Ayudantía 5

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Propuesta Ayudantía N° 5 
Macroeconomía I – EAE220D-3 
Profesor: Emilio Depetris 
Ayudantes: Marcela Arriagada – Carmen Cifuentes 
 
Preguntas Conceptuales 
1. En su reunión mensual de política monetaria, El Banco Central decidió aumentar la TPM. 
Indique cómo deberían verse afectadas las decisiones de las firmas si éstas tienen funciones 
de costo convexas y el cambio fue totalmente inesperado. 
Respuesta: 
Dado que el aumento de la tasa de interés era totalmente inesperada por las firmas, el precio 
sombra del capital instalado (Q de Tobin) cae de golpe bajo el valor de 1. En un contexto de 
firmas con costos convexos, las firmas tienen dificultades para cambiar su capacidad 
instalada. Por lo tanto, las firmas irán desinvirtiendo gradualmente hasta llegar a un nivel de 
capital instalado inferior al que existía antes del cambio en la tasa. 
 
2. Es irrelevante si, para aumentar el gasto, el fisco se endeuda o aumenta los tributos, ya que 
los efectos macroeconómicos generados son siempre los mismos. 
Respuesta: 
El comente será verdadero en la medida que se cumplan los supuestos en que descansa la 
teoría de la equivalencia ricardiana: (i) No hay restricciones de liquidez (ii) La gente tiene 
horizonte infinito (iii) No hay incertidumbres ni distorsiones (iv) Individuos planifican con 
precisión el futuro. 
Esta teoría propone que cualquier cambio en el “timing” de los impuestos no tendrá efectos 
sobre la economía y, en particular, sobre las decisiones de los privados. Esto porque los 
individuos internalizan el comportamiento del gasto público y su medio de financiamiento en 
sus decisiones. En este caso la deuda pública estaría ligada a impuestos futuros (para su pago) 
o viceversa, por lo que no se vería afectada la restricción presupuestaria de los individuos ni 
tampoco su decisión óptima de consumo. 
 
3. Se dice que el fisco es solvente cuando la razón deuda-producto converge a un estado 
estacionario. 
Respuesta: 
Falso. La condición de solvencia nos dice que en el largo plazo la deuda pública debe crecer 
más lento que la tasa de interés (que no haya esquema Ponzi), ya que si esto sucede llegará 
un momento en el que el gobierno no será capaz de pagar. En otras palabras, la condición 
requiere que el valor presente del superávit fiscal primario sea igual a la deuda neta para que 
ésta última no explote. La sostenibilidad fiscal es la que se refiere a la estabilidad en el largo 
plazo de la razón deuda/PIB. 
 
4. Un país que tiene un nivel actual de deuda positiva no puede tener un déficit global. 
Respuesta: 
Falso. La posición fiscal de un país es sostenible cuando la razón deuda-producto converge a 
un estado estacionario, condición que se puede representar mediante la siguiente ecuación: 
𝑏𝑡+1 − 𝑏𝑡 =
𝑑𝑡
1 + 𝑔
+
𝑟 − 𝑔
1 + 𝑔
∙ 𝑏𝑡 
 
Cuando hay buen desempeño económico y la tasa a la cual crece el país (𝑔) es mayor a la tasa 
de interés que paga por su deuda (𝑟), el crecimiento paga parte de la deuda y permite tener 
un déficit global (𝑔 ∙ 𝑏). Nota: Recordar que esta situación sólo se da en los periodos de 
crecimiento acelerado, ya que en el largo plazo se debe cumplir que 𝑟 > 𝑔 o cualquier 
evolución de déficit primario sería solvente. 
 
 
Ejercicios 
 
I. Inversión 
1. Suponga una economía donde las firmas maximizan el valor presente de sus utilidades 
futuras eligiendo el nivel de capital sujeto a la siguiente ley de movimiento: 
𝐾𝑡+1 = 𝐾𝑡(1 − 𝛿) + 𝐼𝑡 
La formación bruta de capital de esta economía se caracteriza por tener costos de ajustes 
cuadráticos: 
(𝐼𝑡 − 𝛿𝐾𝑡)
2 
 
La producción se genera a través de una función de producción 𝐹(𝐾) = 𝐴𝐾𝛼 con 𝛼 ∈ (0,1). 
Asuma que el precio del bien es igual a 1 y que el costo de arrendar capital para la inversión 
también es igual a 1. 
a. Resuelva el problema de maximización de las firmas, determine las ecuaciones de 
movimiento del capital y el precio sombra de éste. 
Respuesta: 
Primero planteamos la ecuación que maximiza la firma: 
𝜋 = ∑ (
1
1 + 𝑟
)
∞
𝑡=0
𝑡
(𝐴𝑡𝐾𝑡
𝛼 − 𝐼𝑡 − (𝐼𝑡 − 𝛿𝐾𝑡)
2) 
La ecuación anterior representa las utilidades netas de la firma, descontada la inversión 
(por el precio del capital que es 1) y los costos de ajuste. 
 
Ésta se encuentra sujeta a la restricción de movilidad del capital: 
𝐼𝑡 + 𝐾𝑡 − 𝐾𝑡𝛿 ≤ 𝐾𝑡+1 
 
Así podemos plantear el lagrangeano: 
𝐿 = ∑ (
1
1 + 𝑟
)
∞
𝑡=0
𝑡
∙ (𝐴𝑡𝐾𝑡
𝛼 − 𝐼𝑡 − (𝐼𝑡 − 𝛿𝐾𝑡)
2 + 𝑞𝑡[𝐼𝑡 + 𝐾𝑡 − 𝐾𝑡𝛿 − 𝐾𝑡+1]) 
 
Derivando respecto a las variables de decisión nos queda: 
𝜕𝐿
𝜕𝐼𝑡
= (
1
1 + 𝑟
)
𝑡
∙ (−1 − 2(𝐼𝑡 − 𝛿𝐾𝑡) + 𝑞𝑡) = 0 (1) 
𝜕𝐿
𝜕𝐾𝑡+1
= (
1
1 + 𝑟
)
𝑡
(−𝑞𝑡)
+ (
1
1 + 𝑟
)
𝑡+1
[𝛼𝐴𝑡+1𝐾𝑡+1
𝛼−1 + 2𝛿(𝐼𝑡+1 − 𝛿𝐾𝑡+1) − 𝛿𝑞𝑡+1 + 𝑞𝑡+1]
= 0 (2) 
 
De las condiciones anteriores obtenemos las ecuaciones de dinámica de 𝑞𝑡 y 𝐾𝑡 . 
 
De la condición (1): 
2(𝐼𝑡 − 𝛿𝐾𝑡) = 𝑞𝑡 − 1 
𝑞𝑡 − 1
2
= 𝐼𝑡 − 𝛿𝐾𝑡 = 𝐾𝑡+1 − 𝐾𝑡 = 𝐾�̇� 
(Recordar que: 𝐾𝑡+1 = 𝐾𝑡 − 𝐾𝑡𝛿 + 𝐼𝑡) 
 
Y como sabemos que en estado estacionario 𝐾�̇� = 0, nos queda: 
 
𝑞𝑡 = 1 
De la condición (2): 
𝑞𝑡 ∙ 𝑟 − 𝛼𝐴𝑡+1𝐾𝑡+1
𝛼−1 + 𝑞𝑡+1𝛿 = 𝑞𝑡+1 − 𝑞𝑡 = �̇�𝑡 
 
Y como sabemos que en estado estacionario 𝑞�̇� = 0, nos queda: 
𝑞𝑡 =
𝛼𝐴𝑡+1𝐾𝑡+1
𝛼−1 + 𝑞𝑡+1 ∙ 𝛿
𝑟
 
 
De la condición (1) observamos que si 𝑞𝑡 > 1 entonces 𝐾𝑡 crece (el valor del capital dentro 
de la empresa es mayor a su costo de reposición) y decrece cuando 𝑞𝑡 < 1. De la 
condición (2) tenemos que el caso cuando no se invierte más (𝑞𝑡 = 1) se da cuando 
 𝑓′(𝐾𝑡+1) = 𝛼𝐴𝑡+1𝐾𝑡+1
𝛼−1 = 𝑟. Es decir, en el óptimo el beneficio de tener capital es igual 
a su costo de oportunidad. 
 
b. Explique verbalmente las ecuaciones de dinámica determinadas en la pregunta anterior, 
el origen de la ecuación (2), el significado de 𝑞 y su rol en la maximización de la cual 
provienen las ecuaciones. 
Respuesta: 
Las ecuaciones de dinámica surgen de la maximización de utilidades de la empresa 
representativa de la economía con costos de ajuste cuadráticos, sujeto a una ley de 
movimiento del capital. 
La primera ecuación muestra la dinámica del capital y nos dice que, mientras el valor que 
asigna el mercado al beneficio marginal de una unidad de capital (𝑞𝑡) sea mayor que el 
costo de dicha unidad del capital (𝑝𝐾 = 1), la inversión neta aumentará. 
La segunda ecuación muestra que los valores de 𝑞𝑡 y 𝐾𝑡+1 tales que �̇� = 0 forman una 
curva. Para valores mayores de 𝐾𝑡+1 vemos que �̇�𝑡 < 0 y viceversa, ya que mientras más 
invierto mayor es el costo de ajuste. Esto refleja que la forma funcional de los costos de 
ajuste de es cuadrática (enunciado), en otras palabras, los costos aumentarán más que 
linealmente cuando se invierte más y por ende el ajuste es gradual. 
 
c. Suponga que el gobierno anuncia un cambio en el sistema de transporte público que 
promete mejor calidad y menor tiempo de viaje cuando se complete la operación de 
plan. Las empresas interpretan esto como un aumento en la productividad de la 
economía. Explique los cambios que ocurrirán en la dinámica temporal de 𝑞, 𝐾 e 𝐼. 
Respuesta: 
Si el mercado supone un aumento de la productividad, entonces aumentará el nivel de 
capital porque aumenta su valor (Ej. Sube el precio de las acciones de la empresa). Este 
aumento será gradual (recordemos que la función de costos de ajustes es cuadrática), el 
ajuste comienza cuando se conoce la noticia y desde allí las empresas comienzan a 
ajustarse lentamente hasta llegar al nuevo estado estacionario (ajustarse de inmediato 
es muy costoso). En resumen, el valor del capital aumenta juntamente con la inversión en 
un principio porque el mercado espera un mayor valor futuro para el capital. Cuando el 
cambio se concreta (comienza a operar el nuevo sistema), el capital sigue aumentando, 
pero enmenor proporción porque 𝑞𝑡 comienza a disminuir (estamos más cerca del nuevo 
estado estacionario). 
 
 
2. Considere un proyecto de inversión que requiere invertir $100 hoy día. Una vez realizado el 
proyecto, este rinde un flujo F en el periodo siguiente y una vez que el proyecto se acaba 
tiene un valor residual cero. Suponga que la tasa de interés del periodo es constante e igual 
a 10%. 
a. Si el proyecto da un retorno igual a $130, calcule su valor esperado y decida si le conviene 
o no hacerlo. 
Respuesta: 
𝑉𝑃𝑁 = −100 +
130
1.1
= 18.2 
Le conviene hacer el proyecto porque su VPN es mayor que cero. 
 
b. Suponga ahora que el proyecto tiene un retorno incierto que puede ser de $80 o $180 
(ambos con probabilidad ½). ¿Cuál es el valor presente de invertir? 
Respuesta: 
En este caso calculamos el valor esperado de los flujos que nos da: 
𝐸(𝐹) = 0.5 ∙ (180 + 80) = 130 
Luego, el VPN es el mismo que en (a) y por tanto sí conviene hacer el proyecto. 
 
c. Suponga que el inversionista decide esperar un periodo para que se resuelva esta 
“incertidumbre”. Esto significa que en el periodo siguiente sabrá si los retornos futuros 
serán de $80 o $180. Calcule el valor presente de invertir si es que ocurren flujos altos y 
si es que ocurren flujos bajos. ¿Qué le recomendaría hacer usted al inversionista si la 
información revela que los flujos son bajos? 
Respuesta: 
Para calcular el valor presente de esperar, llevaremos todos los flujos al periodo en que 
se hace la inversión (𝑡 = 0). 
Flujos Altos (1) 
−
100
1.1
+
180
1.12
= 57.8 
Flujos Bajos (2) 
−
100
1.1
+
80
1.12
= −24.8 
Vemos que, si el flujo es alto, claramente conviene invertir. Si, por el contrario, los flujos 
son bajos, entonces no le va a convenir realizar el proyecto. Luego, si sabe que los flujos 
serán bajos, no invierte y obtiene un VPN=0. 
 
 
d. A partir de su respuesta en (c), indique cuál es el valor presente esperado de invertir si 
la realización del proyecto se posterga en un periodo. Discuta si al inversionista le 
conviene o no esperar. 
Respuesta: 
Calculamos el valor esperado de postergar el proyecto en un periodo: 
𝑉𝑃𝑁 = 0.5 ∙ (57.8 + 0) = 29 
La ecuación anterior surge del hecho que, con probabilidad ½ los flujos serán altos (realiza 
el proyecto) y con probabilidad ½ serán bajos (no realiza el proyecto). Notar que los flujos 
asociados YA están en valor presente ya que son los que obtuvimos en (c). 
Sólo en caso de que en (c) hubiésemos calculado el valor presente de los flujos como si el 
inversionista estuviese en el periodo 1, haría falta dividir por (1+r) como lo señalamos en 
la aydantía. 
 
Si posterga el proyecto para esperar que se revele si los flujos serán altos o bajos obtiene 
un valor esperado neto de $29. Este valor es mayor al que obtuvimos en (a) que era de 
$18.2. Luego, le conviene esperar. Recordemos que, si ya invertí, en el periodo siguiente 
mi bien de capital no valdrá nada porque el proyecto terminó y el capital invertido sólo 
servía para ese proyecto (el valor de reventa es cero). Por ello es que es importante 
analizar en detalle cuándo conviene realizar la inversión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. Gobierno 
1. Suponga una economía que dura 3 periodos en la cual conviven un agente representativo y 
el gobierno. El agente tiene perfect foresight (no hay incertidumbre) y maximiza utilidad a lo 
largo de su vida. 
𝑈 = 𝑢(𝐶1) + (
1
1 + 𝜌
) ∙ 𝑢(𝐶2) + (
1
1 + 𝜌
)
2
∙ 𝑢(𝐶3) 
 
El trabajo es exógeno en los 3 periodos, el ingreso proviene de una dotación exógena y 𝜌 
representa la tasa de impaciencia del agente. La restricción presupuestaria del agente en 
cada periodo se puede representar de la siguiente manera: 
𝐴𝑡 = (1 + 𝑟)𝐴𝑡−1 + (1 − 𝜏𝑡)𝑌𝑡 − 𝐶𝑡 𝑡 = 1, 2 , 3 
Donde 𝐴𝑡 representa el ahorro en el periodo 𝑡, 𝐶𝑡 el consumo e 𝑌𝑡 el ingreso. 
 
a. Si en esta economía los privados no se pueden morir con un stock de ahorro diferente 
de cero, encuentre la restricción presupuestara inter-temporal del agente 
representativo. 
Respuesta 
La información anterior implica que: 
𝐴3 = 0 
Reemplazando en las RP podemos encontrar 𝐴2: 
𝐴3 = (1 + 𝑟)𝐴2 + (1 − 𝜏3)𝑌3 − 𝐶3 
𝐴2 =
𝐶3 − (1 − 𝜏3)𝑌3
1 + 𝑟
 
Y si hacemos lo mismo para la RP en el segundo periodo: 
𝐴1 =
𝐶3 − (1 − 𝜏3)𝑌3
(1 + 𝑟)2
+ 𝐴2 =
𝐶2 − (1 − 𝜏2)𝑌2
1 + 𝑟
 
Finalmente reemplazando para el primer periodo: 
𝐶1 +
𝐶2
1 + 𝑟
+
𝐶3
(1 + 𝑟)2
= (1 + 𝑟)𝐴0 + (1 − 𝜏1)𝑌1 +
(1 − 𝜏2)𝑌2
1 + 𝑟
+
(1 − 𝜏3)𝑌3
(1 + 𝑟)2
 
 
b. Recordando que el gobierno tampoco puede terminar con deuda, encuentre la 
restricción presupuestaria consolidada de la economía. 
Respuesta: 
La RP del gobierno para cada periodo es: 
(1 + 𝑟)𝐵0 + 𝐺1 − 𝜏1𝑌1 = 𝐵1 
(1 + 𝑟)𝐵1 + 𝐺2 − 𝜏2𝑌2 = 𝐵2 
(1 + 𝑟)𝐵2 + 𝐺3 − 𝜏3𝑌3 = 𝐵3 
Donde 𝐵𝑡 es la deuda del gobierno con los agentes en el periodo 𝑡, 𝐺𝑡 el gasto fiscal y 𝜏𝑡 
los impuestos. 
Como sabemos que 𝐵3 = 0, reemplazamos en las RP. 
𝐵2 =
𝜏3𝑌3 − 𝐺3
1 + 𝑟
 
 
Utilizando esto en el segundo periodo: 
(1 + 𝑟)𝐵1 + 𝐺2 − 𝜏2𝑌2 =
𝜏3𝑌3 − 𝐺3
1 + 𝑟
 
𝐵1 =
𝜏3𝑌3 − 𝐺3
(1 + 𝑟)2
+
𝜏2𝑌2 − 𝐺2
1 + 𝑟
 
Y ahora en la RP del primer periodo: 
(1 + 𝑟)𝐵0 + 𝐺1 − 𝜏1𝑌1 =
𝜏3𝑌3 − 𝐺3
(1 + 𝑟)2
+
𝜏2𝑌2 − 𝐺2
1 + 𝑟
 
𝐵0 =
𝜏3𝑌3 − 𝐺3
(1 + 𝑟)3
+
𝜏2𝑌2 − 𝐺2
(1 + 𝑟)2
+
𝐺1 − 𝜏1𝑌1
1 + 𝑟
 
Como la economía se encuentra en equilibrio sabemos que debe cumplirse que 𝐴0 = 𝐵0 
𝐶1 +
𝐶2
1 + 𝑟
+
𝐶3
(1 + 𝑟)2
= (1 + 𝑟) [
𝜏3𝑌3 − 𝐺3
(1 + 𝑟)3
+
𝜏2𝑌2 − 𝐺2
(1 + 𝑟)2
+
𝐺1 − 𝜏1𝑌1
1 + 𝑟
] + (1 − 𝜏1)𝑌1
+
(1 − 𝜏2)𝑌2
1 + 𝑟
+
(1 − 𝜏3)𝑌3
(1 + 𝑟)2
 
𝐶1 +
𝐶2
1 + 𝑟
+
𝐶3
(1 + 𝑟)2
= 𝑌1 +
𝑌2
1 + 𝑟
+
𝑌3
(1 + 𝑟)2
− 𝐺1 −
𝐺2
1 + 𝑟
−
𝐺3
(1 + 𝑟)2
 
 
c. Con la restricción encontrada y la información de que 𝑟 = 𝜌 demuestre que el agente 
consume lo mismo en los tres periodos (𝐶𝑡 = �̅� ∀𝑡). 
Respuesta: 
Usamos la siguiente RP: 
𝑌1 +
𝑌2
1 + 𝑟
+
𝑌3
(1 + 𝑟)2
− 𝐺1 −
𝐺2
1 + 𝑟
−
𝐺3
(1 + 𝑟)2
= 𝑊 
Ahora construimos el lagrangeano sabiendo que el agente maximiza su utilidad sujeto a 
la restricción anterior: 
𝐿 = (𝐶1) + (
1
1 + 𝜌
) ∙ 𝑢(𝐶2) + (
1
1 + 𝜌
)
2
∙ 𝑢(𝐶3) + 𝜆 (𝑊 − 𝐶1 −
𝐶2
1 + 𝑟
−
𝐶3
(1 + 𝑟)2
) 
Las CPO son: 
𝑢′(𝐶1) = 𝜆 
(
1
1 + 𝜌
) ∙ 𝑢′(𝐶2) =
𝜆
1 + 𝑟
 
(
1
1 + 𝜌
)
2
∙ 𝑢′(𝐶3) =
𝜆
(1 + 𝑟)2
 
Luego, nos queda que: 
𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶3 
 
d. Suponga que el gobierno anuncia una reducción de impuestos para el periodo 1 (𝑑𝜏1 ≤
0) y el periodo 2 (𝑑𝜏2 ≤ 0) pero que pretende mantener el gasto constante en todos los 
periodos (�̅�). Demuestre que: 
i. El anuncio traerá un aumento de impuestos en el periodo 3 (𝑑𝜏3 > 0). 
Respuesta: 
Usamos la RP del gobierno_ 
(1 + 𝑟)𝐵0 = 𝐺1 − 𝜏1𝑌1 +
𝜏2𝑌2 − 𝐺2
1 + 𝑟
+
𝜏3𝑌3 − 𝐺3
(1 + 𝑟)2
 
Diferenciando la ecuación anterior: 
𝑌1𝑑𝜏1 +
𝑌2
1 + 𝑟
𝑑𝜏2 +
𝑌3
(1 + 𝑟)2
𝑑𝜏3 = 0 
Como 𝑑𝜏1, 𝑑𝜏2 ≤ 0 la única forma de que se cumpla la igualdad es que 𝑑𝜏3 > 0. 
 
ii. El agente (que es ricardiano) espera esta subida de impuestos, por lo que ahorra 
en ambos periodos (𝑑𝑆1 , 𝑑𝑆2 > 0). 
Respuesta: 
Definimos primero el ahorro: 
𝑆1 = 𝐴1 − 𝐴0 = 𝑟𝐵0 + (1 − 𝜏1)𝑌1 − 𝑊 
𝑆2 = 𝐴2 − 𝐴1 = 𝑟𝐵1 + (1 − 𝜏2)𝑌2 − 𝑊 
 
Si juntamos ambas condiciones tenemos: 
𝑆2 = 𝑟
2𝐵0 + 𝑟(1 − 𝜏1)𝑌1 − 𝑟𝑊 + 𝑟𝐴0 + (1 − 𝜏2)𝑌2 − 𝑊 
 
𝑑𝑆1 = −𝑌1𝑑𝜏1 > 0 
𝑑𝑆2 = −𝑟𝑌1𝑑𝜏1 − 𝑌2𝑑𝜏2 > 0 
 
2. Suponga una economía que dura 2 períodos en la cual conviven un agente representativo y 
el gobierno. El agente tiene perfect foresight (no hay incertidumbre) y maximiza utilidad a lo 
largo de su vida y tiene un nivel de riqueza total 𝑊 (el valor presente de sus ingresos). 
 
𝑈 = 𝑢(𝐶1) + 𝛽 ∙ 𝑢(𝐶2) 
𝑢(𝑐𝑡) = ln (𝑐𝑡) 
 
Existe una tasa de interés única 𝑟. El gobierno cobra una tasa de impuesto 𝜏𝑡 a cada unidad 
de consumo𝐶𝑡 para cubrir un gasto total fijo de 𝐺 (en valor presente). Se pide 
a. Escriba la restricción de presupuesto inter temporal del agente representativo 
Respuesta: 
La RP del agente representativo en cada periodo es: 
En t=1 
(1 + 𝜏1)𝐶1 + 𝑆1 = 𝑌1 + (1 + 𝑟)𝑆0 
𝑆1 = 𝑌1 + (1 + 𝑟)𝑆0 − (1 + 𝜏1)𝐶1 
 
Notar que el lazo izquierdo de la primera igualdad corresponde a los egresos del individuo, 
que incluyen lo que consume y los impuestos que paga por este consumo. 
 
En t=2 
(1 + 𝜏2)𝐶2 = 𝑌2 + (1 + 𝑟)𝑆1 
Juntando ambas: 
(1 + 𝜏2)𝐶2 = 𝑌2 + (1 + 𝑟)[𝑌1 + (1 + 𝑟)𝑆0 − (1 + 𝜏1)𝐶1] 
 
Reordenando términos: 
(1 + 𝜏1)𝐶1 +
(1 + 𝜏2)𝐶2
1 + 𝑟
= 𝑌1 +
𝑌2
1 + 𝑟
+ (1 + 𝑟)𝑆0 
 
Y como el valor presente de sus ingresos es W, la RP inter temporal es: 
(1 + 𝜏1)𝐶1 +
(1 + 𝜏2)𝐶2
1 + 𝑟
= 𝑊 (1) 
 
b. Escriba la restricción de presupuesto inter temporal del gobierno. 
Respuesta: 
La RP del gobierno en cada periodo será: 
(1 + 𝑟)𝐵1 + 𝐺1 − 𝑇1 = 𝐵2 
(1 + 𝑟)𝐵2 + 𝐺2 − 𝑇2 = 𝐵3 
Reordenando y sabiendo que 𝐵3 = 0 
(1 + 𝑟)[(1 + 𝑟)𝐵1 + 𝐺1 − 𝑇1] + 𝐺2 − 𝑇2 = 0 
𝐺1 +
𝐺2
1 + 𝑟
+ (1 + 𝑟)𝐵1 = 𝑇1 +
𝑇2
1 + 𝑟
 
La ecuación anterior no es más que una igualdad entre el valor presente de los gastos e 
ingresos del gobierno. 
Notar que 𝐵𝑡 corresponde a la DEUDA del gobierno en el periodo 𝑡, razón por la cual se 
considera como gasto. 
Sabemos que el valor presente del gasto se define como G, y que el ingreso tributario en 
cada periodo corresponde a los impuestos recaudados por unidad de consumo (𝑇𝑡 =
𝜏𝑡 ∙ 𝐶𝑡). 
La RP inter temporal del gobierno es: 
𝜏1𝐶1 +
𝜏2𝐶2
1 + 𝑟
= 𝐺 (2) 
 
c. Encuentre la ecuación de Euler del agente representativo. 
Respuesta: 
El agente maximiza su utilidad sujeta a su restricción presupuestaria: 
𝐿 = 𝑢(𝐶1) + 𝛽 ∙ 𝑢(𝐶2) + 𝜆 [𝑌1 +
𝑌2
1 + 𝑟
+ (1 + 𝑟)𝑆0 − (1 + 𝜏1)𝐶1 −
(1 + 𝜏2)𝐶2
1 + 𝑟
] 
 
Derivando el lagrangeano obtenemos las CPO: 
𝜕𝐿
𝜕𝐶1
= 𝑢′(𝐶1) − 𝜆(1 + 𝜏1) = 0 
𝜕𝐿
𝜕𝐶2
= 𝛽𝑢′(𝐶2) −
𝜆(1 + 𝜏2)
1 + 𝑟
= 0 
Juntando ambas condiciones: 
𝑢′(𝐶1)
(1 + 𝜏1)
=
𝛽𝑢′(𝐶2)(1 + 𝑟)
(1 + 𝜏2)
 
 
La ecuación de Euler nos queda: 
𝑢′(𝐶1) = 𝛽(1 + 𝑟)𝑢
′(𝐶2) ∙
(1 + 𝜏1)
(1 + 𝜏2)
 
 
d. Encuentre los valores óptimos del consumo en cada período (interprete). 
Respuesta: 
Usando Euler: 
𝐶2 = 𝐶1 ∙ 𝛽(1 + 𝑟) ∙
(1 + 𝜏1)
(1 + 𝜏2)
 
Reemplazamos en la RP de los agentes: 
(1 + 𝜏1)𝐶1 +
(1 + 𝜏2)
1 + 𝑟
𝐶1 ∙ 𝛽(1 + 𝑟) ∙
(1 + 𝜏1)
(1 + 𝜏2)
= 𝑊 
(1 + 𝜏1)𝐶1 + 𝐶1 ∙ 𝛽 ∙ (1 + 𝜏1) = 𝑊 
(1 + 𝜏1)𝐶1(1 + 𝛽) = 𝑊 
 
𝐶1 =
𝑊
(1 + 𝜏1)(1 + 𝛽)
 
𝐶2 =
𝑊
(1 + 𝜏2)(1 + 𝛽)
𝛽(1 + 𝑟) 
 
 
e. ¿Se cumpliría la equivalencia Ricardiana? Explique. 
Respuesta: 
Vemos que la equivalencia ricardiana no se cumple. La política tributaria sí afecta la 
restricción presupuestaria de los privados y la ecuación de Euler refleja que las tasas 
impositivas sí distorsionan las decisiones de consumo de los individuos. Por lo tanto, el 
timing de los impuestos sí va a tener efectos particulares sobre las decisiones de los 
agentes. 
 
f. Suponga que el gobierno puede elegir la tasa de impuesto óptimo para financiar su gasto 
fijo teniendo en cuenta la utilidad máxima alcanzable por el agente representativo. 
Plantee el problema de optimización del gobierno. 
Respuesta: 
El gobierno va a maximizar la utilidad (indirecta) del agente representativo, sujeto al 
gasto que quiere recaudar. 
El problema de optimización es: 
max
𝜏1,𝜏2
𝑈 = 𝑙𝑛 (
𝑊
(1 + 𝜏1)(1 + 𝛽)
) + 𝛽 ∙ 𝑙𝑛 (
𝑊
(1 + 𝜏2)(1 + 𝛽)
𝛽(1 + 𝑟)) 
 
Sujeto a: 
𝜏1𝐶1 +
𝜏2𝐶2
1 + 𝑟
≥ 𝐺 
Recuerden que lo recaudado a partir de impuestos al consumo (considerando los 
consumos que escoge óptimamente el agente representativo) debe ser COMO MÍNIMO 
el valor G que el gobierno necesita para sus gastos. 
 
𝐿 = 𝑙𝑛 (
𝑊
(1 + 𝜏1)(1 + 𝛽)
) + 𝛽 ∙ 𝑙𝑛 (
𝑊
(1 + 𝜏2)(1 + 𝛽)
𝛽(1 + 𝑟))
+ 𝜆 [𝜏1
𝑊
(1 + 𝜏1)(1 + 𝛽)
+ 𝜏2
𝑊
(1 + 𝜏2)(1 + 𝛽)
𝛽 − 𝐺] 
 
𝜕𝐿
𝜕𝜏1
=
(1 + 𝜏1)(1 + 𝛽)
𝑊
∙
−𝑊
(1 + 𝜏1)2(1 + 𝛽)
+ 𝜆
𝑊
(1 + 𝜏1)2(1 + 𝛽)
= 0 
(1 + 𝜏1)(1 + 𝛽)
𝑊
∙
𝑊
(1 + 𝜏1)
2(1 + 𝛽)
=
𝜆 ∙ 𝑊
(1 + 𝜏1)
2(1 + 𝛽)
 
 
𝜆 ∙ 𝑊
(1 + 𝛽)
= (1 + 𝜏1) 
 
𝜆 =
(1 + 𝜏1)(1 + 𝛽)
𝑊
 
 
𝜕𝐿
𝜕𝜏2
=
𝛽 ∙ (1 + 𝜏2)(1 + 𝛽)
𝑊 ∙ 𝛽(1 + 𝑟)
∙ (
−𝑊 ∙ 𝛽 ∙ (1 + 𝑟)
(1 + 𝜏2)2(1 + 𝛽)
) +
𝜆 ∙ 𝑊 ∙ 𝛽
(1 + 𝜏2)2(1 + 𝛽)
= 0 
(1 + 𝜏2)(1 + 𝛽) = 𝑊 
𝜆 ∙ 𝑊
(1 + 𝛽)
= (1 + 𝜏2) 
 
𝜆 =
(1 + 𝜏2)(1 + 𝛽)
𝑊
 
 
(1 + 𝜏1)(1 + 𝛽)
𝑊
=
(1 + 𝜏2)(1 + 𝛽)
𝑊
 
 
 
g. Encuentre la estructura inter temporal de impuestos óptimos. 
Respuesta: 
Las tasas impositivas que fijará el gobierno en cada periodo son las que encontramos en 
(f): 
(𝟏 + 𝝉𝟏) =
𝝀 ∙ 𝑾
𝟏 + 𝜷
= (𝟏 + 𝝉𝟐) 
Las tasas impositivas son iguales y corresponden a una fracción constante de W. 
 
h. Muestre cómo el gasto total del gobierno depende de las tasas de impuestos y la riqueza 
del agente representativo. Interprete este resultado. 
Respuesta: 
Reemplazamos los valores de las tasas impositivas en la RP del gobierno: 
 
𝐺 = 𝜏1
𝑊
(1 + 𝜏1)(1 + 𝛽)
+ 𝜏2
𝛽 ∙ 𝑊
(1 + 𝜏2)(1 + 𝛽)
 
𝜕𝐺
𝜕𝑊
=
𝜏1
(1 + 𝜏1)(1 + 𝛽)
+
𝜏2
(1 + 𝜏2)(1 + 𝛽)
> 0 
Podemos notar que el gasto del gobierno depende positivamente de la riqueza de los 
agentes. Esto quiere decir que en la medida que los individuos sean más ricos, el gobierno 
podrá tener un tamaño más grande. 
 
Analicemos ahora cómo afecta un aumento de las tasas de impuesto: 
 
𝜕𝐺
𝜕𝜏1
=
𝑊
(1 + 𝜏1)2(1 + 𝛽)
> 0 
𝜕2𝐺
𝜕𝜏1
2 =
−𝑊
(1 + 𝜏1)
2(1 + 𝛽)
< 0 
 
 
Vemos que, para un nivel fijo de riqueza, un incremento de 𝜏𝑡 aumenta el gasto total del 
gobierno, pero a tasas decrecientes. 
 
3. Considere la siguiente restricción presupuestaria de gobierno: 
𝐵𝑡+1 − 𝐵𝑡 = 𝐺𝑡 − 𝑇𝑡 + 𝑟𝐵𝑡 
a. Explique la restricción. 
Respuesta: 
Esta ecuación representa la restricción presupuestaria de un gobierno en el periodo 𝑡. El 
lado izquierdo corresponde a la acumulación de deuda durante el periodo y el lado 
derecho es el exceso de gasto sobre ingresos del gobierno más los intereses que se pagan 
por la deuda prexistente. 
 
b. Dada la tasa de interés 𝑟, la tasa de crecimiento 𝛾, un superávit primario del gobierno 
respecto del PIB constante e igual a 𝑠, derive el equivalente de la restricción 
presupuestaria expresada en términos del producto. Es decir, una restricción para deuda 
y superávit, ambos expresados como razón del PIB. 
Respuesta: 
Dividimos por 𝑌𝑡 , definiendo que 𝑥𝑡 = 𝑋𝑡/𝑌𝑡 
𝐵𝑡+1
𝑌𝑡
−
𝐵𝑡
𝑌𝑡
=
𝐺𝑡
𝑌𝑡
−
𝑇𝑡
𝑌𝑡
+
𝑟𝐵𝑡
𝑌𝑡
 
𝐵𝑡+1
𝑌𝑡
− 𝑏𝑡 = 𝑔𝑡 − 𝜏𝑡 + 𝑟 ∙ 𝑏𝑡 
𝐵𝑡+1
𝑌𝑡
∙
𝑌𝑡+1
𝑌𝑡+1
− 𝑏𝑡 = 𝑔𝑡 − 𝜏𝑡 + 𝑟 ∙ 𝑏𝑡 
𝐵𝑡+1
𝑌𝑡+1
∙
𝑌𝑡+1
𝑌𝑡
− 𝑏𝑡 = 𝑔𝑡 − 𝜏𝑡 + 𝑟 ∙ 𝑏𝑡 
𝑏𝑡+1 ∙ (1 + 𝛾) − 𝑏𝑡 = 𝑔𝑡 − 𝜏𝑡 + 𝑟 ∙ 𝑏𝑡 
𝑏𝑡+1 − 𝑏𝑡 =
𝑑𝑡
1 + 𝛾
+
𝑟 − 𝛾
1 + 𝛾
∙ 𝑏𝑡 
 
c. Calcule la razón deuda/PIB de largo plazo (estado estacionario), denótela por 𝑏∗ y 
explique qué pasa con dicho valor si la tasa de interés sube. Explique por qué. 
Respuesta: 
𝑏∗ − 𝑏∗ =
−𝑠𝑡
1 + 𝛾
+
𝑟 − 𝛾
1 + 𝛾
∙ 𝑏∗ 
𝑠𝑡 = (𝑟 − 𝛾) ∙ 𝑏
∗ 
𝑏∗ =
𝑠𝑡
𝑟 − 𝛾
 
Cuando la tasa sube aumentan los intereses que se deben pagar por la deuda. Luego, si 
tenemos un determinado superávit tendremos que disminuir el nivel de la deuda si 
queremos mantener la sostenibilidad en el tiempo. 
 
d. Suponga que existen dos economías sólo se diferencian en que una tiene un superávit 
primario de 2% mientras que la otra uno de 4%. Indique cuál de ellas tendrá una mayor 
relación deuda/producto en el largo plazo y por qué. 
Respuesta: 
La economía que tiene el mayor superávit. Esto se debe a que el mayor superávit permite 
sostener un nivel de deuda mayor. 
 
e. Calcule el valor de 𝑏∗ sabiendo que la tasa de interés es 6%, la economía crece a un 4% 
y tiene un 𝑠 = 1%. 
Respuesta:𝑏∗ =
0.01
0.06 − 0.04
= 0.5 = 50% 
 
 
4. Suponga que el déficit primario del gobierno de Rumania equivale a un 3% del PIB. Tiene 
deuda pública neta inicial es de 50% del PIB, enfrenta una tasa real de 8% anual y su 
economía crece un 2% anual. 
a. Indique si la deuda de este país es sostenible. 
Respuesta: 
La RP del gobierno es: 
𝑏𝑡+1 − 𝑏𝑡 ≡
𝑑𝑡
1 + 𝛾
+
𝑟 − 𝛾
1 + 𝛾
𝑏𝑡 
Y necesitamos saber si bajo este escenario es posible converger a un estado estacionario. 
Recuerden que el estado estacionario se define como aquél en que las variables ya no 
“crecen”. En este caso, hace referencia a que la deuda no crece: 𝑏𝑡+1 − 𝑏𝑡 = 0. Para saber si 
el gobierno de Rumania tiene sostenibilidad fiscal, calcularemos qué déficit primario es el que 
necesita (dadas las condiciones económicas del país) para que SÍ sea sostenible, es decir, para 
que efectivamente converja a un estado estacionario. 
𝑑 = −(𝑟 − 𝛾)𝑏 = −(0.08 − 0.02)(0.5) = −0.03 
Para mantener esta deuda la economía necesita un superávit primario de 3% del PIB. Luego, 
no es sostenible ya que sabemos que en realidad mantiene un déficit primario de 3% del PIB. 
 
b. Calcule la razón deuda/PIB para los próximos dos periodos. 
Respuesta: 
𝑏𝑡+1 − 0.5 ≡
0.03
1.02
+
0.08 − 0.02
1.02
0.5 
𝑏𝑡+1 = 0.5 +
0.03
1.02
+
0.08 − 0.02
1.02
0.5 = 0.56 
𝑏𝑡+2 = 0.56 +
0.03
1.02
+
0.08 − 0.02
1.02
0.56 = 0.62 
Vemos que no es sostenible en el tiempo porque tendría que ir aumento la deuda pública 
neta. 
 
c. Suponga que el gobierno entrante pretende llevar a cabo un plan de austeridad fiscal 
que baje la razón deuda-PIB a 42% en 3 años (al término del tercer año de gobierno 
contando desde hoy). ¿En cuánto tendría que aumentar el balance fiscal primario en 𝑡 =
3 para cumplir con la meta si es que los acreedores responden bajando la tasa de interés 
a un 4% real anual y el crecimiento económico mejora a 3% anual (todo esto a partir del 
segundo año)? 
Respuesta: 
Veamos qué recibió del gobierno anterior para calcular la deuda en t=1: 
𝑏1 − 𝑏0 ≡
0.03
1.03
+
0.04 − 0.03
1.03
𝑏0 
𝑏1 ≡ 0.56 
La deuda en el año 1 equivale al 56% del PIB usando las condiciones iniciales (𝑏0 = 0.5). 
 
En el año 2 nos cambian las condiciones en términos de tasa y crecimiento: 
𝑏2 − 𝑏1 ≡
0.03
1.03
+
0.04 − 0.03
1.03
𝑏1 
𝑏2 ≡ 0.56 +
0.03
1.03
+
0.04 − 0.03
1.03
0.56 = 0.59 
 
Luego, para que en el año 3 tengamos una deuda neta a PIB de 42%: 
𝑏3 − 𝑏2 ≡
𝑑2
1 + 𝛾
+
𝑟 − 𝛾
1 + 𝛾
𝑏2 
0.42 − 0.59 ≡
𝑑2
1.03
+
0.04 − 0.03
1.03
0.59 
𝑑2 = −0.18 
Hay que generar un superávit primario que equivalga al 18% de PIB. 
 
 
5. Argentina acaba de firmar un pacto en que se compromete a tener un déficit fiscal global 
que no supere el 3% del PIB. Suponga que en Argentina la deuda pública neta al final del 
período anterior (incluyendo intereses) equivalía a un 60% del PIB, que la tasa de interés 
real a la cual podía endeudarse inicialmente el fisco era de 2% anual, que su déficit fiscal 
global es 2,9% del PIB y que el Banco Mundial estimó que su economía crecería al 1% anual 
en el largo plazo. 
a. Calcule el superávit fiscal primario de Argentina en el primer año como porcentaje del 
PIB. 
Respuesta: 
Sabemos que el déficit fiscal primario es: 𝐷𝑡 ≡ 𝐺𝑡 − 𝑇𝑡 = 𝐷𝐹𝑡 − 𝑟 ∙ 𝐵𝑡 
𝐷1
𝑃𝐼𝐵1
≡
𝐷𝐹1 
𝑃𝐼𝐵1
− 𝑟
𝐵1
𝑃𝐼𝐵1
= 0,029 – 0,02 ∙ 0,60 = 0,017 
 
Un 1,70% del PIB. 
 
b. Suponga que a partir de ahora el gobierno argentino mantiene el superávit fiscal global 
(no el primario), en su valor inicial. Calcule la relación deuda pública neta a PIB al término 
de los primeros dos años. 
Respuesta: 
La RP del gobierno es: 
𝐵𝑡 − 𝐵𝑡−1 ≡ 𝑟𝐵𝑡−1 + 𝐷𝑡 = 𝐷𝐺𝑡 
Dividiendo por PIB e incorporando crecimiento nos queda: 
𝑏𝑡 −
𝑏𝑡−1
(1 + 𝛾)
≡ 𝑑𝑔𝑡 
Para fines del primer año: 
𝑏1 =
𝑏0
(1 + 𝛾)
+ 𝑑𝑔1 =
0,60
(1 + 0,01)
+ 0,02 = 0.623 
Para fines del segundo año: 
𝑏2 =
𝑏1
(1 + 𝛾)
+ 𝑑𝑔2 = 
0,62305
(1 + 0,01)
+ 0,029 = 0.646 
 
c. Suponiendo que el ratio del déficit global a PIB no cambia, encuentre el estado 
estacionario para la razón Deuda Neta/PIB. 
Respuesta: 
El EE para la razón Deuda Neta/PIB se obtiene suponiendo que en la ecuación anterior: 
𝑏𝑡 = 𝑏𝑡−1 
Luego, 
𝑏𝐸𝐸 −
𝑏𝐸𝐸
(1 + 𝛾)
≡ 𝑑𝑔1 
Por lo tanto, 
𝑏𝐸𝐸 = 𝑑𝑔1 ∙
1 + 𝛾
𝛾
 
0,029 ∙ (
1,01
0,01
) = 2,929 
Equivale a un 293% del PIB. 
 
d. Suponga que al inicio del primer período llegan malas noticias. Una crisis financiera 
internacional obliga al fisco argentino a rescatar a la banca para que la economía no 
colapse, lo cual eleva su deuda pública neta a 90% del PIB sólo en el primer año. 
Suponiendo que Argentina eleva su déficit global al límite de su compromiso en para 
siempre (a 3% del PIB), y que el crecimiento del PIB argentino se reduce a 0,3% anual por 
mucho tiempo. Encuentre el nuevo estado estacionario para la razón Deuda Neta/PIB. 
Respuesta: 
Ya sabemos que en el nuevo estado estacionario la razón es: 
𝑏𝐸𝐸 = 𝑑𝑔1 ∙
1 + 𝛾
𝛾
 
0,030 ∙ (
1,003
0,003
) = 10,03 
Equivale a un 1000% del PIB.