Ayudanta 10 - Seba Urrutia

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Segundo Semestre 2010
MAT 1610 ? AYUDANTÍA
Sección 02 Sebastián Urrutia Quiroga
1. Determine los polinomios de Taylor en torno a x0 = 0 de las siguientes funciones:
a) f(x) = ex
b) g(x) = sin (x)
c) h(x) = ln (x+ 1)
Solución
a) Recordemos la fórmula del polinomio de Taylor de orden n en torno a x0:
f(x) = Tn(x) +Rn(x)
con
Tn(x) =
n∑
k=0
f (k)(x0)
k!
(x− x0)
k
Rn(x) =
fn+1(z)
(n + 1)!
(x− x0)
n+1, z ∈ (x, x0)
En este caso, notemos que f (k) = ex, ∀k. Aśı,
f(x) =
n∑
k=0
ex0
k!
(x− x0)
k +Rn(f)
f(x) =
n∑
k=0
xk
k!
+Rn(f)
ex = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+
xn
n!
+Rn(f)
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10
T2(x)
T10(x)
T5(x)
f(x) = ex
Aproximaciones a la función f(x) = ex con polinomios de Taylor.
b) En el caso de la función seno, se tiene que:
f (0)(x) = sin (x) ⇒ f (0)(0) = 0
f (1)(x) = cos (x) ⇒ f (1)(0) = 1
f (2)(x) =− sin (x) ⇒ f (2)(0) = 0
f (3)(x) =− cos (x) ⇒ f (3)(0) =−1
f (4)(x) = sin (x) ⇒ f (4)(0) = 0
Notemos que
f (k)(x) =



sin (x) k = 0, 4, 8, · · ·
cos (x) k = 1, 5, 9, · · ·
− sin (x) k = 2, 6, 10, · · ·
− cos (x) k = 3, 7, 11, · · ·
Aśı,
f(x) =
n∑
k=0
(−1)k
(2k + 1)!
x2k+1 +Rn(f)
sin (x) = x−
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+ · · ·+
(−1)n
(2n+ 1)!
x2n+1 +Rn(f)
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10
T9(x) T5(x)
T3(x)
sin (x)
Aproximaciones a la función f(x) = sin (x) con polinomios de Taylor.
c) Para el caso del logaritmo natural, vemos que:
f (0)(x) = ln (x+ 1)
f (1)(x) =
1
x+ 1
f (2)(x) = −
1
(x+ 1)2
f (3)(x) =
2
(x+ 1)3
...
f (k)(x) =
(−1)k+1 (k − 1)!
(x+ 1)k
, si k > 0
Entonces, para k > 0 tenemos:
f (k)(x0)
k!
(x− x0)
k =
(−1)k+1 (k − 1)!
(x0 + 1)k k!
(x− x0)
k =
(−1)k+1
k
(x)k
Para k = 0 tenemos:
f (k)(x0)
k!
(x− x0)
k =
ln (1)
0!
= 0
Aśı,
ln (x+ 1) = x−
x2
2
+
x3
3
− · · ·+
(−1)n+1
n
(x)n +Rn(f)
Aproximaciones a la función f(x) = ln (x+ 1) con polinomios de Taylor.
�
2. Si P (x) = 1+ 1
4
(x− 1)2 es el Polinomio de Taylor de orden 2 de y = f(x) en x = 1,
demuestre que f tiene un mı́nimo local en x = 1.
Solución
Como el polinomio de Taylor de segundo orden cumple
p(1) = f(1), p′(1) = f ′(1), p′′(1) = f ′′(1)
y p(1) = 1, p′(1) = 0, p′′(1) = 1
2
, tenemos que f(1) = 1, f ′(1) = 0, f ′′(1) = 1
2
.
Entonces, por el criterio de la segunda derivada para máximos y mı́nimos concluimos
que x = 1 es un mı́nimo local para f .
�
3. a) Utilice el Teorema de Taylor para aproximar sin (0.1) con su polinomio de grado
n = 3 y determine la precisión de la aproximación.
b) Determine el grado del polinomio de Taylor desarrollado en torno a x0 = 1 que
debe utilizarse para aproximar ln (1.2) de manera que el error sea menor que
0.001.
Solución
a) Recordemos que:
sin (x) = x−
x3
6
+R3(x) = x−
x3
3!
+
f (4)(z)
4!
x4, 0 < z < 0.1
Por consiguiente,
sin (0.1) ≈ 0.1−
(0.1)3
6
≈ 0.1− 0.000167 = 0.099833
Como f (4)(z) = sin (z), se sigue que el error |R3(0.1)| puede acotarse como
sigue:
0 < sin (z) < 1
0 <
sin (z)
4!
<
1
4!
0 <
sin (z)
4!
(0.1)4 <
1
4!
(0.1)4 ≈ 0.000004
0 < R3(z) < 0.000004
Lo que implica que,
0.099833 < sin (0.1) = 0.099833 +R3(z) < 0.099833 + 0.000004
0.099833 < sin (0.1) < 0.099837
b) Utilizando los cálculos anteriores, notemos que para f(x) = ln (x+ 1):
f (n+1)(x) = (−1)n
n!
xn+1
Por tanto, por el Teorema de Taylor sabemos que el error |Rn(1.2)| está dado
por:
|Rn(1.2)| =
∣
∣
∣
∣
f (n+1)(z)
(n+ 1)!
(1.2− 1)n+1
∣
∣
∣
∣
=
n!
zn+1
[
1
(n + 1)!
(0.2)n+1
]
=
(0.2)n+1
zn+1(n + 1)
de donde 1 < z < 1.2. En este intervalo (0.2)
n+1
zn+1(n+1)
es menor que (0.2)
n+1
(n+1)
. Aśı,
buscamos n tal que:
(0.2)n+1
(n + 1)
< 0.001 =⇒ 1000 < (n+ 1)5n+1
Por ensayo y error, u otro método de cálculo, puede determinarse que el menor
valor de n que satisface la desigualdad es n = 3.
�
4. a) Sea R : I ⊂ R → R es una función tal que sea n − veces derivable en cierto
entorno de x0 ∈ I. Entonces,
ĺım
x→x0
R(x)
(x− x0)n
= 0 ⇐⇒ R(x0) = R
′(x0) = · · · = R
(n)(x0) = 0
b) Si Rn(x) es el resto del polinomio de Taylor de grado n, entonces pruebe que
ĺım
x→x0
Rn(x)
(x− x0)n
= 0
Solución
a) (⇐=)
Dado que la función es n−veces diferenciable, utilizamos la regla de L’Hôpital:
ĺım
x→x0
R(x)
(x− x0)n
=
︸︷︷︸
L′H
ĺım
x→x0
R′(x)
n(x− x0)(n−1)
=
︸︷︷︸
L′H
ĺım
x→x0
R(2)(x)
n(n− 1)(x− x0)(n−2)
· · ·
=
︸︷︷︸
L′H
ĺım
x→x0
Rn(x)
n!(x− x0)(0)
= 0
(=⇒)
Si ĺım
x→x0
R(x)
(x− x0)n
existe, entonces debe cumplirse que ĺım
x→x0
R(x) = 0. Como la
función R es continua, R(x0) = 0.
Ahora bien, por la regla de L’Hôpital,
ĺım
x→x0
R(x)
(x− x0)n
= ĺım
x→x0
R′(x)
n(x− x0)(n−1)
= 0
Repitiendo el argumento anterior, es claro que ĺım
x→x0
R′(x) = 0 y, como la función
R′ es continua -dado que R es n−veces diferenciable- se concluye que R′(x0) =
0.
Iterando el proceso anterior n− veces, finalmente concluiremos que:
ĺım
x→x0
R(x)
(x− x0)n
= ĺım
x→x0
Rn(x)
n!(x− x0)(0)
= 0
y por tanto R(n)(x0) = 0. Finalmente,
R(x0) = R
′(x0) = · · · = R
(n)(x0) = 0
b) Como por definición de resto de Taylor, Rn(x) = f(x) − Tn(f, x0), tenemos
que Rn es derivable n− veces y que además todas sus derivadas hasta el orden
n y su valor funcional en x = x0 son cero, entonces por el Teorema anterior
tenemos que
ĺım
x→x0
Rn(x)
(x− x0)n
= 0
�
5. Calcule los siguientes ĺımites:
a) ĺım
x→0
ex − 1− x− x
2
2
sin (x)− x
b) ĺım
x→0
sin2 (x)− ln (1 + x2)
x2 − x tan (x)
Solución
a) Utilizando los desarrollos de MacLaurin de las funciones que se encuentran
tanto en el numerador como en el denominador, es decir, como
ex − 1− x−
x2
2
=
x3
6
+R3(x), con ĺım
x→0
R3(x)
x3
= 0
sin (x)− x = −
x3
6
+ r3(x), con ĺım
x→0
r3(x)
x3
= 0
Aśı,
ĺım
x→0
ex − 1− x− x
2
2
sin (x)− x
= ĺım
x→0
x3
6
+R3(x)
−x
3
6
+ r3(x)
= ĺım
x→0
1
6
+ R3(x)
x3
−1
6
− r3(x)
x3
= −1
b) Todos los polinomio de Taylor se calcularan con n = 5.
El polinomio de Taylor de sin (x) para n = 5, se puede obtener a partir de
tomar el cuadrado del polinomio de Taylor de grado 5 para sin (x), es decir:
(
x−
x3
3!
+
x5
5!
)2
=
(
x−
x3
3!
)2
+ 2
(
x−
x3
3!
)
x5
5!
+
(
x5
5!
)2
= x2 −
x4
3
+
x6
10
−
x8
60
+
x10
1202
Luego, el polinomio de Taylor de sin2 (x) que necesitamos es
x2 −
x4
3
Usando el polinomio de Taylor para ln (1 + x), obtenemos el polinomio de grado
5 para ln (1 + x2), que viene dado por
x2 −
x4
2
+
x6
3
=⇒ x2 −
x4
2
Finalmente, debemos obtener el polinomio de Taylor de tan (x) de grado cinco
o inferior; para esto usamos los polinomios de Taylor de las funciones seno y
coseno, dividiéndolas de la siguiente manera:
tan (x) =
sin (x)
cos (x)
=
x− x
3
3!
+ x
5
5!
1− x
2
2!
+ x
4
4!
Entonces,
(
x− x
3
3!
+ x
5
5!
)
:
(
1− x
2
2!
+ x
4
4!
)
= x+ x
3
3
+ 2x
5
15
−
(
x− x
3
2!
+ x
5
4!
)
x3
3
− x
5
30
−
(
x3
3
− x
5
6
+ x
7
72
)
2x5
15
− x
7
72
Considerando los tres polinomios antes calculados,
ĺım
x→0
sin2 (x)− ln (1 + x2)
x2 − x tan (x)
= ĺım
x→0
x2 − x
4
3
− x2 + x
4
2
x2 − x2 − x
4
3
− 2x
6
15
= ĺım
x→0
x4
6
−x
4
3
− 2x
6
15
= ĺım
x→0
1
6
−1
3
− 2x
2
15
= −
1
2
�
6. Considere a la función de Cauchy
f(x) =
{
e−
1
x
2 , si x 6= 0
0 , si x = 0
Determine el polinomio de Taylor de dicha función en torno a x0 = 0. ¿Es una buena
aproximación de f(x)?
Solución
Notemos que la función es continua en R. De hecho, la función de Cauchy es de
clase C∞ en R. Calculemos:
f ′(0) = ĺım
x→0
f(x)− f(0)
x
= ĺım
x→0
e−
1
x
2
x
= 0
Aśı,
f ′(x) =
{
2
x3
e−
1
x
2 , si x 6= 0
0 , si x = 0
Por otra parte,
f ′′(0) = ĺım
x→0
f ′(x)− f ′(0)
x
= ĺım
x→0
2
x3
e−
1
x
2
x
= 0
Con estos resultados es fácil pensar que el polinomio de Taylor de orden 2 no es una
buena aproximación de f(x), dado que
T2(x)≡ 0
De hecho, siguiendo el razonamiento anterior se llegará a concluir que
Tn(x) ≡ 0, ∀n ∈ N
�