Ayudantía 4

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Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Ayudant́ıa 4
Macroeconomı́a I - EAE220D-3
Profesor: Emilio Depetris
Ayudantes: Marcela Arriagada - Carmen Cifuentes
07 de septiembre, 2018
“Preguntas conceptuales”
1. Explique cuál es la importancia de que la función de costos de ajuste del capital sea cóncava o convexa en un
modelo de inversión.
Respuesta:
En primer lugar, recordemos que la intención de las firmas es maximizar sus beneficios a lo largo del tiempo
(maximización intertemporal). Dado esto, no será irrelevante la estructura de los costos de la inversión. Como
bien sabemos, si esta función es cóncava, entonces dichos costos serán crecientes a tasa decreciente, por cuanto
la mejor opción será realizar grandes inversiones en capital en poco tiempo (la rapidez a la cual se realiza
la inversión disminuye el costo de ajuste). Por el contrario, si la función es convexa, tendremos que los costos
serán crecientes a tasa creciente por cuanto no será óptimo realizar grandes cambios en un peŕıodo de corto plazo
puesto que los costos explotarán al invertir marginalmente en capital. A partir de esta situación, las inversiones
en capital se realizarán paulatinamente en el tiempo.
Ejercicio 1
Suponga que una empresa produce utilizando la función de producción Cobb-Douglas: Y = KαL1−α, 0 < α < 1. La
firma toma P (el precio de producto) como dado. Finalmente, suponga que los mercados de los factores productivos
son competitivos, es decir, que la firma toma el salario de los trabajadores w y el precio de arriendo de capital r, como
dados.
a. Determine la elección de L que hace la firma, en función de P, Y,w, α. ¿Cómo depende L de cada uno de estos
parámetros? Explique intuitivamente.
Respuesta:
L∗ =
p(1− α)Y
w
Cuando suben los precios, aumentan los beneficios, por lo tanto conviene producir más siendo necesario contratar
más. α es el valor del factor productivo K en la función de producción (a mayor α, mayor peso en K y menor en
L). Lp, Ly > 0;Lw, Lα < 0.
b. Dada la elección óptima de L, determine las utilidades de la empresa en función de P, Y,w, α y K.
Respuesta:
pKα
(
p(1− α)Y
w
)1−α
− (p(1− α)Y + rK)
1
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c. Encuentre la condición de primer orden para la elección del K deseado. ¿Se satisface la condición de segundo
orden?
Respuesta:
∂Π
∂K
= 0⇒ pαKα−1
(
p(1− α)Y
w
)1−α
− r = 0
∂2Π
∂K2
= 0⇒ pα(α− 1)Kα−2
(
p(1− α)Y
w
)1−α
= 0
0 < α < 1⇒ (α− 1) < 0. Por lo tanto se cumple que ∂
2Π
∂K2 < 0.
d. Resuelva para K la condición de primer orden encontrada en la parte anterior como función de P, Y,w y r.
¿Cómo afectan los cambios de w al stock de capital deseado por la empresa? Explique brevemente.
Respuesta:
K∗ =
(
p
r
α
) 1
1−α
(
p(1− α)Y
w
)1−α
Si aumenta w, los costos marginales van a ser mayores, por lo que habŕıa menor producción. En este caso Y está
dado, por lo tanto se debe contratar más para cumplir el nivel de producción.
Ejercicio 2
Considere un inversionista que puede comprar un bien de capital por un valor Q. Este bien le permite obtener un
ingreso de Z el peŕıodo de compra, y Z(1 + r)/2 el siguiente peŕıodo. En consecuencia, el capital se deprecia la mitad
del total cada peŕıodo. A finales del peŕıodo 2 el capital no vale nada, pues se ha depreciado completamente. Suponga
que no hay inflación y la tasa de interés real es r. El inversionista paga impuestos a una tasa τ sobre las utilidades.
a. Asuma que r = 0. Suponga que se le permite depreciar la mitad del valor del capital en cada peŕıodo. Calcule el
valor presente del proyecto y demuestre que la tasa de impuesto es irrelevante en cuanto a la decisión de realizar
o no la inversión.
Respuesta:
La utilidad del primer peŕıodo antes de impuestos es Z−Q, y paga impuestos sobre Z−Q/2, es decir, la utilidad
después de impuestos es Z(1− τ)−Q+ τQ/2 = Z(1− τ)−Q(1− τ/2). Similarmente, en el segundo peŕıodo la
utilidad después de impuestos es Z(1− τ)/2 + τQ/2. El valor presente es:
V AN =
3Z(1− τ)
2
−Q(1− τ) = (1− τ)
[
3Z
2
−Q
]
Note que la condición para hacer o no el proyecto, V P > 0 o V P < 0, es independiente de τ .
b. Siga asumiendo que r = 0. Suponga ahora que se le permite depreciar aceleradamente el capital, imputando el
total de su valor como costo el primer peŕıodo. Muestre que el valor presente es el mismo que el del caso anterior,
y por lo tanto, la decisión de inversión es independiente de la forma en que se permite depreciar el capital.
Respuesta:
En este caso, la utilidad después de impuestos en el primer peŕıodo es (Z−Q)(1−τ), y en el segundo es Z(1−τ)/2.
El valor presente del proyecto es:
V P = (1− τ)
[
3Z
2
−Q
]
2
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Que es exactamente igual a la de la parte anterior, en consecuencia, la forma de imputar la depreciación no
afecta la decisión de invertir. Es claro que esto ocurre porque r = 0, es decir, el presente y el futuro son valorados
iguales, y en consecuencia, da lo mismo cuando imputar el costo del capital.
c. Asuma ahora que r > 0. Calcule el valor presente del proyecto bajo las dos formas de depreciación: lineal (un
medio-un medio) y acelerada (todo el primer peŕıodo). ¿En qué caso es más probable que se realice el proyecto?
¿Qué puede decir respecto de la forma en que se tributa la depreciación y la inversión?
Respuesta:
Procediendo de manera similar, en el caso de la depreciación lineal, el valor presente es (note que en el segundo
peŕıodo el ingreso es Z(1 + r)/2, o sea, en valor presente es Z/2):
V Pl = (1− τ)
3Z
2
−
[
1− τ
2
2 + r
1 + r
]
Q
Por su parte, en el caso de depreciación acelerada se tiene:
V Pa = (1− τ)
3Z
2
− (1− τ)Q
Puesto que (1/2)[(2 + r)/(1 + r)] < 1, tenemos que:
1− τ > 1− τ
2
2 + r
1 + r
Por lo tanto, V Pl > V Pa.
Por lo tanto, es más probable que se realice la inversión en el caso que haya depreciación lineal, dado que los
flujos son mayores en valor presente.
d. ¿Por qué si r > 0 o r = 0 hace la diferencia? Para responder, calcule el valor presente de los descuentos hechos
por la depreciación.
Respuesta:
La razón de lo anterior es que la tasa de interés es positiva, en consecuencia, el futuro es descontado y esto
hace que disminuyan los costos en valor presente. En el caso de la depreciación lineal, el valor presente de la
depreciación es Q(2+r)/2(1+r), que es menor que Q (valor presente de la depreciación cuando esta es acelerada)
en la medida que la tasa de interés es positiva.
Ejercicio 3
Suponga una empresa que tiene la posibilidad de realizar un proyecto de inversión, para lo cual debe asumir un costo
Pk a principios del primer año. Mediante él, la empresa produciŕıa una cantidad de bienes Q. El bien de capital se
deprecia una fracción δ cada peŕıodo, de modo que en cada peŕıodo la producción cae una fracción δ. Para simplificar los
cálculos suponga que el bien se empieza a producir y vender a fines del primer peŕıodo, de modo tal que la producción
del primer año es Q(1− δ), y en los años posteriores es Q(1− δ)2, Q(1− δ)3 y aśı sucesivamente.
El precio de venta de los bienes es P y no hay inflación. La tasa de interés es r.
a. Derive la condición que el empresario impone sobre Pk para invertir o no
1.
Respuesta:
El empresario va a invertir siempre y cuando el proyecto de inversión sea rentable, es decir, el valor presente
de los costos de inversión (en este caso sólo el inicial de comprar la unidad de capital) sea mayor que el valor
presente de los beneficios futuros. Es decir:
1Si llega a expresiones del tipo 1−x
1+y
aprox́ımelas por 1
1+x+y
, además, recuerde que
∑∞
i=1 α
i = α
1−α , donde α � (0, 1)
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Pk ≤ V P (Ingresos)
Pk ≤
∞∑
t=1
PQ(1− δ)t
(1 + r)t
Pk ≤ PQ
∞∑
t=1
(
1− δ
1 + r
)t
Pk ≤ PQ
∞∑
t=1
(
1
1 + r + δ
)t
Pk ≤
(
PQ
r + δ
)
b. Suponga que ahora el empresario debe pagar todos los peŕıodos una licencia igual a T por peŕıodo para tenerderecho a realizar el proyecto. Derive nuevamente la condición que enfrenta el empresario sobre Pk, considerando
que el proyecto no se puede interrumpir una vez que se ha comenzado.
Pk ≤
∞∑
t=1
PQ(1− δ)t − T
(1 + r)t
Pk ≤
(
PQ
r + δ
)
−
∞∑
t=1
T
(1 + r)t
Pk ≤
(
PQ
r + δ
)
− T
r
Ejercicio 4
Suponga que la demanda por inversión de una economı́a está dada por:
It = φ(K̂ −Kt−1)
Donde K̂ es el nivel deseado de capital, Kt−1 es el capital del peŕıodo anterior e It la inversión del peŕıodo. La ecuación
que determina el nivel deseado de capital es la siguiente:
K̂ = 0,2
Y
r
Donde Y es el producto del peŕıodo y r la tasa de interés. Por simplicidad, suponga que no existe depreciación.
a. Interprete económicamente el parámetro φ.
Respuesta:
Este parámetro representa la importancia que la economı́a le da a no estar en el nivel de capital óptimo, entre
más alto sea, mayor será la inversión, puesto que el costo de no estar en el óptimo es muy alto. Si el parámetro es
bajo, entonces es posible esperar que la inversión sea baja, puesto que el costo de no estar en el nivel de capital
óptimo es muy bajo (o importa relativamente poco).
b. Suponga que φ = 0,3, Y = 800, r = 0,1 y Kt−1 = 300. Determine el nivel de inversión que se realizará en el
peŕıodo.
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Respuesta:
K̂ = 1600
It = 0,3 · (1600− 300) = 390
c. Suponga que producto de que la confianza de la gente ha cáıdo, el parámetro φ cae dos tercios de su valor inicial
y el Banco Central decide bajar la tasa de interés a 5 % para tratar de contrarrestar esta baja en la confianza.
Determine el nivel de inversión. ¿Es suficiente la baja en la tasa de interés para mantener el nivel de inversión
de la pregunta b)?
Respuesta:
K̂ = 0,2 · 800
0,05
= 3200
It = 0,1 · (3200− 300) = 290
Con este resultado vemos que la baja en la tasa de interés no fue suficiente para mantener el nivel de inversión.
d. Determine la tasa de interés necesaria para que la inversión sea la misma a pesar de existir la cáıda en confianza.
Respuesta:
390 =
(
0,2 · 800
r
− 300
)
⇒ r ≈ 0,0381
Ejercicio 5
Considere una empresa que opera competitivamente y que desea escoger óptimamente su cantidad de capital K
maximizando sus beneficios Π = pF (K,L) − (wL + RK) , donde p es el precio del bien que la empresa produce y R
es el “costo de uso del capital”.
a. Encuentre la expresión para la condición de primer orden (CPO) de este problema. Deduzca luego, que si pk (el
precio del capital) es igual a 1, y éste evoluciona según la inflación (π), entonces R = r + δ , donde 0 ≤ r ≤ 1 es
la tasa de interés real de la economı́a y 0 ≤ δ ≤ 1 es la tasa de depreciación del capital.
Respuesta:
máxL,K pF (K,L)− (wL+RK)
∂Π
∂K
= 0⇒ p ∂F
∂K
−R = 0⇒ pFk = R
Los costos de uso de capital incluyen el costo de oportunidad financiera, la depreciación y las posibles ganancias
por aumento de precios.
R = ipk + δpk −∆pk
Como i− π = r, pk = 1 y los precios fluctúan según inflación: R = i+ δ − π = r + δ.
b. Demuestre que si el gobierno cobra un impuesto espećıfico (o a “la cantidad”) 0 ≤ τ ≤ 1 al bien vendido por la
empresa y a las ganancias del sistema financiero, y simultáneamente permite deducir la depreciación en τδ, la
CPO de la pregunta anterior no se ve alterada (esto se conoce como un sistema impositivo “neutral”).
Respuesta:
El impuesto espećıfico del precio del bien es p(1− τ). Las ganancias financieras vienen de la tasa de interés real,
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por lo que se ven reducidas en la misma cantidad que el precio y la depreciación.
El problema queda:
máx
L,K
p(1− τ)F (K,L)− (wL+ (r(1− τ) + δ(1− τ))K)
∂Π
∂K
= 0⇒ pFk(1− τ)− r(1− τ)− δ(1− τ) = 0⇒ pfk = R
Por lo tanto, se puede ver que la firma no modifica su elección óptima de capital.
Ejercicio 6
Suponga que una empresa enfrenta costos del tipo: C = ε(Kt+1 −K∗)2 + (Kt+1 −Kt)2, ε ≥ 0
a. Interprete económicamente cada uno de los términos de (Kt+1 −K∗)2 y (Kt+1 −Kt)2
Respuesta:
(Kt+1 −K∗)2 es el costo de estar fuera del óptimo.
K∗ es el punto en donde se obtienen mayores utilidades de largo plazo.
(Kt+1 −Kt)2 representa el costo de ajuste y depende de la inversión.
b. Muestre que la inversión bruta en t se puede escribir como: It = Kt+1 −Kt = λ(K∗ −Kt). Donde λ = λ(ε).
Respuesta:
mı́n ε(Kt+1 −K∗)2 + (Kt+1 −Kt)2
Sacamos las CPO y llegamos a que Kt+1 =
εK∗+Kt
ε+1
Reemplazando en It = Kt+1 −Kt llegamos a que It = εε+1 (K
∗ −Kt).
c. Suponga que ahora la producción de la firma se puede escribir con la siguiente tecnoloǵıa Cobb-Douglas:
Y = AKαL1−α, 0 < α < 1. Encuentre el nivel óptimo de capital considerando que R es el costo de arrien-
do del capital y P es el precio del bien producido por la firma. Respuesta:
K∗ =
(
Aα
P
R
) 1
1−α
L
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