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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer semestre 2017.
MAT 230E ∗ GUIA N◦2
Problemas de valores extremos.
1. Considere la elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 . Determine el triángulo de menor área que se puede
formar ( en el primer cuadrante ) con la parte posit́ıva de los ejes coordenados y una
recta tangente a la elipse.
2. Se desea construir una caja rectangular que tenga 324 dm3 de volumen. El material que
se usa en el fondo cuesta el doble, por dećımetro cuadrado, que el que se usa en los
cuatro costados y en la tapa. Determine las dimensiones de la caja de costo mı́nimo.
3. Determinar los valores extremos de F (x, y, z) = x y z , para los puntos (x, y, z) ubicados
en el plano x + y + z = 1 . Deduzca que a b c ≤ a + b + c
3
4. Determine los máximos y mı́nimos de la función f(x, y, z) = xy2z2, sujetos a las condi-
ciones x + y + z = 6, x > 0, y > 0, z > 0
5. Encuentre los máximos y mı́nimos de la función f(x, y) = 8x2 − 24xy + y2, sujetos
a la condición x2 + y2 = 1.
6. Calcule el valor mı́nimo de x3 + y3 + z3 para valores positivos de x, y, z sabiendo
que ax + by + cz = 0 con a, b, c ≥ 0.
7. Calcule los valores extremos de f(x, y, z) = x3 + x2 y + x y2 + x z cuando (x, y, z)
satisfacen x + y + z + 1 = 0
8. Determine los valores entre los cuales vaŕıa z, donde z está dada por
z = x2 + y2 − xy + 4x + 4y
cuando x2 + xy + y2 ≤ 57.
9. Calcule el volumen del paraleĺıpedo recto de máximo volumen que puede inscribirse
en el elipsoide.
x2
9
+
y2
16
+
z2
36
= 1
10. Determine los máximos y mı́nimos de la expresión x2 + y2 sujetos a la condición
3x2 + 4xy + 6y2 = 140. Interprete geométricamente los resultados.
11. Determine los valores extremos de f(x, y, z) = x y2 z3 en la región
R = { (x, y, z) / x2 + y2 + z2 ≤ 1 }
12. Determine los valores los valores extremos de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sobre la recta
común a los planos x + 2 y + 3 z = 0 y 2x + 3 y + z = 4
13. Determine los valores los valores extremos de f(x, y, z) = x3 + y3 + 2 z3 sobre la inter-
sección de las superficies x2 + y2 + z2 = 4 y (x− 3)2 + y2 + z2 = 4
14. Determine los valores extremos de la función f(x, y, z) = x y + z2 sobre el ćırculo en
que el plano y − x = 0 intersecta a la esfera x2 + y2 + z2 = 4