Ayudanta 9 - Pato Peralta

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? Ayudant́ıa 9 MAT1610 ? - Patricio Peralta - pato.peralta@gmail.com
1. Esboce el gráfico de
f(x) =
x3
x2 − 1
Detallando: dominio, simetŕıas, aśıntotas de todo tipo, ráıces, intervalos de crecimientos y decrecimiento, concavidad, etc.
2. Sea
f(x) =
{
2x2−1
x+2 si x ≥ 0
2x+A
(x−1)2 si x < 0
a) Determine f ′(x) para todo x < 0
b) Busque algún A tal que f ′(0) ∃
Respuestas:
a) f ′(x) = −2
(x−1)3 · (A+ x+ 1) b) No existe tal A
3. De una lámina circular de radio R dado, se quiere construir un embudo que tenga la mayor capacidad volumétrica posible,
cortando una sección circular, con ángulo α. Determine α.
Respuesta: α = 2π · (1− 2√
3
)
4. Sea y = arc sen(x) + (arc sen(x))2.
Determine λ constante tal que
(1− x2) · y′′ − x · y′ = λ
Respuesta: λ = 2
5. Demuestre que se cumple, ∀a, b ∈ R
| sen(a)− sin(b)| ≤ |a− b|
6. ¿Para qué valores de c la ecuación ln(x) = cx2 tiene exactamente una solución?
Respuesta: c = 1
2e
o c ≤ 0
7. Se tiene un ćırculo, de radio r, inscrito dentro la parábola y = x2, con dos intersecciones con ésta a una misma altura.
Encuentre el centro del ćırculo.
Respuesta:
x0 = 0, y0 = r2 + 1/4
8. Sea f : R− [0, 1)→ R definida como f(x) =
√
1− 1/x. Encuentre f−1(y), sin despejar para después derivar.
Respuesta: 2y
(1−y2)2
9. Sea g la función inversa de f(x) = tan( x1+x ), con x > 0. Calcule g
′(1)
Respuesta: 8
(4−π)2
1