Ayudantía 3 II 2009 (Ej 5)

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Ejercicio 5 Ayudant́ıa 3
Usted tiene que presentar hoy d́ıa al directorio de la empresa donde trabaja un estudio en el cual
estimó la regresión yi = α+ βxi + εi. Queda sólo una hora y su computador se cae y queda inservible.
Dado que nunca respaldó la información en papeles, sólo encuentra unos papeles viejos en los que hizo
algunos cálculos, pero están en uy mal estado, por lo que sólo puede rescatar la siguiente información:
Y =

2
4
1
?
?
 , X =

1 1
1 2,5
1 ?
1 ?
1 ?
 , Ŷ =

27/11
42/11
47/11
37/11
67/11
 ,
∑
Xi = 13,5, |X ′X| = 44,
∑
XiYi = 62
Obtenga los coeficientes perdidos α̂ y β̂.
Respuesta
Sabemos que
X ′X =
 n
n∑
i=1
xi
n∑
i=1
xi
n∑
i=1
(xi)2

Luego, |X ′X| = n
n∑
i=1
(xi)2 −
(
n∑
i=1
xi
)2
, por lo tanto
n∑
i=1
(xi)2 =
|X ′X|+
(
n∑
i=1
xi
)2
n
=
44 + 13,52
5
= 45,25
Con esto podemos escribir
(X ′X)−1 =
1
|X ′X|

n∑
i=1
(xi)2 −
n∑
i=1
xi
−
n∑
i=1
xi n
 = 144
[
45,25 −13,5
−13,5 5
]
Dado que tenemos (X ′X)−1, solo necesitamos (X ′Y ). Para esto necesitamos sus dos elementos∑
i = 1nYi y
∑
i = 1nXiYi, el cual ya conocemos. Para calcular la suma de Yi usamos que Yi = Ŷi + ε̂i.
Si sumamos para todas las observaciones, y dado que
n∑
i=1
ε̂i = 0, tenemos que
n∑
i=1
Yi =
n∑
i=1
Ŷi = 20.
Finalmente [
α̂
β̂
]
= (X ′X)−1(X ′Y ) =
1
44
[
45,25 −13,5
−13,5 5
] [
20
62
]
=
[
17
11
10
11
]