Ayudantía 5 - Pauta Ej 2

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economı́a - Macroeconomı́a I
Profesor: Rodrigo Fuentes
Ayudantes: N.Bozzo, R.Cases, T. del Real, V.Hallows y M.Loyola
21 de Abril de 2017
Ayudant́ıa 4
Pregunta 2 - Equivalencia Ricardiana
Considere una economı́a en que los agentes viven 2 periodos. La función de utilidad del agente representativo se
puede escribir como:
U(c1, c2) = ln(c1) + βln(c2)
Suponga que el ingreso en ambos periodos es el mismo (y1 = y2 = y). Suponga también que β(1 + r) = 1.
a) El gobierno decide cobrar un impuesto al consumo en el periodo 1, el que se cobra como un porcentaje, τ , del
consumo del hogar en ese periodo. Escriba la restricción presupuestaria del agente representativo en este caso.
b) Derive e interprete la ecuación de Euler. ¿Qué rol juega la tasa de impuestos? Compare con los resultados de la
Equivalencia Ricardiana. Explique.
c) Suponga ahora que, en vez de cobrar una tasa de impuestos, el gobierno obliga a cada hogar a pagar un impuesto
por un monto fijo T en el primer periodo. ¿Cuál es la restricción presupuestaria ahora?
d) Derive e interprete la ecuación de Euler bajo este nuevo impuesto. ¿Qué rol juega el impuesto de monto fijo?
Explique. ¿Cómo se compara la evolución del consumo con la obtenida en (b)?. Entregue la intuición económica
de su resultado. ¿Se cumple ahora la Equivalencia Ricardiana?
e) Suponga ahora que los agentes solo tienen acceso a un mercado de ahorro, pero que no pueden endeudarse. Escriba
la restricción presupuestaria y la ecuación de Euler en el caso del impuesto porcentual. ¿Cómo cambia su respuesta
respecto a (a) y (b)? ¿Por qué?
Como ahora tengo la restricción del ahorro en el primer periodo (s1) sea mayor que cero. Ya no
puedo colapsar las restricciones presupuestarias de cada periodo en una sóla ecuación (como en (a)).
Es por esto que ahora las restricciones son
s1 + c1(1 + t) ≤ y1
y
y2 + (1 + r)s1 ≥ c2
Luego el lagrangiano del pronblema de maximización será:
L : ln(c1) + βln(c2) + λ1 (y1 − c1(1 + t)− s1) + λ2 (y2 + s1(1 + r)− c2)
1
y las condiciones de primer orden:
∂L
∂c1
:
1
c1
− λ1(1 + t) = 0
∂L
∂c2
:
β
c2
− λ2(1 + r) = 0
∂L
∂s1
: − λ1 + λ2(1 + r) ≤ 0
∂L
∂s1
∗ s1 = 0
∂L
∂λ1
: y1 − c1(1 + t)− s1 = 0
∂L
∂λ2
: y2 + s1(1 + r)− c2 = 0
Notar que de la condición de primer orden del ahorro tendremos dos casos: s1 = 0 y s1 > 0 con ello
la ecuación de euler tendrá dos posibles expresiones
1
c1(1 + t)
=
β(1 + r)
c2
, o bien,
1
c1(1 + t)
≥ β(1 + r)
c2
aśı en caso de que la restricción de no deuda en t = 1 se cumpla con holgura, entonces el resultado
será el mismo que en (b), pero en caso de que esté activa, el resultado será distinto a (b).
f) Escriba la restricción presupuestaria y la ecuación de Euler en el caso del impuesto de monto fijo. ¿Cómo cambia
su respuesta respecto a c) y d)? ¿Por qué?
Al igual que en el caso anterior y a diferencia de en (c) ya no puedo colapsar la restricción pre-
supuestaria de ambos periodos en una sola ecuación, aśı la restricción presupuestaria de cada periodo
será:
y1 ≥ c1 + s1 + T1
y
Y2 + s1(1 + r) ≥ c2
Luego el lagrangiano asociado al problema de optimización del agente es:
L : ln(c1) + βln(c2) + λ1 (y1 − c1 − s1 − T1) + λ2 (y2 + s1(1 + r)− c2)
y las condiciones de primer orden en este caso serán:
∂L
∂c1
:
1
c1
− λ1 = 0
∂L
∂c2
:
β
c2
− λ2(1 + r) = 0
∂L
∂s1
: − λ1 + λ2(1 + r) ≤ 0
∂L
∂s1
∗ s1 = 0
∂L
∂λ1
: y1 − c1 − s1 − T1 = 0
∂L
∂λ2
: y2 + s1(1 + r)− c2 = 0
Al igual que antes de la condición de primer orden del ahorro tendremos dos casos a analizar s1 > 0
y s1 = 0 note que en caso de que s1 = 0 el impuesto de suma alzada si afectará la senda de consumo
óptima, ya que,
1
c1
≥ β(1 + r)
c2
, con ello aún cunado tengamos impuestos de suma alzada, no se cumple la Equivalencia Ricardiana,
esto ocurre porque se viola el supuesto de mercado de capitales perfecto.
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