Parte2Consumoprivado_2Csegundamitadhorizonte_2Criesgo

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Consumo privado:
Segunda Mitad
Apuntes del profesor; insuficientes para estudiar. Tome sus propios 
apuntes en clase
Macroeconomía I
Prof. Salvador Valdés ©
Versión primer semestre 2018
Generalizando a N períodos contiguos
¿cambian las restricciones presupuestarias?
– Las identidades de FF de cada período:
𝑐𝑡 = 𝑦𝑡 + 𝑟𝑡−1,𝑡(𝑎𝑡−1) ∙ 𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡−1 − 𝑎𝑡 ∀𝑡
Son N ecuaciones. Supone que hay un solo activo en cada t.
– Suponiendo que conocemos cuál 𝑟 se aplica en cada 𝑡 (en las
períodos en que la solución es esquina se aplica la tasa de
interés del consumidor)…
– Podemos eliminando sucesivamente los at para t = N,N-1,…,1
 
𝑡=1
𝑡=𝑁
𝑐𝑡
 𝑖=1
𝑡−1 1 + 𝑟𝑖
= 
𝑡=1
𝑡=𝑁
𝑦𝑡
 𝑖=1
𝑡−1 1 + 𝑟𝑖
+ 𝑎0 1 + 𝑟0 −
𝑎𝑁
 𝑖=1
𝑁 1 + 𝑟𝑖
• Nombre del lado derecho: riqueza presente, 𝑊1
1 𝑎 𝑁
Si supusiéramos que 𝑟𝑡 = 𝑟 ∀𝑡 , supondríamos que todo Dr es permanente.
2© Salvador Valdés
Horizonte infinito y juegos de Ponzi
¿Quién fue Charles Ponzi? 
• Operó en Boston en 1919-20.
• Pirámides en Rusia, Chile.
• B. Madoff, Presidente del NASD
RPI permite modelar juegos de 
Ponzi: si {𝑎𝑁 → −∞ y 𝑁 → ∞} => 𝑊1
1 𝑎 ∞ → +∞ (ppto. no es restrictivo)
¿Por qué deben caer las pirámides?∆𝑊1 → ∆𝑐1=> mdo. bienes. 𝑟
𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙 ↑
Esto incentiva a los acreedores a detectar los juegos de Ponzi antes de que 
caigan (y Ponzi se lleve los $) para protegerse de ellos.
¿Cómo modelar esto? Imponiendo que:
lim
𝑁→∞
𝑎𝑁
 𝑖=1
𝑁 1+𝑟𝑖
= 0 (condición de “transversalidad”, o “No-Ponzi”) 
Ej. Si 𝑎𝑁 = −𝐷1 ∙ (1 + 𝑔𝐷)
𝑁−1 con 𝑔𝐷 > 0, la deuda crece al ∞ pero la C.T. 
se cumple si lim
𝑁→∞
(𝑔𝐷 − 𝑟) ≤ 0 . Esta es la condición “no Ponzi” de este ej.
Si no, 𝐷/𝑌 → ∞. La frase “La deuda no se paga, pero se sirve” cumple No-Ponzi. 
3
© Salvador Valdés
Preferencias y Optimización con N p
Preferencias del consumidor se generalizan a: 
𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑡,𝑎𝑁 𝑈1 ≡ 𝑡=1
𝑡=𝑁 𝛽𝑡−1 ∙ 𝑢(𝑐𝑡) + 𝛽
𝑁 ∙ 𝐻(𝑎𝑁)
donde H( ) = utils de dejar herencia de magnitud 𝑎𝑁 al período N+1
Cuando 𝑁 → ∞, esta suma converge sólo si 𝛽 < 1 ↔ 𝛿 > 0 . Supondremos eso
Optimización:
Con esquinas: sólo se puede resolver con simulaciones. 
Veremos soluciones de ese tipo en el ciclo de vida…
Sin esquinas: Poniendo la RPI en un lagrangiano y derivando 
respecto a ct y respecto al multiplicador 𝜆 (hágalo), sale:
𝑢´ 𝑐𝑡 = 𝛽 ∙ 𝑢´ 𝑐𝑡+1 1 + 𝑟𝑡 ∀𝑡 ∈ [1, 𝑁] ¡es la misma “ec. de Euler”!
• Como antes, para preferencias CES hay solución interior analítica:
La CPO sigue siendo: 1 + 𝑔𝑐 𝑒𝑛 𝑡
∗ = 𝛽(1 + 𝑟𝑡)
1/𝜎
𝑆𝑖 𝑟𝑡 = 𝛿, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔𝑐 𝑒𝑛 𝑡∗ = 0 ∀𝜎∀𝑡; 𝑆𝑖 𝜎 → ∞,𝑔𝑐 𝑒𝑛 𝑡∗ = 0 ∀𝑟𝑡, 𝛿
4© Salvador Valdés
Aplicaciones macro
• Para CES, y suponiendo además 𝑟𝑡 = 𝑟 ∀𝑡 y N → ∞, hay solución analítica:
𝑐1
∗ = 𝑝𝑚𝑐𝑊1𝑎∞ ∙ 𝑊1
1 𝑎 ∞
donde 𝑝𝑚𝑐𝑊1𝑎∞ ≡ 1 + −1 + [𝛽(1 + 𝒓𝑨)]
−1
𝜎 ∙ 1 + 𝒓𝑩
−1 −1
pmcW es << a pmcW de N=2. ¿Por qué? Para 𝜎 = 1, 𝑝𝑚𝑐𝑊1𝑎∞ = 1 − 𝛽 =
𝛿
1+𝛿
∀𝑟
• No es sólo porque N >> 2. También por suponer ausencia de esquinas. Recordar 
evidencia empírica para EE.UU. (Kaplan y Violante, 2014): 40% de las personas 
está en esquinas y el promedio de 𝑝𝑚𝑔𝐶 𝑌𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 = 0,25 >> 𝛿 1 + 𝛿
Efectos de ∆𝒓:
Como ∆𝑟 es permanente, efectos son >> que con N = 2, también por ausencia de esquinas. 
• Caso fácil: 𝑦𝑡+1 = 𝑦𝑡 ∙ 1 + 𝑔𝑦 con 𝑔𝑦= cte ∀t y 𝑟𝑡 = 𝑟 ∀𝑡
→ 𝑊1
1 𝑎 ∞ = 𝑦1 +
𝑦1∙(1+𝑔𝑦)
𝒓𝑪−𝑔𝑦
+ 𝑎0(1 + 𝑟0)
5© Salvador Valdés
Aplicaciones macro
• Macro de economía abierta: 𝑦𝑡 = 𝑃𝐼𝐵𝑡 ∙ 1 − 𝛼𝐺 − 𝛼𝐼 + Don + Ajuste∆TIT
• 3 efectos de cambio en la tasa de interés mundial ∆𝒓*. Si ∆𝑟 es permanente, 
los efectos son >> que con N = 2, por ausencia de esquinas. 
• Liberalización financiera: amplía las restricc crédito causa ∆c+++ adicional: 
Chile 1976-1981, de nuevo en 1996-2000.
• Macro de la economía cerrada: 
Se replican algunos resultados: 𝑐𝑡
∗ = 𝑃𝐼𝐵𝑡 ∙ 1 − 𝛼𝐺 − 𝛼𝐼
1 + 𝑔𝑐 𝑒𝑛 𝑡
∗ = 𝛽(1 + 𝑟𝑡)
1/𝜎 → 1 + 𝑟𝑡.𝑡+1
𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙
= (1 + 𝛿) 1 + 𝑔𝑡,𝑡+1
𝑃𝐼𝐵 𝜎
Consecuencia: r equil debería variar 
todo el tiempo con gPIB futuro. Los 
Bancos Centrales pueden impedirlo o 
agudizarlo con su política monetaria. 
Evidencia de caída tasa larga desde
el año 2000 (Summers, 2015).
6© Salvador Valdés
Hipótesis del Ingreso 
Permanente (Milton Friedman, P. Nobel)
• Definición: todo ingreso disponible puede ser separado en un 
componente permanente y otro transitorio: 𝑦𝑡
𝑑 ≡ 𝑦𝑃 + 𝜀𝑡
𝑇 . Un 
atributo clave del ingreso transitorio es su promedio: 𝐸𝑡−1(𝜀𝑡
𝑇) = 0. 
• ¿cómo calculan las personas su 𝑦𝑃? M.F. propuso las Expectativas Adaptativas
• La hipótesis de MF en versión libro de texto: la propensión marginal a 
consumir el Y transitorio es cero, mientras que la propensión marginal a 
consumir el ingreso permanente es 1. => 𝑐𝑡
∗ ≡ 1 ∙ 𝑦𝑃 + 0 ∙ 𝜀𝑡
𝑇
• Hipótesis verdadera (1957, p. 142-150): ídem con pmcyT, pero postula
𝑝𝑚𝑐𝑦𝑃 = 𝑘(𝑟𝑡 ,
𝑋
𝑊 𝑡
, 𝜎𝑦𝑃
2 ) con 𝑘1 < 0; 𝑘2 > 0; 𝑘3 < 0
• Es sólo una Hip. ¿Puede ser deducida del modelo de consumo micro de 
I. Fisher? Sólo la versión libro de texto y bajo los siguientes 6 supuestos: 
𝑦1 = 𝑦𝑃
𝑑 − 𝑟𝑎0 + 𝜀1𝑇; 𝑦𝑡 = 𝑦𝑃
𝑑 − 𝑟𝑎0 ∀𝑡 ≥ 2 (ojo: 𝑦𝑡
𝑑 incluye rentas del K);
𝑟 = 𝛿; N → ∞ ; 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝐶. 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑; 𝑢( ) 𝑒𝑠 𝐶𝐸𝑆 𝑐𝑜𝑛 𝜎 = 1.
7© Salvador Valdés
Teoría del ciclo de vida
(Franco Modigliani, premio Nobel)
• RPI: La senda de ingreso disponible antes de intereses cambia de 
modo predecible con la experiencia y el envejecimiento:
– yL(edad) crece rápido hasta los 40 -50 años 
de edad, a veces más años: 𝑔𝑌 𝑡 ≫ 0 ∀𝑡 < 40. 
– Los hijos requieren trabajo en el hogar: cae 
el ingreso laboral.
– y(edad) = yL + Transf – Tax. Las transferencias 
son importantes: hijos viven con los padres 
(- para padres, + para el hijo); 
se recibe herencia; a partir del retiro los 
conciudadanos regalan una pensión básica 
“no contributiva”. (las contributivas se ven después). 
– N es finito (N < 110 años)
• Preferencias cambian a : 𝑢𝑡 = 𝑛𝑡 ∙ 𝑢
𝑐𝑡
𝑛𝑡
• senda óptima: pendiente cambia a: 1 + 𝑔𝑐 𝑒𝑛 𝑡∗ =
1+𝑟𝑡
1+𝛿
1/𝜎
∙
𝑛𝑡+1
𝑛𝑡
(vale en los 𝑡 sin esquinas: 𝑎𝑡 > −𝐿𝐶𝑡 y para cambios anticipados de 𝑛𝑡)
8© Salvador Valdés
Pensiones contributivas y t. del c. vida
Pens. contributivas obligatorias: ¿eficaz? ¿cuál es la meta?
• Baja eficacia en mdo. laboral real. 25% de la PEA completa 30 
años de cotización. 68% de la PEA cotiza x ingreso < S. Mínimo.
• Convenciones 102 y 128 OIT: quien tenga 29 o menos años de 
cotización obtiene sólo pensión parcial, que es proporcional al 
nivel “suficiente” para 30 años, (= 45% del Ingreso lab actividad)
Pens. contributivas voluntarias: La tasa de cotización óptima
para vejez depende de la tendencia del ingreso laboral, de la edad,
de las transferencias, del número de hijos planeados, de la
vivienda y de los proyectos de inversión: GRAN HETEROGENEIDAD.
• No olvidar que tbn conviene ahorrar para precaución, para emprender,
para educar hijos y para vivienda, fuera del modelo hasta aquí.
• Los primeros ahorros son los que acumulan más interés. ¿Por 
qué no ahorrar + de joven? Fisher-Modigliani balancea fuerzas.
9© Salvador Valdés
Financiamiento de las p. contributivas
• Método de capitalización: la diferencia de tiempo entre la cotización y el 
uso de fondos permite ingresos por intereses. Esos intereses permiten una 
mayor pensión para una misma cotización. No permite ayudar a las personas 
mayores hoy. Si varía el retorno esperado u otros, requiere ajustes 
paramétricos.
• Financiamiento “sobre la marcha” (con cotiz. corrientes, pay as you
go, reparto. Este nombre es confuso en idiomas latinos pq sugiere 
redistribución). No espera para iniciar pensiones; no hay intereses.
– TIR del reparto es (1 + n)(1 + x)( 𝜃𝑡 𝜃𝑡−1) ≠ 0 (en estado estacionario 
demográfico y económico y ajustando parámetros para ser solvente).– Evid.: r – TIR Reparto = 0,02 al año. Teoría: TIR Rep = gPIB; y 1 + 𝑟𝑒𝑞 =
(1+𝑔𝑃𝐼𝐵)
𝜎
𝛽
• Toda variación de tamaño o cambio en grado de capitalización 
genera una redistribución entre generaciones:
– Para cada generación activa desde el momento de la variación en adelante, 
hay 2 impactos: −∆VP(Cotizaciones) +∆VP(Pensiones).
– Para la generación que fallece durante la transición, el impacto es sólo 
∆VP(Pensiones).
10© Salvador Valdés
Consumo bajo incertidumbre
• El futuro es incierto. Preferencias para dos períodos 
contiguos, donde 𝜋𝑠 es la probabilidad del estado “s”:
max
𝑐1, 𝑐2𝑠
𝐸1𝑈 ≡ 𝑢 𝑐1 + 𝛽 ∙ 𝐸1 𝑠 𝜋𝑠 ∙ 𝑢𝑠( 𝑐2𝑠)
• operador E1 es el valor esperado, condicional a la información 
disponible en t = 1 respecto al futuro. La aversión relativa al 
riesgo se mide con la curvatura de u: CARR ≡ −u′′ 𝑐 ∙ 𝑐 𝑢′(𝑐).
• La secuencia de identidades de FF también cambia:
 𝑐𝑡 = 𝑦𝑡 + 𝑟𝑡−1,𝑡(𝑎𝑡−1) ∙ 𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡−1 − 𝑎𝑡 ∀𝑡
• Lo único que es posible resolver analíticamente son las C.P.O.:
𝑢´ 𝑐𝑡 = 𝐸1 𝛽 ∙ 1 + 𝑟𝑖,𝑡 𝑎 𝑡+1 ∙ 𝑢
′ 𝑐𝑡+1 ∀ 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑖, ∀ t
11© Salvador Valdés
CAPM de consumo: predice precio relativo de activos
Sean: 𝑋𝑡+1
𝑖 ≡ 1 + 𝑟𝑖,𝑡 𝑎 𝑡+1 y 𝑌𝑡+1 ≡ 𝑢
′ 𝑐𝑡+1
Entonces la CPO es: 𝑢´ 𝑐𝑡 = 𝐸1 𝛽 ∙ 𝑋𝑡+1
𝑖 ∙ 𝑌𝑡+1 ∀ 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑖
Como 𝐸 𝑋 ∙ 𝑌 ≡ 𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 − 𝐸 𝑋 ∙ 𝐸(𝑌) entonces la CPO es
𝑢´ 𝑐𝑡 = 𝛽 ∙ 𝐶𝑜𝑣1 𝑋𝑡+1
𝑖 ∙ 𝑌𝑡+1 − 𝛽 ∙ 𝐸1 𝑋𝑡+1
𝑖 ∙ 𝐸1 𝑌𝑡+1 ∀ 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑖
También aplicamos la CPO a tres activos distintos (corte transversal):
Libre de riesgo: 𝐸1 𝑋𝑡+1
0𝑟𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 = 1 + 𝑟𝑓 Riesgoso: 𝐸1 𝑋𝑡+1
𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑖 = 1 + 𝐸1𝑟𝑡+1
𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑖
Hipótesis CAPM-C: existiría un activo “m” (Mercado) cuyo retorno tiene 
correlación 1 con 𝑐𝑡+1 :
Desarrollo: usar las 3 CPO para i , 0 riesgo y m para eliminar 𝐸1 𝑌𝑡+1 . Se obtiene:
𝑬𝟏𝒓𝒕+𝟏
𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒊 − 𝒓𝒇 = 𝒃𝒆𝒕𝒂𝒊 ∙ 𝑬𝟏𝒓𝒕+𝟏
𝒎 − 𝒓𝒇 ∀ 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒊
donde 𝑏𝑒𝑡𝑎𝑖 ≡ 𝐶𝑜𝑣1 𝑟
𝑖 , 𝑟𝑚 /𝑉𝑎𝑟1 𝑟
𝑚 = 𝐶𝑜𝑣1 𝑟
𝑖 , 𝑐𝑡+1 /𝑉𝑎𝑟1 𝑟
𝑚
Interpretación: el retorno esperado de un activo i con retorno altamente 
correlacionado con el retorno del mercado (con alto beta i) es mayor que 
el de un activo j con retorno independiente de los del mercado (beta j = 0).
Evidencia: No es claro que el activo “m” exista. El retorno del S&P500 sólo 
tiene una correlación de sólo 0,40 con 𝑐𝑡+1.
12© Salvador Valdés
Hall (1978): el “camino aleatorio” del C*
Sólo reconoce que 𝑦𝑡 = 𝑦𝑡 (aleatorio). Simplifica 
lo demás, suponiendo que 𝑟𝑡 = 𝛿 y que 𝑢 𝑐𝑡 =
= 𝑐𝑡 − 0,5 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐𝑡
2. Encuentra que la CPO se reduce a
𝐸1 𝑐𝑡
∗ = 𝑐1
∗ ∀𝑡 ≥ 2. (la pendiente 𝐸1 𝑔𝑐𝑡
∗ = 0)
Hay solución para el nivel en caso N = 2 con 𝑎3 = 0.
• O sea, la mejor predicción para el consumo 
del próximo período es el consumo corriente. Tbn:
 𝑐𝑡+1
∗ = 𝑐𝑡
∗ + 𝜀𝑡+1 donde 𝐸𝑡 𝜀𝑡+1 = 0.
• Es seguro que en t=2 ocurrirá que 𝑐2
∗ ≠ 𝐸1( 𝑐2
∗), 
pero el “balance de riesgos óptimo” en t = 1 es tal que 𝐸1( 𝑐2
∗) = 𝑐1
∗.
Si las sendas optimistas tuviera más probabilidad (si 𝐸1( 𝑐2
∗) > 𝑐1
∗) 
entonces el conjunto de sendas contingentes NO es óptimo.
13© Salvador Valdés
Las variables anunciadas en el pasado
• Suponga que dispone de datos históricos de ingreso real per cápita y 
de consumo real per cápita. Se estima la regresión: 
𝑐𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 ∙ 𝑐𝑡−1 + 𝛼2 ∙ 𝑦𝑡−1 + 𝛼3 ∙ 𝐴𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑠𝑡−1 + 𝜀𝑡, con 𝐸𝑡−1 𝜀𝑡 =
0. 
• Si el modelo de consumo de Hall fuera correcto, la regresión debiera 
obtener: 𝛼0 = 0 y 𝛼1 = 1.
• Hay más: según M. de Hall, el mejor pronóstico para el consumo del 
próximo período no depende de ninguna otra variable del pasado (t-
1 y más atrás), porque todos los hechos del pasado debieran estar 
incorporados o recogidos plenamente en 𝑐𝑡−1 ∗
• Por lo tanto, también debiera obtener 𝛼2 = 0 y 𝛼3 = 0.
• Para cualquier sorpresa al ingreso (trans., perm. o anticipada) y para 
cualquier noticia del pasado, la mejor respuesta del consumo es 
siempre un cambio permanente. Motivo: supuesto de soluciones 
interiores o tangentes. Evidencia en Shea (1995).
14© Salvador Valdés
La función consumo de Hall con N > 2
15
© Salvador Valdés
El caso particular donde 𝑟 = 0, 𝛿 = 0, permite obtener resultados 
simples para el horizonte de N períodos (finito). Resultados:
a) La función consumo se puede despejar y es:
𝑐1
∗ = 𝑝𝑚𝑐𝑊 ∙ 𝐸1
 𝑊1
1 𝑎 𝑁
donde: 𝑝𝑚𝑐𝑊 ≡ 1/𝑁 y 𝐸1
 𝑊1
1 𝑎 𝑁 ≡ 𝑎0 + 𝑦1 + 𝑡=2
𝑡=𝑁 𝐸1 𝑦𝑡
b) Sea 𝜀2
∗ ≡ 𝑐2
∗-𝑐1
∗ la magnitud de la “innovación” recomendada 
para el consumo en t = 2. Se encuentra que ella es igual al valor 
presente de los cambios en las expectativas sobre todos los 
ingresos para lo que resta del horizonte:
𝜀2
∗ =
1
𝑁 − 1
∙ 𝑦2 − 𝐸1 𝑦2 + 
𝑡=3
𝑡=𝑁
𝐸2 𝑦𝑡 − 𝐸1 𝑦𝑡
Ahorro por precaución
¿Conviene ahorrar para hacer frente a la incertidumbre? 
• Sustituto 1: comprar seguros. También compra indirecta. Ej. 
elegir empleo con sueldo seguro, aunque sea más bajo. 
– Realidad: muchos seguros son incompletos, por riesgo de abuso (ej. 
desempleo) y selección adversa. También son caros por costo de 
administración, costo de selección, el alto costo de distribuirlos y por 
su alta diferenciación de producto (márgenes altos). 
– Por eso, muchos seguros son vencidos por el Ahorro x Precaución, y la 
demanda por ellos es débil o cero.
• Sustituto 2: modificar la cartera de inversiones para “calzar” 
activos o pasivos con el siniestro: que la correlación entre el 
activo y el siniestro sea (-1), para inmunizar el patrimonio. Ej. 
vivienda propia. Sin embargo, en muchos siniestros no existe una 
inversión calzable a bajo costo de transacción. Mercado de activos 
es “incompleto”. Ej. capital humano, reputación, oport. Negocios.
• Al hablar de ahorro por precaución, NO confundir stock con flujo
Stock: mantener un colchón (buffer, amortiguador) positivo.
Flujo: construir o comerse el colchón <=> cambiar 𝑐1
∗ por un tiempo.16© Salvador Valdés
Magnitud del ahorro por precaución
Algunos hallazgos analíticos: 
1. CPO para s = 1, 2 : 𝑢´ 𝑐1 = 𝛽 ∙ (1 + 𝑟1) ∙
𝜋1 ∙ 𝑢
′ 𝑐2,𝑠=1 + (1 − 𝜋1) ∙ 𝑢
′ 𝑐2,𝑠=2 . 
Para que S*Precaución > 0 se requiere 
una u(.) tal que 𝐸1𝑢
′ 𝑐2 suba cuando 
𝑉𝑎𝑟 𝑐2 sube preservando 𝐸1 𝑐2 . Si 
𝐸1𝑢
′ 𝑐2 sube, 𝑢´ 𝑐1 sube , 𝑐1 ∗ baja. 
Gráfico revela que eso requiere 𝑢 con 
tercera derivada positiva: u’ cayendo a 
tasa decreciente. En u cuadrática, 
𝐸1𝑢
′ 𝑐2 = 1 − 𝑎𝐸1 𝑐2 ∀ 𝑉𝑎𝑟(𝑐2) => 
no baja 𝑐1 ∗ => no ahorra más.
2. La CES cumple eso
𝐸𝑡𝑔𝑐 ∗ = 0,5 ∙ 𝜎 ∙ (1 + 𝜎) ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑔𝑐)
(Romer, Ec. 7.42). A mayor riesgo 
𝑉𝑎𝑟(𝑔𝑐) , conviene mayor pendiente 
promedio, consume menos hoy.
𝜎 se re-interpreta como coeficiente de 
aversión relativa al riesgo. 
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© Salvador Valdés
preservar E1(C2) cte
u’(C)
C2
Shock: 
Aumenta 
Var(C2)
𝐸1𝑢
′ 𝑐2
Magnitud del ahorro por precaución
En el caso CES y cualquier otra u no cuadrática, el nivel de 𝑐1
∗ se 
determina con métodos numéricos. Única excepción es el caso del 
ingreso laboral futuro distribuido lognormal y u(c) = -exp(-b.c) con 
aversión absoluta al riesgo cte. (R. Caballero, 1992) 
Recomendaciones obtenidas de simulaciones:
• S* Precaución en 1er año laboral, para personas con stock 
ahorro inicial cero ≈ 50% del ingreso. Pero, sólo se ahorra 
fuerte hasta completar stock deseado. Después muy poco 
(ahorro FLUJO ≈ 0).
• Gasto terminal de salud + gasto de enfermedad crónica puede 
ser muy grande e incierto. => al llegar a la cuarta edad, 
conviene elevar el colchón de ahorro por precaución para 
cubrir los eventos más caros y no quedar sin atención de 
salud. Esto modifica la predicción de que convenga desahorrar
en la vejez hasta dejar sólo el legado deseado. Pensar en 
seguro de dependencia severa.
18© Salvador Valdés