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Análisis gráfico. Parte II.
Cálculo de incertidumbres.
Angel Manzur Guzmán
Depto. de F́ısica*
Recibido: 03 de noviembre de 2009
Aceptado: 23 de marzo de 2010.
Abstract
Recently, in this Journal the great convenience of the
graphical analysis was emphasized when applied to
experimental data which visually are along a straight
line using linear or logarithmic scales [1]. Now the
objective is to present a way to calculate the un-
certainties associated to the parameters characteri-
zing the straight line.
Resumen
Recientemente, en este espacio, se hizo ver la gran
utilidad del análisis gráfico cuando se aplica a da-
tos experimentales que se ajustan visualmente a
una ĺınea recta usando escalas lineales o escalas lo-
gaŕıtmicas [1]. Ahora el propósito es presentar una
manera de calcular la incertidumbre asociada a los
parámetros de la recta.
Introducción
Debido a que los datos provenientes de un expe-
rimento tienen incertidumbres asociadas, cualquier
cantidad que se obtenga a partir de ellos también
debe tener asociada una incertidumbre. Esto suce-
de con los parámetros que caracterizan a la curva
trazada a través de los datos experimentales. El ca-
so más sencillo es cuando los puntos experimentales
se ajustan a una recta, cuyos parámetros son la pen-
diente y la ordenada al origen.
El propósito aqúı es determinar la incertidumbre
en los parámetros de la recta, habiendo fijado un
criterio. Primero se presentará el caso cuando la
recta trazada visualmente ha sido obtenida usan-
do escalas lineales, después los casos en que la rec-
ta se obtiene usando gráficas semilogaŕıtmicas y
logaŕıtmicas.
*CBI, UAM–I. Apartado Postal 55–534, México, D. F.
09340. e–mail: amg@xanum.uam.mx
Escalas lineales
Recuérdese que la ecuación de la recta es
y = mx + b (1)
donde x y y representan las cantidades graficadas,
pueden ser las cantidades medidas en el experimento
o calculadas a partir de ellas. El parámetro m es la
pendiente de la recta y b su ordenada al origen.
Por simplicidad en la determinación de la incerti-
dumbre en la pendiente y en la ordenada al ori-
gen, se supondrá que la incertidumbre ∆y es ma-
yor que la incertidumbre ∆x con lo cual se pue-
de ignorar esta última. Se adoptará el procedimien-
to siguiente. Habiendo trazado las incertidumbres de
los puntos experimentales, representadas por las ba-
rras de error, se traza un paralelogramo con sus la-
dos largos paralelos a la ĺınea recta ajustada visual-
mente y con un ancho tal que los extremos de los in-
tervalos de las incertidumbres queden dentro del pa-
ralelogramo. A veces sucede que la incertidumbre tie-
ne un valor constante para todos los puntos experi-
mentales y, además, los puntos están aproximada-
mente sobre la recta; en este caso, en la cercańıa
de cada extremo del intervalo experimental se esco-
ge un punto sobre la recta, se dibuja la incertidum-
bre y se traza el paralelogramo.
Las diagonales de este paralelogramo proporcionan
dos aproximaciones por arriba y por debajo de lo
que se considera la mejor recta. La dispersión en
los valores de sus pendientes da una estimación del
error que se puede tener en la pendiente de la me-
jor recta; análogamente, la dispersión de las orde-
nadas al origen de las diagonales proporciona una
estimación del error en la ordenada al origen de
la recta. De entre todas las posibles rectas que
pueden trazarse dentro del paralelogramo, las dia-
gonales aportan los valores máximo y mı́nimo en
la pendiente y en la ordenada al origen. La figu-
ra 1 muestra este procedimiento. Llámense a estos
49
50 ContactoS 76, 49–57 (2010)
valores como:
mmax,mmin, bmax, bmin
Estos valores y los de la mejor recta ajustada visual-
mente son tales que
mmin < m < mmax y bmin < b < bmax
Un criterio plausible para asignar las incertidum-
bres a la pendiente y a la ordenada al origen, res-
pectivamente, es
∆m =
mmax − mmin
2
(2)
∆b =
bmax − bmin
2
(3)
Estas incertidumbres pueden incorporarse en la
fórmula de la recta como
y = (m ± ∆m)x + (b ± ∆b)
o simplemente escribir la fórmula como y = mx + b
y por separado dar los valores de ∆m y ∆b.
Figura 1. La pendiente y ordenada al origen de las diago-
nales del paralelogramo se usan para determinar las in-
certidumbres ∆m y ∆b.
Otro criterio para asignar las incertidumbres a la
pendiente y a la ordenada al origen, como se sugiere
en las referencias [2] y [3], es tomar el valor mayor
de las diferencias entre la pendiente de la recta y la
pendiente de cada diagonal; en forma análoga, para
asignar la incertidumbre en la ordenada al origen
se toma el valor mayor de las diferencias entre la
ordenada de la recta y la ordenada de cada diagonal.
De esta manera las incertidumbres seŕıan:
para la pendiente
∆m = mmax − m ó
∆m = m − mmin
}
(4)
y para la ordenada
∆b = bmax − b ó
∆b = b − bmin
}
(5)
Para decidir sobre cuál de los dos criterios usar, de-
ben ser observados los valores numéricos de la pen-
diente y de la ordenada de la recta y los valores co-
rrespondientes a las diagonales. El criterio represen-
tado por las fórmulas (2) y (3) se usa cuando el valor
de la pendiente (ordenada) equidista, aproximada-
mente, de los valores extremos; en cambio, las fórmu-
las (4) y (5) se usan cuando el valor está lejos del cen-
tro del intervalo.
En algunas ocasiones no es claro que se pueda tra-
zar el paralelogramo porque los valores de las in-
certidumbres aumentan o disminuyen con los valo-
res de la abscisa. En este caso en vez de un paralelo-
gramo se traza un trapecio, porque lo importante es
que los puntos con sus incertidumbres estén conte-
nidos en una región bien definida; se trazan las dia-
gonales del trapecio y se procede de la manera an-
tes descrita.
Aun en el caso particular en que las incertidumbres
∆y tengan el mismo valor numérico para todos los
valores experimentales, cuando se grafican en escalas
lineales (papel milimétrico, por ejemplo) se ven del
mismo tamaño, pero cuando se grafican en escalas se-
milogaŕıtmicas o logaŕıtmicas, las barras de error por
arriba y por abajo del valor central no se ven del mis-
mo tamaño. En este caso de las escalas logaŕıtmi-
cas en vez del paralelogramo se obtiene un trape-
cio, el cual algunas veces tiene un lado muy pequeño
y más bien parece un triángulo. Es decir, en esca-
las logaŕıtmicas deben graficarse los tres puntos co-
rrespondientes a los valores de y−∆y, y y + ∆y pa-
ra cada valor de x.
Es importante aclarar que el método del paralelogra-
mo, descrito aqúı y también en la referencia [2], para
calcular las incertidumbres asociadas a los paráme-
tros de la recta, no es único. En la referencia [3] se
describe un método equivalente. Otra forma de ob-
tener los parámetros de la recta y sus incertidum-
bres, basada en criterios estad́ısticos, es utilizando
el método de los mı́nimos cuadrados (el cual pro-
porciona un criterio único). En todo caso, el méto-
do aqúı expuesto permite una verificación indepen-
diente y rápida de los resultados obtenidos al ajus-
tar una recta visualmente.
El uso del método del paralelogramo se ilustra a con-
tinuación. A un resorte en posición vertical se le agre-
Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán 51
gan pesas del mismo tamaño en su extremo infe-
rior; representemos por L la longitud que adquie-
re el resorte al aplicarle la fuerza F . Se desea encon-
trar la relación entre L y F , cuyos valores se mues-
tran en la tabla 1. En este ejemplo no se toma en
cuenta la incertidumbre en la cantidad F porque se
supone muy pequeña; además, se omiten las unida-
des de F y L.
F L ± 0.9
1 7.1
2 8.7
3 10.7
4 13.2
5 15.3
6 18.1
7 19.9
8 21.8
Tabla 1. Datos de fuerza y longitud.
En este caso la variable controlada (variable inde-
pendiente) es la fuerza aplicada y la variable de-
pendiente es la longitud. El comportamiento de es-
tas cantidades se muestra en la figura 2 donde tam-
bién se ha trazado la incertidumbre constante en ca-
da valor deL.
Figura 2. Gráfica de los datos de la tabla 1.
A continuación se trazan dos rectas paralelas a la rec-
ta de la figura 2 de manera tal que todos los pun-
tos con sus incertidumbres queden en la región limi-
tada por ellas, como ilustra la figura 3; estas rectas
y las rectas a través de las abscisas extremas del in-
tervalo experimental (F = 1 y F = 8) definen el
paralelogramo.
Figura 3. Se trazan rectas paralelas para formar el para-
lelogramo.
Ahora se trazan las diagonales del paralelogramo, co-
mo ilustra la figura 4. Las tres rectas se han ex-
trapolado para identificar gráficamente la ordena-
da al origen; en la figura también aparecen las ecua-
ciones; con los sub́ındices ds y di quedan identifica-
das la diagonal superior y la diagonal inferior, res-
pectivamente. Nótese que la diagonal superior pro-
porciona el valor de la pendiente máxima (mmax)
y, consecuentemente, el valor de la ordenada al ori-
gen mı́nima (bmin); por su parte la diagonal infe-
rior tiene la pendiente mı́nima (mmin) y la ordena-
da al origen máxima (bmax).
Figura 4. Se muestran las fórmulas de la recta y de las
diagonales (las paralelas fueron omitidas).
Con la información contenida en las fórmulas de la
figura 4 se ve que los valores de las pendientes son
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m = 2.181
mmax = 2.5429
mmin = 1.8286
Por el momento, estas cantidades se escriben con
el número de cifras con que aparecen en las fórmu-
las, pero más adelante serán escritas en la forma co-
rrecta. Al aplicar la fórmula (2) se obtiene que la in-
certidumbre en la pendiente es ∆m = 0.3572. Los va-
lores de las ordenadas al origen son
b = 4.5357
bmax = 6.2714
bmin = 2.9571
Al aplicar la fórmula (3) se llega a que la incerti-
dumbre en la ordenada al origen es ∆b = 1.6572.
Es costumbre escribir las incertidumbres a lo más
con dos cifras significativas, de manera que ∆m =
0.36 y ∆b = 1.7; al redondear m y b hasta es-
tos decimales, sugeridos por sus incertidumbres, la
ecuación que satisfacen los datos de la tabla 1
se escribe como
L = (2.18 ± 0.36)F + (4.5 ± 1.7)
Para asegurar que los valores calculados de L em-
pleando esta fórmula están dentro del paralelogra-
mo, para un mismo valor de F , debe elegirse si-
multáneamente el signo + en uno de los śımbolos
± y el signo − en el otro śımbolo ±; es decir, ele-
gir signos opuestos en los śımbolos ±. Esta elección
se debe a que a la recta de pendiente máxima le co-
rresponde la ordenada al origen mı́nima, y vicever-
sa. La pendiente en esta fórmula (m±∆m) está com-
prendida entre los valores 1.82 y 2.54 y la ordena-
da al origen (b ± ∆b) entre 2.80 y 6.20, estos núme-
ros son muy parecidos a los valores de los paráme-
tros de las rectas diagonales en la figura 4.
Escalas logaŕıtmicas
En los párrafos anteriores se expuso la forma de cal-
cular las incertidumbres en la pendiente y en la orde-
nada al origen para el caso en que las escalas son li-
neales en ambos ejes coordenados; es decir, cuan-
do la recta se obtiene al graficar los datos directa-
mente en papel milimétrico. En este caso es útil el
uso del paralelogramo. La situación se torna com-
plicada cuando la recta que se obtiene se ha tra-
zado usando un eje con escala lineal y el otro eje
con escala logaŕıtmica (papel semilog) o cuando am-
bos ejes tienen escalas logaŕıtmicas (papel log-log);
las barras de error en estos casos ya no definen un
paralelogramo.
Relación exponencial.
Ahora considérese la relación del tipo y = abcx donde
a, b y c son constantes; es usual que la constante b
esté representada por el número 10 o por el número
e. Si se toma como base el número e, la expresión es
y = aecx (6)
Al calcular el logaritmo natural en ambos miembros
de esta fórmula, se obtiene
ln y = ln a + cx (7)
Al identificar X = x y Y = ln y, esta expresión
(7) queda como Y = cX + ln a la cual correspon-
de a una ĺınea recta en las variables (X,Y ). La or-
denada al origen está representada por ln a y la pen-
diente por la constante c. En otras palabras, si los va-
lores (x, y) satisfacen una relación del tipo expresa-
do por la fórmula (6), para hacer que los puntos que-
den a lo largo de una ĺınea recta, se debe graficar
ln y vs. x.
El procedimiento para esta nueva situación se ilus-
trará con datos experimentales (x, y) que satisfacen
una relación exponencial. Con el propósito de sola-
mente ilustrar el procedimiento, en la tabla 2 no se
menciona de qué experimento se trata, únicamen-
te se presentan los valores de la variable controla-
da (X) y los valores medidos de la variable depen-
diente (Y ), la incertidumbre ∆y es constante y es
muy grande comparada con la incertidumbre en x.
X Y ± 0.05
0.30 0.73
0.61 0.48
0.91 0.34
1.22 0.23
1.52 0.15
1.83 0.11
2.13 0.08
Tabla 2. Datos que satisfacen una relación exponencial.
La gráfica de los datos de la tabla 2 se presenta en
la figura 5. Es notorio que los puntos experimentales
no satisfacen una relación lineal. Debido a que la
incertidumbre ∆y es constante, se puede trazar una
curva que pase por todos los puntos y + ∆y para
los correspondientes valores de x; se obtendŕıa una
curva idéntica a la que pasa por los valores de y,
pero desplazada hacia arriba por un valor constante
igual a ∆y = 0.05. Se obtendŕıa una curva idéntica
desplazada hacia abajo una cantidad constante de
Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán 53
0.05 si se grafican los puntos con los valores de y −
∆y. Estas dos curvas seŕıan curvas equidistantes de
la curva representativa de los puntos (x, y); es decir,
jugaŕıan el papel que el paralelogramo hace en el
caso de escalas lineales, pues todos los puntos con
sus incertidumbres caeŕıan en la región delimitada
por las dos curvas.
Figura 5. Datos de la tabla 2 graficados con escalas li-
neales en ambos ejes.
Por otra parte, al graficar manualmente en papel se-
milog, o equivalentemente usando un programa de
cómputo que maneje hoja de cálculo (Excel por
ejemplo), al escoger el eje Y con escala logaŕıtmi-
ca se obtiene que los puntos están sobre una rec-
ta, como ilustra la figura 6. En contraste con la figu-
ra 5 donde las barras de error se ven del mismo ta-
maño, pues la incertidumbre ∆y es constante, en la
figura 6 aparecen de tamaños diferentes en cada pun-
to y, además, los valores de y−∆y se ven más sepa-
rados del valor experimental y mientras que los va-
lores de y+∆y están más cercanos, lo cual se debe a
que la escala de las ordenadas es no lineal. En otras
palabras, si la gráfica se hace manualmente usan-
do papel semilogaŕıtmico, se deben calcular los valo-
res de y+∆y y de y−∆y para poder graficar las ba-
rras de error. Para resaltar este efecto, en ambas fi-
guras 5 y 6 se trazaron las ĺıneas de división en la es-
cala de las ordenadas.
Para calcular las incertidumbres en la pendiente y en
la ordenada al origen de la recta que se obtiene usan-
do papel semilog, se trazan las tres rectas que pa-
san por las ordenadas y, y + ∆y y por y − ∆y, con
los mismos valores de x. De esta manera se obtie-
nen las rectas representadas en la figura 7, las cua-
Figura 6. Datos de la tabla 2 graficados con escala lineal
en el eje de abscisas y escala logaŕıtmica en el eje de
ordenadas.
les definen una región en forma de trapecio donde
se encuentran todos los puntos con sus incertidum-
bres. Se trazan las ĺıneas diagonales del trapecio y se
aplica el procedimiento usado con el método del pa-
ralelogramo. Aunque estrictamente la región es un
trapecio, en ocasiones sucede que debido a la esca-
la más bien parece un triángulo (como en este ejem-
plo particular); en estos casos el cálculo de las incer-
tidumbres se simplifica al considerar a la región co-
mo un triángulo.
Figura 7. Datos de la tabla 2. Los valores de y se repre-
sentan con ćırculo negro, los de y +∆y con signo + y los
de y − ∆y con signo −.
En esta región triangular se pueden trazar muchas
rectas que formarán un abanico; de entre todas ellas,
54 ContactoS76, 49–57 (2010)
las que tienen la pendiente máxima y la pendien-
te mı́nima son las que definen el triángulo, también
ellas son las que poseen la máxima ordenada al ori-
gen y la mı́nima ordenada al origen. Con la informa-
ción contenida en la figura 7 se ve que los valores al-
gebraicos de las pendientes son:
m = −1.2176
mmax = −0.9882
mmin = −1.682
Usando el criterio representado por la fórmula (2)
se llega a que la incertidumbre en la pendiente es
∆m = 0.3469.
Por otra parte, para las ordenadas al origen se ob-
tiene:
b = ln 1.0212 = 0.0210
bmax = ln 1.2435 = 0.2179
bmin = ln 0.9773 = −0.0230
Usando el criterio representado por la fórmula (3) se
llega a que la incertidumbre en la ordenada al ori-
gen es b = 0.1205. Usando los valores para la pen-
diente, ordenada al origen, sus incertidumbres, y al
redondear los valores hasta centésimos, la relación
exponencial que satisfacen los valores experimenta-
les de X y de Y es
Y = (1.02 ± 0.12)e−(1.22±0.35X)
Ahora se calcularán nuevamente las incertidumbres
en los factores constantes que aparecen en la rela-
ción exponencial, pero en vez de usar escalas semi-
logaŕıtmicas para obtener las rectas se usarán esca-
las lineales en ambos ejes. Para ello se calculan los lo-
garitmos naturales de y, y+∆y y de y−∆y; al grafi-
car los puntos se obtienen las tres rectas representa-
das en la figura 8, donde también están escritas sus
ecuaciones.
Nótese que los valores de las pendientes de las rec-
tas de la figura 8 son iguales a los valores de los ex-
ponentes en las fórmulas de la figura 7. En cam-
bio, las ordenadas al origen de las rectas de la figura
8 son iguales a los logaritmos naturales de los coefi-
cientes dados en las fórmulas de la figura 7. Son igua-
les porque ambos tipos de fórmulas representan el
comportamiento de los mismos puntos. Las fórmu-
las en esta última figura tienen la forma de una ĺınea
recta y = mx + b porque los puntos (x, y) satisfa-
cen una relación exponencial de la forma y = aemx,
la cual al calcularle el logaritmo natural se convier-
te en ln y = mx + ln a.
Figura 8. Las rectas representan los logaritmos naturales
de los valores de Y dados en la tabla 2 y graficados en
escalas lineales.
Con la información proporcionada por la figura 8 se
pueden calcular las incertidumbres; directamente de
la figura se observa que los valores algebraicos de las
pendientes son:
m = −1.2176
mmax = −0.9882
mmin = −1.682
Aplicando la fórmula (2) se obtiene que ∆m =
0.3469. Para las ordenadas al origen se ve que:
b = 0.0209
bmax = 0.2179
bmin = −0.0229
Aplicando el criterio representado por la fórmula (3)
se llega a que ∆b = 0.1204.
Debido a que la ecuación de estas rectas es ln Y =
mx + ln a, estos valores de las ordenadas al origen
(b, bmax, bmin) representan el logaritmo natural de a
(ln a, ln a− y ln a+, los exponentes − y + se refieren
a la recta de los puntos con estos śımbolos); para
obtener el valor de a, a− y a+ es necesario calcular
el antilogaritmo de b, bmax y bmin. Entonces, los
valores de las ordenadas al origen se escriben como
b = 0.0209 = ln a = ln 1.0211
bmax = 0.2179 = ln a
− = ln 1.2435
bmin = −0.0229 = ln a
+ = ln 0.9774
Con estos valores para la pendiente, ordenada al ori-
gen y sus incertidumbres, la ecuación de la recta es:
lnY = −(1.2176 ± 0.3469)X + ln(1.0211 ± 0.1204)
Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán 55
Finalmente, aplicando la operación de exponencia-
ción se obtiene la relación exponencial que satisfa-
cen los valores experimentales de X y de Y :
eln Y = e−(1.2167±0.3469)X+ln(1.0211±0.1204)
Y = e−(1.2167±0.3469)X+ln(1.0211±0.1204)
Y = (1.0211 ± 0.1204)e−(1.2167±0.3469)X
Para escribir esta expresión se usó la propiedad de
los logaritmos que establece que si c = ez, entonces
ln c = z ln e = z y, por tanto, c = eln c. Al redondear
los valores hasta centésimos, el resultado final de Y
como una función de X es
Y = (1.02 ± 0.12)e−(1.22±0.35)X
Nótese que esta expresión es idéntica a la obtenida
a partir de las rectas trazadas en la figura 7 usando
escala semilogaŕıtmica.
Relación de potencia.
Ahora el objetivo es analizar datos que siguen una
ley de potencia. Supóngase que la relación entre las
cantidades medidas (x, y) es del tipo
y = axn (8)
donde a y n son constantes. Al calcular el logaritmo
de ambos miembros de la fórmula (8), se obtiene
log y = log a + n log x.
Llamando X = log x y Y = log y, esta ecuación se
transforma en
Y = log a + nX (9)
Comparando con la fórmula (1) se observa que
esta última es la ecuación de una recta en las
nuevas variables X y Y , con ordenada al origen
igual a log a y con pendiente igual a n; estos
parámetros se obtienen directamente de la recta
graficada.
En el ejemplo que sigue se hará la gráfica usan-
do escalas lineales, luego se hará usando escalas lo-
gaŕıtmicas en ambos ejes (donde se obtiene una rec-
ta), se calcularán las incertidumbres de los paráme-
tros de la recta y se escribirá la fórmula que los
puntos satisfacen; después se calcularán los logarit-
mos de los datos, se graficarán usando escalas linea-
les y también se determinará la fórmula. Para ello se
usarán datos obtenidos de un experimento de trans-
ferencia de calor de un cuerpo sólido hacia su en-
torno; las variables son la temperatura T medida
en kelvin y la rapidez con que la enerǵıa E cam-
bia, expresada en J/s, cuyos valores se muestran en
la tabla 3.
T (K) E ± 0.5 (J/s)
12 2.0
20 2.5
30 3.0
40 3.3
100 5.3
300 10
400 11
1000 17
3000 30
Valores de temperatura y rapidez de enerǵıa.
Estos valores y las incertidumbres ∆E aparecen gra-
ficados en la figura 9 donde se observa que los pun-
tos no satisfacen una relación lineal; además, los pun-
tos con valores más pequeños aparecen encimados,
dif́ıcilmente pueden distinguirse unos de otros. En
cambio, al ser graficados usando escalas logaŕıtmi-
cas en ambos ejes, los puntos están sobre una rec-
ta y todos pueden distinguirse entre śı (ver figura
10). Nótese que todas las barras de error en la figu-
ra 9 tienen el mismo tamaño, lo cual no sucede en la
figura 10. En otras palabras, al igual que como ocu-
rrió en el caso de escalas semilogaŕıtmicas, en es-
te caso de escalas logaŕıtmicas los puntos y sus in-
certidumbres no están dentro de un paralelogramo,
más bien dentro de un triángulo.
Figura 9. Datos de la tabla 3 graficados en escalas linea-
les.
Las rectas que definen la región triangular son las
que, en escalas logaŕıtmicas, pasan por los puntos
con ordenadas E + ∆E y E − ∆E para las corres-
56 ContactoS 76, 49–57 (2010)
Figura 10. Los mismos datos de la figura 9 pero grafica-
dos en escalas logaŕıtmicas.
pondientes abscisas T , identificadas con los śımbo-
los + y −, como lo ilustra la figura 11. En esta figu-
ra se muestran las fórmulas que estas dos rectas y la
recta central satisfacen.
Figura 11. Datos de la tabla 3. Los valores de E se re-
presentan con ćırculo blanco, los de E + ∆E con signo
+ y los de E − ∆E con signo −.
Con la información mostrada en la figura 11 se ve
que los valores de las pendientes son:
m = 0.497
mmax = 0.5449
mmin = 0.4593
Los valores de las ordenadas al origen son:
b = log 0.5577 = −0.2536
bmax = log 0.7429 = −0.1291
bmin = log 0.3909 = −0.4079
Usando el criterio representado por las fórmulas (2)
y (3) se llega a que ∆m = 0.0428 y ∆b = 0.1394, res-
pectivamente. Usando los valores para la pendiente,
ordenada al origen, sus incertidumbres y al redon-
dear los valores hasta centésimos, la relación de po-
tencia que satisfacen los valores experimentales de T
y de E es
E = (0.56 ± 0.14)T (0.50±0.04)
Ahora se hará el cálculo de las incertidumbres en los
parámetros constantes que aparecen en la relación
de potencia, pero en vez de usar escalas logaŕıtmi-
cas para obtener las rectas se usarán escalas linea-
les en ambos ejes. Para ello se calculan los logarit-
mos decimales de E, E +∆E y de E −∆E; al grafi-
car los puntos se obtienen las tres rectasrepresenta-
das en la figura 12, donde también están escritas sus
ecuaciones.
Compárense los valores de las pendientes y ordena-
das al origen de las rectas de la figura 12 con los va-
lores de los exponentes y los coeficientes de las po-
tencias dadas en las fórmulas de la figura 11, respec-
tivamente. Los valores de las pendientes son igua-
les a los de los exponentes; en cambio, los valores
de las ordenadas al origen corresponden al logarit-
mo de los coeficientes. Ambos tipos de fórmulas re-
presentan el comportamiento de los mismos pun-
tos. Las fórmulas en esta última figura tienen la for-
ma de una ĺınea recta y=mx +b porque los pun-
tos (T,E) satisfacen una ley de potencia de la for-
ma E = aTm, la cual al calcularle el logaritmo deci-
mal se convierte en log E = m log T + log a.
Con la información proporcionada por la figura 12
se pueden calcular las incertidumbres; directamente
de la figura se observa que las pendientes son:
m = 0.497
mmax = 0.5449
mmin = 0.4593
Para las ordenadas al origen, a partir de las ecuacio-
nes, se ve que:
b = −0.2536 = log a = log 0.5577
bmax = −0.1291 = log a
− = log 0.7428
bmin = −0.408 = log a
+ = log 0.3908
Aplicando las fórmulas (2) y (3) se llega a que ∆m =
0.0428 y ∆b = 0.1395, respectivamente. Con estos
Análisis gráfico. Parte II. Cálculo de incertidumbres. Angel Manzur Guzmán 57
Figura 12. Las rectas representan los logaritmos decima-
les de los valores dados en la tabla 3 y graficados en es-
calas lineales.
valores para la pendiente, ordenada al origen y sus
incertidumbres, la ecuación de la recta es:
log E = (0.497±0.0428) log T +log(0.5577±0.1395)
Finalmente, aplicando la operación de potenciación,
es decir usando toda esta expresión como exponen-
te de 10, se obtiene la relación de potencia que sa-
tisfacen los valores experimentales de T y de E; al
redondear los valores hasta centésimos, el resulta-
do es
E = (0.56 ± 0.14)T (0.50±0.04)
Para escribir esta expresión se usó la propiedad de
los logaritmos que establece que si c = 10z entonces
log c = z y, por tanto, c = 10log c. Nótese que esta
expresión es idéntica a la obtenida a partir de las
rectas trazadas en escalas logaŕıtmicas.
Nota final
Para analizar los datos obtenidos en un experimen-
to, siempre conviene graficarlos. Cuando se ha lo-
grado que estén sobre una recta, ya sea usando pa-
pel con escalas lineales, log-log, o semilog, el pa-
so siguiente es calcular las incertidumbres aso-
ciadas a la pendiente y a la ordenada al ori-
gen. Esto último se logra usando el método del
paralelogramo.
La ecuación final de las tres relaciones (lineales,
y = mx + b; exponenciales, y = abcx; de poten-
cia, y = axn) que pueden ser analizadas a través
de las rectas que se obtienen usando gráficas con es-
calas lineales, semilog y log-log, respectivamente, se
debe reportar en términos de las variables origina-
les. Es decir, deben escribirse como:
y = (m ± ∆m)x + (b ± ∆b),
y = (a ± ∆a)b(c±∆c)x,
y = (a ± ∆a)x(n±∆n).
Bibliograf́ıa
1. A. Manzur. Análisis gráfico. Parte 1. Contactos,
No. 75, 2010.
2. B. Oda Noda. Introducción al análisis gráfico de
datos experimentales, 3a. edición. Facultad de
Ciencias, UNAM, México, 2005.
3. C. Gutiérrez Aranzeta. Introducción a la meto-
doloǵıa experimental, segunda edición. Limusa,
México, 1998.
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