propiedad telescópica usando la sucesión 1ka k
= . 
 
1
( 1)
A B
k k k k
= −
1+ +
 
1 ( 1)A k B⇒ = + − k 
1 Ak A Bk⇒ = + − 
1 ( )k A B A⇒ = − + 
 
Como en el lado izquierdo no hay ningún término con , podemos decir 
que 
k
A B= , y que 1A = . Entonces 1 1 1
( 1)k k k k
= −
1+ +
, y podemos verificar 
de inmediato que es cierto. Ahora simplificamos la sumatoria, y por la 
propiedad telescópica: 
 
1 1
1 1 1 1
( 1) 1
n n
k kk k k k n= =
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟
1
1+ + +⎝ ⎠
∑ ∑ 
 
 
 
3. Calcular , sabiendo que 
1
sin( )
n
k
k
=
∑ 1sin( )sin( ) (cos( ) cos( ))2α β α β α= − − + β . 
 
Solución: Este ejercicio lo vamos a hacer usando la propiedad telescópica, 
y la solución es un poco menos obvia que el ejercicio anterior. 
 
Como nos dan una identidad, probablemente vamos a tener que usarla en 
el ejercicio. 
 
Partamos multiplicando y dividiendo por 12sin
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Tenemos que: 
1 1 1
1 1 1 1sin( ) 2sin sin( ) 2sin sin( )
1 12 22sin 2sin
2 2
n n n
k k k
k k
= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ k 
 
Usando la identidad: 
 
1
1 1 2 1 2 1csc cos cos
2 2 2 2
n
k
n n
=
⎡ ⎤− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ 
 
Ahora podemos fijarnos en que claramente podemos usar la propiedad 
telescópica, y finalmente queda: 
 
1 1 1 2 1csc cos cos
2 2 2 2
n⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
Usando la identidad de nuevo podemos simplificar: 
 
1 1 1 2 1 1 1csc cos cos csc sin sin
2 2 2 2 2 2 2
n n⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
n 
 
 
 
4. Sume estos números por filas: 
 
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
...
1 2 3 4 ... n
+
+ +
+ + +
+ + + + +
 
 
 
Solución: Sumando los números anteriores por filas es equivalente a 
escribir 1 . (1 2) (1 2 3) ... (1 2 3 ... )n+ + + + + + + + + + +
 
1 2 3
1 1 1 1
...
n
j j j j
j j j
= = = =
= + + + + j∑ ∑ ∑ ∑ 
1 1
n k
k j
j
= =
=∑∑ 
 
Recordando que 
1
( 1
2
k
j
k kj
=
)+
=∑ , queda: 
 
( )2 2
1 1 1 1 1 1
( 1) 1 1 1
2 2 2 2
n k n n n n
k j k k k k
k kj k k
= = = = = =
+⎛ ⎞= = = + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑k k 
 
Aquí usamos otra propiedad de la sumatoria: 
 
2
1
( 1)(2 1)
6
n
k
n n nk
=
+ +
=∑ 
2
1 1
1 1 1 ( 1)(2 1) ( 1)
2 2 2 6 2
n n
k k
n n n n nk k
= =
+ + +⎛ ⎞⇒ + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ 
1 ( 1)( 2
2
n n n )= + +