Prueba 1 2019-2

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Código de Honor: Como miembro de la comunidad de la Pontificia Universidad Católica de Chile,
me comprometo a respetar los principios y normativas que la rigen. Asimismo, me comprometo a
actuar con rectitud y honestidad en esta evaluación.
Adicionalmente declaro estar en condiciones de salud adecuadas para rendir esta evaluación y que
me presento a ésta bajo mi responsabilidad. En caso de sentirme mal o tener alguna complicación,
deberé informarlo inmediatamente al ayudante o profesor en sala.
Nombre/Rut/Num. lista:
Firma:
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
EAA220B - Finanzas I
Profesor: Consuelo Silva
Ayudantes: Josefina Menchaca e Ignacio Hiriart.
PAUTA AYUDANTE PRUEBA I (gúıa)
Segundo Semestre 2019
Tiempo: 2 horas
Total puntos: 86 puntos
Instrucciones:
Tiene 2 minutos para poner nombre a todas las hojas por el anverso. No es necesario escribir su
nombre en el reverso de cada hoja.
El tiempo para resolver la prueba es de 2 horas.
Se puede usar calculadora, pero no computadores, celulares o relojes inteligentes.
Se contestarán preguntas sólo de enunciado.
Las preguntas que sean contestadas con lápiz grafito (a mina) no tendrán derecho a recorrección.
Conteste cada pregunta de ejercicios en hojas separadas para facilitar la corrección.
Revise ambos lados de cada hoja, la prueba está impresa por ambos lados
Respuestas correctas, sin justificación recibirán cero puntos
Conteste los ejercicios en las hojas asignadas
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
EAA220B - Finanzas I // Segundo Semestre 2019
Profesor: Consuelo Silva
PRUEBA I - Fórmulas
Algebra de portafolios
Retorno esperado portafolio N activos: E(Rp) =
∑n
i=1 ωiE(Ri)
Varianza de un portafolio N activos σ2p =
∑n
i=1
∑n
j=1 ωiωjσij
Covarianza entre dos variables aleatorias: Cov(X,Y ) = σXY =
∑n
i=1 πi(xi − E(X))(yi − E(Y ))
(donde πi es la probabilidad del estado i)
Covarianza Cov(aX + bY, U) = aCov(X,U) + bCov(Y, U)
Correlación entre dos variables aleatorias: ρXY =
σXY
σXσY
Si Z = aX + bY , a, b constantes: E(Z) = aE(X) + bE(Y )
Si Z = aX + bY , a, b constantes: V (Z) = a2V (X) + b2V (Y ) + 2abCov(X,Y )
Activos derivados
Put-call parity: C − P = S − PV (K)
Modelo Binomial número de acciones (acción “S”): ∆ = Au−AdSu−Sd
Modelo Binomial inversión en bono libre de riesgo: B = Ad−Sd×∆1+rf
donde Au y Ad son los pagos del activo derivado (“A”) en los estados up y down respectivamente.
Fórmula de Black & Scholes:
Valor actual de opción call = C0 =S0N(d1)−Ke−rTN(d2)
donde d1 =
ln(S0/K) + (r + σ
2/2)T
σ
√
T
y d2 = d1 − σ
√
T
• S0 : valor actual del activo
• K : precio de ejercicio
• r : tasa de interés libre de riesgo
• T : tiempo faltante para fecha de ejercicio (en años)
• σ : desviación estándar de retorno anual compuesto continuamente
• N(z) : probabilidad de que una variable normal estándar tenga un valor menor a z
Decisiones bajo incertidumbre
Función de utilidad esperada: U(·) = E[u(w)] = π1u(w1) + π2u(w2) + . . .+ πnu(wn)
Coeficiente de aversión absoluta al riesgo (ARA): A(w) = −u
′′(w)
u′(w)
Coeficiente de aversión relativa al riesgo: (RRA) R(w) = −w u
′′(w)
u′(w) = wA(w)
Análisis media-varianza
retorno requerido al activo “i“ dado el portafolio “p“: E(Ri) = Rf + ρip × σiσp × (E(Rp)−Rf )
(1)[10 puntos] Preguntas de lecturas
Comente cada una de las siguientes afirmaciones en función de la lectura que se menciona. Utilice SÓLO el
espacio asignado.
a. (5 puntos) En el art́ıculo “Deciphering the Liquidity and Credit Crunch 2007–2008”(Brunnermeier, 2009) el
autor señala cuatro mecanismos que explican la amplificación de la crisis hipotecaria hacia una crisis financiera
como la que observamos en el 2007.
b. (5 puntos) Según lo expuesto en el art́ıculo “The growth of finance” (Greenwood and Scharfstein (2013), qué
factores explican el crecimiento de las comisiones de la administración de activos financieros como porcentage
del PIB?
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(2)[20 puntos] Preguntas conceptuales. Si se le pide comentar, indique si la afirmación es verda-
dera, falsa o depende (Respuestas sin justificación obtendrán cero puntos). Utilice SÓLO el espacio
asignado.
a. (5 puntos) Agregar un activo riesgoso al conjunto de activos disponibles en la economı́a para invertir permitirá
alcanzar un mejor CAL sólo si este activo tiene correlación negativa con los activos disponibles actualmente.
Comente.
Falso, no necesariamente debe tener correlación negativa.
b. (5 puntos) Suponga que existen en la economı́a dos activos risgosos A y B donde E(RB) > E(RA) y σB > σA,
y un activo libre de riesgo. Además, los retornos de los activos riesgosos tienen una correlación de 1. En esta
economı́a donde no hay beneficios de diversificación, lo óptimo es invertir en el activo libre de riesgo. Comente
.
Falso, me conviene invertir en un portafolio que contenga A y el activo libre de riesgo. Se puede argumentar
con el gráfico.
c. (5 puntos) Actualmente en una economı́a la diferencia entre el precio de una opción put con precio de ejercicio
X (con fecha de expiración en t=T) y el precio de un bono que paga X en T, es menor que la diferencia entre el
precio de una opción call cuyo precio de ejercicio es X (con fecha de expiración en t=T) y el precio de la acción
subyacente. Podemos aprovechar la oportunidad de arbitraje en esta economı́a comprando una put, vendiendo
una call, comprando una acción y endeudándose por un principal de X. Comente.
Verdadero. Mostrar paridad put-call. El portafolio formado por la put y la accion están baratos por lo que debo
comprarlos y el portafolio conformado por el bono y la call estan caros, por lo que los vendo.
d. (5 puntos) Las correlaciones entre los retornos de los activos aumentan en momentos de crisis económicas con
lo cual se pierden beneficios de diversificar. Comente.
Falso, el riesgo sistemático (no diversificable) es el que aumenta en momentos de crisis. El riesgo único
(diversificable) si puede ser reducido incluso en tiempos de crisis.
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(3)[20 puntos total] Análisis Media-Varianza
Usted es analista de estrategias de inversión en Somosricos.SA. Uno de sus clientes mantiene actualmente la
siguiente cartera de inversiones:
Monto Porcentaje Retorno Desviación
invertido del total anual estándar
esperado anual
Bonos de Largo Plazo $1.800.000 90 % 7 % 4 %
Instrumentos de Renta Variable $200.000 10 % 12 % 20 %
Total cartera $2.000.000 100 % 7.5 % 3.5 %
(a) (5 puntos) El cliente espera recibir $1.000.000 adicionales que quiere invertir en un fondo tal que su cartera
final (el fondo en combinación con su cartera actual) cumpla las siguientes dos condiciones: (1) mantener o
mejorar los retornos esperados de la cartera actual y (2) mantener o reducir la volatilidad de la cartera actual.
Usted está evaluando sugerir alguno de los 4 fondos que se muestran en la tabla de más abajo. Cuál fondo
recomendaŕıa?. Justifique su respuesta describiendo cómo su elección cumple con los dos objetivos de retorno
y volatilidad fijados.
Fondo Retorno Desviación Correlación con
anual estándar cartera
esperado anual actual
A 15 % 20 % -0.4
B 7 % 10 % -0.4
C 8 % 5 % 0.10
D 15 % 20 % -0.6
R:
A es dominado por D, tiene menor correlación con portafolio actual (igual varianza e igual retorno). B no
cumple con el criterio del retorno. Quedan solo C y D.Con las fórmulas de retorno y varianza calculamos el
retorno y la varianza de un portafolio que combina la cartera actual del cliente y el otro fondo (C o D). Las
proporciones seŕıan:
W(cartera actual)=2/3 W(otro fondo, C o D)=1/3.
Con los datos de retorno y desv estándar de cada fondo tenemos:
E(Rp) σp
C 7.7 % 3 %
D 10 % 5.6 %
Elijo C, tiene un retono mayor (7,7 %) y menor desviación estándar (3 %). El portafolio con D entrega
mayor retorno, pero tb mayor desviación estándar, por lo que no cumple con las condiciones impuestas por
el inversionista.
(b) (5 puntos) Suponga ahora que existe un bono libre de riesgo cuyo retorno esperado es de 3 %. Su cliente
quierecombinar el portafolio encontrado en la letra anterior y el dicho activo libre de riesgo. Si la aversión
al riesgo medido por el RRA de su cliente es de 25 y su función de utilidad esta definida por preferencias
cuadráticas sobre media-varianza, cuál es su portafolio óptimo? Encuentre los porcentajes invertidos en la
cartera de activos riesgosos y en el activo libre de riesgo, el retorno esperado y desviación estándar del nuevo
portafolio. Grafique.
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Nota: si no llegó al resultado en la pregunta anterior, asuma para esta pregunta que el retorno esperado de
la cartera formada en a) es de 7.7 % y la desviación estándar es de 3 %.
R:
w∗riesgoso =
0,077−0,03
25∗0,032 = 208 %
w∗F = −108 %
E(Rp)=2.08*0.077-1.08*0.03=12.7 %
σp=2.08*0.03=0.062
(c) (5 puntos) Suponga ahora que su cliente puede vender corto el bono libre de riesgo (endeudarse) a una tasa
de 5 % e invertir en dicho bono (prestar) a una tasa de 3 %. Cuál es el nuevo portafolio óptimo? Encuentre
los porcentajes invertidos en la cartera de activos riesgosos y en el bono libre de riesgo, el retorno esperado
y desviación estándar del nuevo portafolio. Grafique.
R:
si w∗riesgoso < 100 %,
w∗riesgoso =
0,077−0,03
25∗0,032 = 208 % > 100 %
si w∗riesgoso > 100 %,
w∗riesgoso =
0,077−0,05
25∗0,032 = 120 % > 100 %
E(Rp)=1.20*0.077-0.20*0.05=8.2 %
σp=1.2*0.03=0.036
(d) (5 puntos) Suponga ahora que las ventas cortas están prohibidas. Cuál es el nuevo portafolio ‘optimo? En-
cuentre los porcentajes invertidos en la cartera de activos riesgosos y en el bono libre de riesgo, el retorno
esperado y desviación estándar del nuevo portafolio. Grafique.
w∗riesgoso = 100 %
w∗F = 0 %
E(Rp)=7.7 %
σp=0.03
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(4)[20 puntos total] Modelo Binomial
El precio actual de una acción es $50. Durante cada uno de los siguientes dos meses, el precio de la acción
se espera que suba en 10 % o baje en 10 %. La tasa libre de riesgo es 1 % mensual (12.68 % anual). Existe en el
mercado un derivado financiero cuyo activo subyacente es la acción, el que puede ser ejercido sólo en la fecha de
ejercicio (es decir, es de estilo Europeo). La fecha de ejercicio (fecha de expiración) del derivado es dentro de dos
meses a partir de hoy. El flujo que entrega este activo derivado a su dueño depende del precio de mercado que
tenga la acción en la fecha de expiración, ST , y está descrito por la siguiente expresión
max (|ST −X| − Y, 0)
donde X e Y son dos parámetros del derivado que se fijan hoy. Asuma que X = $50 e Y = $5.
a) (5 puntos) Grafique detalladamente los flujos que entrega este derivado como función del precio del activo
subyacente al momento de expiración, ST . ¿Qué portafolio de opciones call y put entrega los mismos flujos en
expiración que el activo derivado descrito?
b) (10 puntos) Usando un modelo binomial de dos peŕıodos, calcule el precio que debiera tener hoy este activo
derivado.
c) (5 puntos) Asuma que Usted vende este contrato derivado y que para cubrir el riesgo que esto implica, Usted
invierte en el portafolio replicador del derivado. Asuma que la comisión por compra o venta de acciones es 1 %
del monto transado y que la compra o venta del bono libre de riesgo no tiene comisión. ¿Cuál será el monto
total que Usted deberá pagar en comisiones para poder replicar los flujos del activo derivado al momento de
expiración en el caso que el precio de la acción sube el primer mes y después baja en el segundo?
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(5)[16 puntos total] Activos Arrow-Debreu
a. (10 puntos) Definamos la siguiente situacion:
Existen S estados de la naturaleza: s = 1, ..., S estados de la naturaleza
Px: precio del activo x
xs: pago del activo x en el estado s
PADs: precios del activo AD que paga en el estado s
Px =
S∑
s=1
xs · PADs
Para un bono sin riesgo que paga 1 en t = 1: ¿Cuánto es la tasa de interés libre de riesgo en la situacion
descrita con S estados de la naturaleza?
b. (6 puntos) Para cada una de las siguientes estructuras de pago de activos, diga si el mercado es completo o
incompleto. Explicar brevemente:
(2 puntos) Figura 1:
Estados 1 2
Activo 1 1 0
Activo 2 0 2
(2 puntos) Figura 2:
Estados 1 2 3
Activo 1 1 1 0
Activo 2 0 1 0
Activo 3 0 0 1
(2 puntos) Figura 3:
Estados 1 2 3
Activo 1 2 0 0
Activo 2 0 0 1
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