Ejercicios y Apuntes - Felipe Soto ArÇvalo

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Escuela de Ingenieŕıa
MAT1610-8 CÁLCULO I
Sala B11 - Lunes Módulo 5
Felipe Soto Arévalo
2
Índice general
1. Introducción 5
2. Ĺımites de Sucesiones 7
2.1. Resumen de Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Más ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Ĺımites de Funciones y Continuidad 17
3.1. Resumen de Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Más ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3
Felipe Soto Arévalo ÍNDICE GENERAL
4
Caṕıtulo 1
Introducción
Este libro se presenta como una ayuda para el desarrollo del curso de Cálculo I de
la Pontificia Universidad Católica de Chile, siguiendo los contenidos desde los conceptos
más básicos de sucesiones hasta llegar al desarrollo de integrales impropias, i.e., se desar-
rollará gran parte de los contenidos del Cálculo en una variable.
La metodoloǵıa utilizada será presentar en primera instancia todos los conceptos y her-
ramientas necesarias con las demostraciones que sean consideradas de utilidad, para luego
aplicar todo esto en los ejercicios correspondientes; teniendo gran parte de estos sus respec-
tivas soluciones explicadas secuencialmente y, en el resto de los casos, quedando propuestas
para el desarrollo del lector. Además todos serán ordenados respecto a su complejidad en
forma creciente, de manera de permitir la evolución adecuada en el aprendizaje de quienes
los realicen.
La edición de este libro será progresiva en torno a cuando se vaya avanzando en los
contenidos del curso.
Felipe Soto Arévalo
Estudiante de segundo año
Ingenieŕıa Civil PUC
5
Felipe Soto Arévalo CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
6
Caṕıtulo 2
Ĺımites de Sucesiones
2.1. Resumen de Contenidos
Definición 1. Una sucesión es una función s definida por s : D → A, en donde D ∈
N ∧ A ∈ R. Su notación puede adquirir diversas formas, siendo las más comunes:
(S)n, {S}n, (S)n∈N, {S}n∈N, (S)n≥1, {S}n≥1.
Cada término enésimo de la sucesión se denota por sn y se lee ”s sub n”.
Existen variadas maneras de definir las sucesiones, entre las cuales son las más comunes
por: fórmula expĺıcita, recurrencia y composición de otras sucesiones.
Observación. Cuidado con confundir una sucesión con el conjunto de sus valores, i.e.,
dos sucesiones con el mismo conjunto de imágenes pueden ser distintas. Por ejemplo, si
tenemos:
(a)n =
{
7 n = 1
3 n ≥ 2 , (b)n =
{
7 n ∈ {1, 2}
3 n ≥ 3
Pese a que el conjunto de imágenes de ambas es {3, 7}, son sucesiones distintas porque
a2 6= b2.
Definición 2. Sea A un conjunto de números reales. La cota superior de este conjunto
se define como un número c ∈ R tq. c ≥ x, ∀x ∈ A. En caso de existir tal cota, A se dice
conjunto acotado superiormente.
Definición 3. Sea A un conjunto de números reales. La cota inferior de este conjunto
se define como un número c ∈ R tq. c ≤ x, ∀x ∈ A. En caso de existir tal cota, A se dice
conjunto acotado inferiormente.
Definición 4. Sea A un conjunto de números reales. Este se dice acotado si y sólo si es
acotado superior e inferiormente a la vez.
Otro teorema que puede ayudarnos para ver que un conjunto es acotado:
Teorema 1. Un conjunto A es acotado ssi ∃c ∈ R tq. |x| ≤ c, ∀x ∈ A.
Definición 5. Sea A un conjunto de números reales. Se define el supremo de este conjunto
como la menor de las cotas superiores y el ı́nfimo como la mayor de las cotas inferiores.
7
Felipe Soto Arévalo CAPÍTULO 2. LÍMITES DE SUCESIONES
Teorema 2. Si un conjunto de números reales tiene supremo, entonces es único.
Teorema 3 (Propiedad Arquimideana). Sean a, b ∈ R+. Entonces existe n ∈ N tq.
n · a > b
Axioma del supremo: Sea A un conjunto de números naturales (reales), no vaćıo
y acotado superiormente. Entonces existe un número natural (real) que es el supremo de
A.
Definición 6. Sea f una función definida sobre los reales. El supremo de f no es nada
más que el supremo del recorrido.
Definición 7. Dada una sucesión (s)n decimos que ésta es:
Creciente ssi sn ≤ sn+1, ∀n ∈ N
Decreciente ssi sn ≥ sn+1, ∀n ∈ N
Monótona ssi es sólo creciente o decreciente ∀n ∈ N
Definición 8. Sea (an) una sucesión y L un número real. Diremos que (a)n tiende a un
ĺımite L = ĺım
n→∞
an ssi:
∀� > 0 ∃no ∈ N tq ∀n ≥ no → |an − L| < �
Definición 9. Una sucesión (an)se dice divergente si:
∀M ∈ R+ ∃no ∈ N tq ∀n ≥ no → |an| > M
Existen 2 subsucesiones de ella, (bn)∧(cn) que cumplen con ĺım
n→∞
bn = b∧ ĺım
n→∞
cn = c,
para b 6= c.
Teorema 4 (de Bolzano-Weiertrass). Toda sucesión acotada que a partir de un punto es
monótona tendrá un ĺımite, i.e., será convergente.
Teorema 5 (del Sandwich). Sean (an)n∈N, (bn)n∈N y (cn)n∈N sucesiones tales que:
(an)n∈N ≤ (bn)n∈N ≤ (cn)n∈N, ∀n ∈ N y ĺım
n→∞
an = L = ĺım
n→∞
cn
Entonces:
ĺım
n→∞
bn = L
8
CAPÍTULO 2. LÍMITES DE SUCESIONES Felipe Soto Arévalo
2.2. Ejercicios
Problema 1. Dado: A =
{
an ∈ R tq. an =
1
4
− 1
n
}
.
Analizar si tiene cotas superiores e inferiores y si es acotado.
Solución. Como
1
n
≤ 1 , entonces an = 1−
1
n
≥ −3
4
, de donde tiene cota inferior a = −3/4.
Como
1
n
≥ 0 , se sigue que tiene cota superior b = 1/4.
Por lo tanto, de ambas conclusiones A es acotado.
�
Problema 2. Demostrar que R no es acotado.
Solución. Si R fuera acotado, entonces también seŕıa acotado inferiormente. Y en tal caso,
se tendŕıa algún número r ∈ R que será cota inferior, es decir: ∀x ∈ R, r ≤ x.
Pero si tomamos x = (r−1) ∈ R, esto implicaŕıa que r ≤ r−1 lo que es una contradicción
y demuestra la hipótesis.
�
Problema 3. Sea {an} una sucesión creciente de números reales positivos. Demuestre
que la sucesión
{
1
an
}
es convergente.
Solución. Dado que {an} es sucesión creciente de números positivos tenemos que:
0 < a1 ≤ an ≤ an+1 ∀n ∈ N
Por lo tanto:
1
a1
≥ 1
an
≥ 1
an+1
≥ 0
Por lo tanto,la sucesión
{
1
an
}
es decreciente y acotada, luego es convergente.
�
Problema 4. Determine el ĺımite de la sucesión an =
2n + (−1)n
5n
y demuéstrelo usando
definición.
Solución. Podemos determinar fácilmente que el ĺımite de la sucesión es
2
5
.
Ahora debemos encontrar el n0 para demostrar el ĺımite por definición, por lo cual pro-
cedemos aśı:∣∣∣∣2n + (−1)n5n − 25
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2n + (−1)n − 2n5n
∣∣∣∣ = |(−1)n|5n = 15n < � ⇐⇒ n > 15�
9
Felipe Soto Arévalo CAPÍTULO 2. LÍMITES DE SUCESIONES
Demostración:
Sea n0 =
[
1
5�
]
+ 1, entonces ∀� > 0 se cumple que,
n ≥
[
1
5�
]
+ 1 >
1
5�
=⇒ � > 1
5n
=
|(−1)n|
5n
=
∣∣∣∣2n + (−1)n − 2n5n
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2n + (−1)n5n − 25
∣∣∣∣
=⇒
∣∣∣∣2n + (−1)n5n − 25
∣∣∣∣ < �
�
Problema 5. Sea an =
2n2 + n
n2 + 4
. Demostrar que el ĺımite de esta sucesión cuando n →∞
es L = 2.
Solución. .
|an − L| =
n− 8
n2 + 4
, n ≥ 8
n− 8
n2 + 4
<
n
n2
=
1
n
Imponemos entonces:
1
n
< � ⇒ 1
�
< n
De donde obtenemos:
n0 =
[
1
�
]
+ 1
El cual nos asegura que se alcance tal ĺımite
�
Problema 6. Sea an =
n3 + 3n2 − 5n + 6
3n3 − 3n + 7
. Demostrar que el ĺımite de esta sucesión
cuando n →∞ es L = 1
3
.
Hint :
9n2 − 12n + 11
3(3n3 − 3n + 7)
<
9n2 + 0
9n3− n3
Solución. Propuesta (Resuelto en ayudańıa).
Problema 7. Sea an =
n∑
k=1
1
(k + 1)(k + 2)
. Demostrar que el ĺımite de esta sucesión
cuando n →∞ es L = 1
2
.
10
CAPÍTULO 2. LÍMITES DE SUCESIONES Felipe Soto Arévalo
Hints :
1
(k + 1)(k + 2)
=
1
(k + 1)
− 1
(k + 2)
(Por fracciones parciales)
n∑
k=1
[
1
k + 1
− 1
k + 2
]
=
1
2
− 1
(n + 2)
(Por telescópica)
Solución. Propuesto (resuelto en ayudant́ıa).
Problema 8. Calcule: ĺım
n→∞
(
n + 2
n + 1
)2009n
Solución.
ĺım
n→∞
(
n + 2
n + 1
)2009n
= ĺım
n→∞
(
1 +
1
n + 1
)2009n
= ĺım
n→∞((
1 +
1
n + 1
)n)2009
= ĺım
n→∞
((
1 +
1
n + 1
)n+1
·
(
1 +
1
n + 1
)−1)2009
= (e · 1)2009
= e2009
�
Problema 9. Demuestre por definición que:
ĺım
n→∞
n2 + 2
n + 1
= ∞
Solución. Para demostrar que esta sucesión diverge debemos tener lo siquiente:
11
Felipe Soto Arévalo CAPÍTULO 2. LÍMITES DE SUCESIONES
�
Problema 10. Se define an =
n∑
k=1
(
n
k
)
(−1)k · k · 2k. Decida si la sucesión
{an
n2
}
es
convergente.
Solución. La idea es simplificar en primera instancia el término general de nuestra suce-
sión, para después resolver sencillamente el ĺımite que se pide determinar.
an =
n∑
k=1
(
n
k
)
(−1)k k (−2)k =
n∑
k=1
(
n
k
)
k (−2)k =
n
n∑
k=1
(
n− 1
k − 1
)
(−2)k =− 2n
n−1∑
k=0
(
n− 1
k
)
(−2)k︸ ︷︷ ︸
(1−2)n−1
= 2n (−1)n
Queda propuesta la finalización del problema.
�
Problema 11. Sea {an} una sucesión tal que an =
(
3
e
)2−n
, ∀n ∈ N, entonces calcule:
1. ĺım
n→∞
(−1)nan
2. ĺım
n→∞
a2 + a4 + a6 + . . . + a2n
Solución. Propuesto
Problema 12. Calcule utilizando el criterio del sandwich: ĺım
n→∞
n
√
7 + 5cos(n)
Solución. Este problema es (como también se indica en el enunciado) es uno de los más
t́ıpicos para resolver con el teorema del sandwich, pues involucra una ráız enésima de una
cantidad subradical acotada.
12
CAPÍTULO 2. LÍMITES DE SUCESIONES Felipe Soto Arévalo
�
Problema 13. Sea a ∈ R fijo. Calcule ĺım
n→∞
[a] + [2a] + ... + [na]
n2
Solución. La clave de este problema es recordar como acotar la fución parte entera.
�
Problema 14. Decida justificadamente si la sucesión {an} es convergente, estando ésta
definida por:
an = (− n
√
5)n · 3n
5 − 27n2 + 14
15n5 − 2n4 + 7n3 − 9
Hint: Recordar criterios simples para determinar convergencia y divergencia (no usar
definición para mayor rapidez).
Solución. Propuesta (Resuelto en ayudant́ıa).
Problema 15. Sea {an} una sucesión tal que:
an =
1
n + 1
+
1
n + 2
+
1
n + 3
+ ... +
1
2n
.
Demuestre que {an} es convergente y luego que
1
2
< ĺım
n→∞
an < 1
13
Felipe Soto Arévalo CAPÍTULO 2. LÍMITES DE SUCESIONES
Solución. Propuesto.
Problema 16. Demuestre que la sucesión definida por
a1 = 1, an+1 =
√
1 + an,
es convergente y calcule su ĺımite.
Solución. Propuesto.
Problema 17. Si 0 < b ≤ a demostrar que la sucesión de término general: an = n
√
an + bn
converge a a
Solución. Esta problema puede ser ressuelto de dos formas, usando sólo álgebra de ĺımites
y conteorema del sandwich.
Queda propuesto y se resolverá en ayudant́ıa.
Problema 18. Calcule
ĺım
n→∞
n∑
k=0
1
(n + k)2
Solución. Si en la sumatoria decimos k = n entonces vamos a agrandar el denominador,
por lo cual los términos de la sumatoria disminuirán su valor. Es decir:
n∑
k=0
1
(n + k)2
≥
n∑
k=0
1
(2n)2
=
n + 1
(2n)2
Similarmente, tomando ahora k = 0 tenemos:
1
n
=
n
n2
=
n∑
k=0
1
n2
=
n + 1
(n)2
≥
n∑
k=0
1
(n + k)2
De donde legamos a:
n + 1
(2n)2
≤
n∑
k=0
1
(n+k)2
≤ 1
n
Luego al aplicar ĺımites obtenemos por el Teorema del Sandwich que:
ĺım
n→∞
n∑
k=0
1
(n + k)2
= 0
�
Problema 19. Dada la sucesión (sn) definida por:
sn =
(1 + n)7n
(n)7n+1
Determinar: ĺım
n→∞
sn
Hint: Usar definición de exponencial
14
CAPÍTULO 2. LÍMITES DE SUCESIONES Felipe Soto Arévalo
Solución. Queda propuesta [Resuelto en ayudant́ıa].
La respuesta es 0.
Problema 20. Dada la sucesión (sn) definida por:
sn =
(1 + n)4n(
n∑
k=1
4k3
)n
Determinar: ĺım
n→∞
sn
Hint: Usar fórmula de cubos y definición de exponencial
Solución. Queda propuesta.
La respuesta es e2.
Problema 21. Dada la sucesión (sn) definida por:
sn =
1
4n+1
·
(
2 +
1
n
)2n
Determinar: ĺım
n→∞
sn
Solución. Primero debemos trabajar nuestra expresión, pues tal como está no nos permite
extraer conclusiones:
1
(4)n+1
·
(
2 +
1
n
)2n
=
1
(4)n+1
· 22n ·
(
1 +
1
2n
)2n
=
1
4
·
(
1 +
1
2n
)2n
Ya estamos en condiciones de obtener el ĺımite, pues la expresión que depende de n tiende
a e, entonces:
ĺım
n→∞
sn = ĺım
n→∞
1
4
·
(
1 +
1
2n
)2n
=
e
4
�
2.3. Más ejercicios propuestos
Problema 22. Sea {an} una sucesión de números reales tal que a1 = 3 y an+1 =
1 + an
2
Demuestre que la sucesión converge y calcule su ĺımite.
15
Felipe Soto Arévalo CAPÍTULO 2. LÍMITES DE SUCESIONES
Problema 23. Sea b ∈ R con 0 < b < 1 y {an} una sucesión de números reales tal que
a1 = b y an+1 = an(2− an).
Demuestre que la sucesión converge y calcule su ĺımite.
Problema 24. Calcule el ĺımite cuando n →∞ de la sucesión:
√
n
(
4
√
n + 1− 4
√
n
)
.
Problema 25. Calcule el ĺımite cuando n →∞ de la sucesión:
(
n2 + 3n− 2
n2 + n
)2(n3 + 2)
2n2 − 1
16
Caṕıtulo 3
Ĺımites de Funciones y Continuidad
3.1. Resumen de Contenidos
Definición 10 (Informal). Si f(x) es una función definida para todos los valores de x
cerca de x = xo, excepto tal vez en x = xo, y si L es un número real tal que los valores de
f(x) se acercan cada vez más a L, en la medida de que los valores de x son tomados más
cerca de x0, entonces decimos que L es el ĺımite de f(x) cuando x se aproxima a xo.
Ahora con esta idea intuitiva que hemos entregado, podemos dar paso a la definición
formal del ĺımite de una función:
Definición 11. Dada una función f, se dice que f tiende a un ĺımite L cuando x tiende a
xo y se denota por L = ĺım
x→xo
f(x) ssi:
∀ε > 0 ∃δ | 0 < |x− xo| < δ ⇒ |f(x)− f(xo)| < ε
Teorema 6 (Del enlace). Si dada cualquier sucesión (xn) tal que xn 6= x0 para todo
n ≥ N (es decir a partir de algún N) se cumple que ĺım
n→∞
xn = x0 y también se tiene
ĺım
n→∞
f(xn) = L, entonces ĺım
x→x0
f(x) = L.
Observación. Entonces podemos heredar variados teoremas de sucesiones, como el del
sandwich y acotada por tendiente a 0 entre otros.
Teorema 7. El ĺımite L = ĺım
x→xo
f(x) existe ssi: ĺım
x→x+o
f(x) = ĺım
x→x−o
f(x) = L. En caso de
que ambos ĺımites laterales estén bien definidos.
Definición 12. Decimos que f es continua en a si:
ĺım
x→a
f(x) = f(a)
De no ocurrir esto, se dice que f es discontinua en a.
Definición 13. Una discontinuidad en a es evitable si los ĺımites laterales existen en este
punto y son iguales. De lo contrario se dice inevitable.
Teorema 8 (del valor Extremo). Sea f una función real y continua, definida en el intervalo
[a,b]. Entonces f alcanza su supremo e ı́nfimo en [a,b].
Teorema 9 (del Valor Intermedio - TVI). Sea f una función real y continua, definida en
el intervalo [a,b]. Y sea c ∈ R tal que f(a) ≤ c ≤ f(b). Entonces ∃x0 ∈ [a, b], f(x0) = c
17
Felipe Soto Arévalo CAPÍTULO 3. LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD
3.2. Ejercicios
Problema 26. Demuestre por definición que:
ĺım
x→2
3x− 5 = 1
Solución.
Previo:
Deseamos |(3x− 5)− 1| < ε cuando |x− 2| < δ, entonces:
|(3x− 5)− 1| < ε ⇐⇒ 3|x− 2| < ε ⇐⇒ |x− 2| < ε
3
.
Entonces notamos que si tomamos δ =
�
3
, podemos realizar la demostración, pues to-
dos los pasos seŕıan reversibles.
Demostración:
Sea ε > 0 y definamos δ =
�
3
. Entonces si 0 < |x− 2| < δ, tenemos:
|(3x− 5)− 1| = |3x− 6|
= 3|x− 2|
< 3 ∗ ε
3
= ε
�
Problema 27. Demuestre por definición que:
ĺım
x→4
7x− 1 = 27
Hint: Tomar δ =
�
7
.
Solución. Queda prouesto, pues es análogo al anterior [resuelto en ayudant́ıa]
Problema 28. Demuestre por definición que:
ĺım
x→5
x2 = 25
Hint: Tomar δ = min{1, �
11
}.
Solución. Queda prouesto. [resuelto en ayudant́ıa]
Problema 29. Demuestre por definición que:
ĺım
x→4
2x2 − x + 3 = 31
Hint: Tomar δ = min{1, �
17
}.
Solución. Queda prouesto. [resuelto en ayudant́ıa]
18
CAPÍTULO 3. LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD Felipe Soto Arévalo
3.3. Más ejercicios propuestos
Problema 30. Hallar los valores de k para los cuales existe ĺım
x→0
f(x), si definimos:
f(x) =

4
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1
x < 0
1− cos(kx)
x2
x > 0
Además, decida si la continuidad en este punto es reparable.
Problema 31. Calcular:
ĺım
x→0
sen2(3x)√
1 + xsen(x)− cos(x)
Problema 32. Demuestreque la ecuación x2 − 1 = sen(x) posee al menos dos ráıces.
Problema 33. Decida si existe algún valor de b para el cual f es continua en 0, si f(x) se
define aśı:
f(x) =

25tan(x)
4x
+ xsen
(
1
x
)
x > 0
b x = 0(
x +
5
2
)2
x < 0
Problema 34. Calcular:
ĺım
x→0
√
x2 + p2 − p√
x2 + q2 − q
Problema 35. Calcular los siguientes ĺımites:
a) ĺım
x→1
x
1
1−x
b) ĺım
x→0
xx
Problema 36. Sea f(x) función continua en [0,1] con 0 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ [0, 1]. Esto es,
el gráfico y = f(x) está contenido en el cuadrado de vértices (0,0), (0,1), (1,1), (1,0).
Demuestre que el gráfico y = f(x) corta ambas diagonales de dicho cuadrado.
Problema 37. Demuestre usando TVI que la ecuación 4x2 +21x−x3 = 1 posee al menos
tres ráıces.
Problema 38. Calcular los siguientes ĺımites:
a) ĺım
x→0
x · (52x + 23x − 2)
19
Felipe Soto Arévalo CAPÍTULO 3. LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD
b) ĺım
x→0
53x − 25x
8x − 4x
Problema 39. Sea f(x) función continua de [a,b] en R tal que f(a) < a y f(b) > b.
Demuestre que existe c ∈ [a, b], tal que f(c) = c
Problema 40. Calcular:
ĺım
x→5
Arcsen
√
25− x2√
25− x2
Problema 41.
a) Sea n ∈ N. Pruebe que para: 1
n + 1
< x ≤ 1
n
se cumple:
n
n + 1
<
[
1
x
]
1
x
≤ 1
Y con esto evalúe ĺım
x→0−
[
1
x
]
1
x
b) Qué ocurre con ĺım
x→0+
[
1
x
]
1
x
Problema 42. Dada la función
f(x) =

1− x
1−
√
x
, si x > 1
2, si x = 1
(α + 2)x− α, si x < 1
Encuentre todos los valores de α de modo que ĺım
x→1
f(x)− f(1)
x− 1
exista.
20
	Introducción
	Límites de Sucesiones
	Resumen de Contenidos
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